2025-2026年江苏省苏教版高二数学第10课数列性质与图像练习题

2025-2026年江苏省苏教版高二数学第10课数列性质与图像练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列的前6项依次为（）A.1,3,7,15,31,63B.1,2,5,12,27,58C.1,4,13,40,121,364D.1,3,9,27,81,243解析：由递推关系c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}，计算c_2=2c_1+c_0=2×1+1=3，c_3=2c_2+c_1=2×3+1=7，c_4=2c_3+c_2=2×7+3=17，依此类推可得前6项为1,3,7,15,31,63。选项A正确。4.已知数列{d_n}的图像如图所示（折线段），则该数列的通项公式可能是（）（注：此处应有图像，假设为从原点出发的折线段，在x轴上每增加1个单位，y值依次为1,2,1,2,1,2,...）A.d_n=1+(-1)^nB.d_n=2sin(πn/2)C.d_n=|cos(πn/2)|D.d_n=3-(-1)^(n+1)解析：观察图像可知数列在奇数项为1，偶数项为2，故可表示为d_n=1+(-1)^{n+1}，选项A正确。5.在等比数列{e_n}中，若e_2=6，e_4=54，则e_3的值为（）A.12B.18C.36D.24解析：由等比数列通项公式e_n=e_1q^{n-1}，代入e_2=e_1q=6，e_4=e_1q^3=54，联立可得q=3，e_1=2，故e_3=e_1q^2=2×3^2=18。选项B正确。6.已知数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，则f_5的值为（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列通项公式f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=2，当n≥2时f_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故f_5=2×5=10。选项B正确。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_{n+1}=g_n+log_2(n+1)，则g_5的值为（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系g_{n+1}=g_n+log_2(n+1)，计算g_2=g_1+log_2(2)=2+1=3，g_3=g_2+log_2(3)=3+1.585≈4.585，依此类推可得g_5≈10.585。选项A最接近。8.已知数列{h_n}的图像如图所示（抛物线段），则该数列的通项公式可能是（）（注：此处应有图像，假设为开口向上的抛物线，顶点在(1,1)，过点(2,2)和(3,5)）A.h_n=n^2B.h_n=n^2-1C.h_n=n^2+1D.h_n=2n-1解析：设h_n=an^2+bn+c，代入三点(1,1)，(2,2)，(3,5)可得方程组a+b+c=1，4a+2b+c=2，9a+3b+c=5，解得a=1，b=-1，c=1，故h_n=n^2-1。选项B正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_4的值为（）A.4B.7/2C.9/2D.5解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n，计算i_2=i_1+1=1+1=2，i_3=i_2+1/2=2+0.5=2.5，i_4=i_3+1/3≈3.1667。选项C最接近。10.已知数列{j_n}的图像如图所示（正弦曲线段），则该数列的通项公式可能是（）（注：此处应有图像，假设为周期为4的正弦曲线，振幅为2，过点(1,2)）A.j_n=2sin(π/2(n-1))B.j_n=2cos(π/4(n-1))C.j_n=2sin(π/4n)D.j_n=2cos(π/2n)解析：观察图像可知周期为4，故ω=π/2，过点(1,2)可得φ=-π/2，故j_n=2sin(π/2(n-1)-π/2)=2sin(π/2n-π/2)，选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为________。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18，答案为18。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_6的值为________。解：b_6=S_6-S_5=729-81=648，答案为648。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，则c_5的值为________。解：c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+4=8，c_4=c_3+6=14，c_5=c_4+8=22，答案为22。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_3=16，则该数列的通项公式为________。解：由d_3/d_2=4，得公比q=4，d_1=1，故d_n=4^{n-2}，答案为4^{n-2}。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则e_4的值为________。解：e_4=S_4-S_3=20-6=14，答案为14。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+n，则f_6的值为________。解：f_2=f_1+1=2，f_3=f_2+2=4，f_4=f_3+3=7，f_5=f_4+4=11，f_6=f_5+5=16，答案为16。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=1，d=2，则该数列的前10项和为________。解：S_{10}=[2a_1+(10-1)d]×10/2=110，答案为110。8.已知数列{h_n}的通项公式为h_n=2n-1，则该数列的前5项和为________。解：S_5=1+3+5+7+9=25，答案为25。9.若数列{i_n}满足i_1=3，i_{n+1}=i_n/2，则i_4的值为________。解：i_2=i_1/2=1.5，i_3=i_2/2=0.75，i_4=i_3/2=0.375，答案为0.375。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，q=3，则该数列的前4项和为________。解：S_4=2(3^4-1)/2=80，答案为80。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（n≥2），则该数列一定是等差数列。（√）解：这是等差数列的定义，故正确。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2，则该数列一定是等差数列。（√）解：b_n=S_n-S_{n-1}=2n-1，是等差数列，故正确。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_nq（n≥1），则该数列一定是等比数列。（√）解：这是等比数列的定义，故正确。4.若数列{d_n}的图像是一条直线，则该数列一定是等差数列。（√）解：数列的图像为直线意味着相邻项差为常数，故正确。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^3，则该数列一定是等差数列。（×）解：b_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3n+1，相邻项差不为常数，故错误。6.若数列{f_n}的通项公式为f_n=n^2，则该数列一定是等差数列。（×）解：b_n=S_n-S_{n-1}=2n-1，相邻项差为常数，故正确。7.若数列{g_n}满足g_{n+1}=g_n+1（n≥1），则该数列一定是等差数列。（√）解：相邻项差为常数1，故正确。8.若数列{h_n}的图像是一条抛物线，则该数列一定是等差数列。（×）解：抛物线图像对应的数列可能是二次函数形式，相邻项差不为常数，故错误。9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=i_n+1（n≥1），则该数列一定是等差数列。（√）解：相邻项差为常数1，故正确。10.若数列{j_n}的通项公式为j_n=2^n，则该数列一定是等比数列。（√）解：相邻项比为常数2，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式。解：由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+3/2(n-1)=3/2n+1/2。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，求b_3的值。解：b_3=S_3-S_2=7-3=4。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），求该数列的前5项。解：c_2=2c_1+c_0=3，c_3=2c_2+c_1=7，c_4=2c_3+c_2=17，c_5=2c_4+c_3=41。4.已知等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由d_4/d_2=q^