2025-2026年黑龙江省人教版高一数学第二章函数性质练习题

2025-2026年黑龙江省人教版高一数学第二章函数性质练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2xB．-x^2-2xC．x^2-2xD．-x^2+2x解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x))=-x^2-2x，故选B。2.函数f(x)=|x-1|在区间[0,3]上的最小值是（）A．0B．1C．2D．3解析：函数f(x)=|x-1|的图像是V形，对称轴x=1，在[0,3]上，当x=1时取得最小值0，故选A。3.若函数f(x)=kx+1与g(x)=x-k在(-∞,1)上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．k>0B．k<0C．k≥1D．k≤-1解析：f(x)单调递增需k>0，g(x)单调递增需-k>0即k<0，两条件矛盾，故无解，但题目选项设计有误，正确答案应为“无解”。4.函数f(x)=√(x^2-4x+3)的定义域是（）A．(-∞,1)∪(3,+∞)B．[1,3]C．(-∞,1]∪[3,+∞)D．R解析：由x^2-4x+3≥0得(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3，故定义域为(-∞,1]∪[3,+∞)，故选C。5.函数f(x)=2^x-1与g(x)=log2(x+1)的图像关于（）对称A．x轴B．y轴C．原点D．y=x解析：f(x)+1=2^x，g(x)=log2(x+1)，f(x)+1=g(x)即2^x=log2(x+1)，变形得2^(-x)=x+1，这正是y=2^(-x)与y=x+1的交点，即y=x的对称变换，故选D。6.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A．πB．2πC．π/2D．2π/3解析：正弦函数sin(kx+θ)的周期T=2π/|k|，此处k=2，故T=π，故选A。7.函数f(x)=x^3-3x在(-2,2)上的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，由零点判定定理，f(x)在(-2,-1)、(-1,1)、(1,2)各有一个零点，共3个，故选D。8.函数f(x)=1/(x^2-1)的对称轴方程是（）A．x=0B．x=1C．x=-1D．不存在解析：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称，即x=0是对称轴，故选A。9.若函数f(x)=x^2+bx+c在x=1时取得极小值，且f(0)=3，则b+c的值为（）A．2B．3C．4D．5解析：f'(x)=2x+b，x=1时f'(1)=0得b=-2，f(0)=c=3，故b+c=1，但选项无1，重新审题发现题目条件矛盾，正确b=-2，c=3，b+c=1，选项设计有误。10.函数f(x)=|x+1|+|x-1|的最小值是（）A．0B．1C．2D．3解析：f(x)=|x+1|+|x-1|表示数轴上x到-1和1的距离之和，最小值为两点距离2，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(3-x)的定义域用集合表示为_________参考答案：{x|x≤3}解析：3-x≥0得x≤3，故定义域为(-∞,3]。2.函数f(x)=2cos(2x-π/4)的图像向右平移π/8个单位后，对应的函数解析式为_________参考答案：2cos(2x-π/2)解析：平移π/8个单位得f(x)=2cos[2(x-π/8)-π/4]=2cos(2x-π/2)。3.若函数f(x)=x^2+2x+3在区间[a,a+1]上的最大值比最小值大4，则a的值为_________参考答案：-1或0解析：f(x)在区间[a,a+1]上单调，最大值f(a+1)=a^2+4a+4，最小值f(a)=a^2+2a+3，由f(a+1)-f(a)=4得a=-1或0。4.函数f(x)=log3(x^2-2x+1)的值域是_________参考答案：R解析：x^2-2x+1=(x-1)^2≥0，log3(x^2-2x+1)可取任意实数，故值域为R。5.函数f(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/6)的最小正周期是_________参考答案：2π解析：f(x)=sin(x+π/6)+sin(x-π/6)=√3/2sinx+1/2cosx+√3/2cosx+1/2sinx=√3sinx+√3cosx=2sin(x+π/3)，周期T=2π/1=2π。6.函数f(x)=x/(x-1)在区间[2,3]上的值域是_________参考答案：[2,3)解析：f(x)=1+x/(x-1)，x∈[2,3]时，x/(x-1)∈[1,2)，故f(x)∈[2,3)。7.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1时取得极大值，在x=-1时取得极小值，则b的取值范围是_________参考答案：b>0解析：f'(x)=3ax^2+2bx+c，x=1和x=-1是极值点，代入得3a+2b+c=0，3a-2b+c=0，两式相减得4b=0即b=0，但题目要求极大极小，需b>0。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积是_________参考答案：3解析：分段函数f(x)={-2x-1|x<-2，3|x=-2<x<1，2x+1|x≥1}，图像是三条直线段，与x轴围成的三角形面积=(3-(-1))/2×3=3。9.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于_________对称参考答案：x=π/4解析：tan(π/4-x)=-tan(x-π/4)，图像关于x=π/4对称。10.若函数f(x)=x^2+px+q的图像经过点(1,0)且在x=-1时取得最小值，则p+q的值为_________参考答案：-1解析：f(1)=1+p+q=0，f(-1)=1-p+q=最小值，由对称性顶点x=-p/2=-1得p=2，代入得q=-3，p+q=-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=csc(x+π/2)是奇函数且周期为π。（）参考答案：正确解析：csc(x+π/2)=secx，secx是偶函数，题目错误，但若改为csc(x+π/4)，则周期为π，需修正题目。2.若f(x)是定义在R上的偶函数，且在x>0时单调递增，则f(x)在x<0时单调递减。（）参考答案：正确解析：偶函数f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称，x>0单调递增，则x<0时对称部分单调递减。3.函数f(x)=x^3-3x+1的图像关于原点对称。（）参考答案：错误解析：f(-x)=-x^3+3x+1≠-f(x)，非奇函数，图像不关于原点对称。4.若函数f(x)=a^x在x∈[0,1]上单调递增，则a>1。（）参考答案：正确解析：指数函数a^x单调性与a>1或0<a<1有关，0<a<1时在R上单调递减，故a>1。5.函数f(x)=|x|在(-1,1)上存在反函数。（）参考答案：错误解析：|x|在(-1,1)上单调性不唯一，不满足一一对应，无反函数。6.函数f(x)=sin(x+π/2)的图像与y=x对称。（）参考答案：正确解析：sin(x+π/2)=cosx，y=cosx与y=x的对称变换是y=arccosx，但题目表述需精确。7.若函数f(x)=x^2+bx+c在x=1时取得极值，则b=2。（）参考答案：错误解析：极值点需f'(1)=2+1=0得b=-2，非2。8.函数f(x)=1/(x^2+1)在(-∞,+∞)上单调递减。（）参考答案：错误解析：f'(x)=-2x/(x^2+1)^2，x<0时f'(x)>0单调递增，x>0时f'(x)<0单调递减。9.函数f(x)=|x|+|x-1|的最小值是1。（）参考答案：正确解析：f(x)=|x|+|x-1|表示数轴上x到0和1的距离之和，最小值为1。10.函数f(x)=x^3-3x在(-2,2)上必有零点。（）参考答案：正确解析：f(-2)=-2，f(2)=2，由零点判定定理，f(x)在(-2,2)上必有零点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=√(x-1)+√(3-x)的定义域。参考答案：[1,3]解析：x-1≥0且3-x≥0得x∈[1,3]。2.函数f(x)=2cos(2x-π/3)的图像经过点(π/4,a)，求a的值。参考答案：√3/2解析：f(π/4)=2cos(π/2-π/3)=√3/2。3.若函数f(x)=x^2+bx+c在x=2时取得最小值-3，求f(0)。参考答案：1解析：顶点x=-b/2=2得b=-4，f(2)=-3即4-2b+c=-3得c=-1，f(0)=c=-1。4.函数f(x)=|x+1|+|x-1|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积。参考答案：3解析：分段函数f(x)={-2x-1|x<-2，3|x=-2<x<1，2x+1|x≥1}，与x轴围成三角形，面积=(3-(-1))/2×3=3。5.函数f(x)=tan(π/4+x)的图像的对称中心。参考答案：(-π/4+kπ,k)，k∈Z解析：tan(π/4+x)图像的对称中心是周期的一半处，即x=-π/4+kπ，y=tan(π/4+kπ)=k。6.函数f(x)=x/(x-1)在区间[2,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值3，最小值2解析：f(x)在[2,3]上单调递减，最大值f(2)=2，最小值f(3)=3。7.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点。参考答案：x=±1解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=1，f(1)=-1，x=-1为极大值点，x=1为极小值点。8.函数f(x)=|x|+|x-1|的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值1，x=1/2解析：f(x)=|x|+|x-1|表示数轴上x到0和1的距离之和，最小值在x=1/2时取得，f(1/2)=1/2+1/2=1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极大值5，且f(-1)=1，求f(2)。解：f'(x)=2ax+b，x=1时f'(1)=2a+b=0得b=-2a，f(1)=a+b+c=5，f(-1)=a-b+c=1，两式相减得2b=4即b=-2，代入得a=1，c=6，f(x)=x^2-2x+6，f(2)=2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积。解：分段函数f(x)={-2x-1|x<-2，3|x=-2<x<1，2x+1|x≥1}，与x轴围成三角形，面积=(3-(-1))/2×3=3。3.函数f(x)=sin(2x+π/4)的图像向左平移π/8个单位后，求新函数的解析式及最小正周期。解：f(x)=sin[2(x+π/8)+π/4]=sin(2x+π/2)=cos(2x)，周期T=2π/2=π。4.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-5，f(-1)=1，f(1)=-1，f(2)=5，最大值5，最小值-5。5.函数f(x)=|x|+|x-1|的最小值及取得最小值时的x值。解：f(x)=|x|+|x-1|表示数轴上x到0和1的距离之和，最小值在x=1/2时取得，f(1/2)=1/2+1/2=1。6.函数f(x)=tan(π/4+x)的图像的对称中心。解：tan(π/4+x)图像的对称中心是周期的一半处，即x=-π/4+kπ，y=tan(π/4+kπ)=k，对称中心为(-π/4+kπ,k)，k∈Z。7.函数f(x)=x/(x-1)在区间[1,3]上的值域。解：f(x)在[1,3]上单调递增，值域为[f(1),f(3)]即[1,3)。8.函数f(x)=x^2+bx+c在x=1时取得极小值，且f(0)=3，求b+c的值。解：f'(x)=2x+b，x=1时f'(1)=2+b=0得b=-2，f(0)=c=3，b+c=1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.无解4.C5.D6.A7.D8.A9.无解10.C二、填空题1.{x|x≤3}12.2cos(2x-π/2)13.-1或014.R15.2π16.[2,3)17.b>018.319.x=π/420.-1三、判断题1.错误（应改为csc(x+π/4)）22.正确23.错误24.正确25.错误26.正确27.错误28.错误29.正确30.正确四、简答题1.解析：x-1≥0且3-x≥0得x∈[1,3]。2.解析：f(π/4)=2cos(π/2-π/3)=√3/2。3.解析：顶点x=-b/2=2得b=-4，f(2)=-3即4-2b+c=-3得c=-1，f(0)=c=-1。4.解析：分段函数f(x)={-2x-1|x<-2，3|x=-2<x<1，2x+1|x≥1}，与x轴围成三角形，面积=(3-(-1))/2×3=3。5.解析：tan(π/4+x)图像的对称中心是周期的一半处，即x=-π/4+kπ，y=tan(π/4+kπ)=k，对称中心为(-π/4+kπ,k)，k∈Z。6.解析：f(x)在[2,3]上单调递减，最大值f(2)=2，最小值f(3)=3。7.解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=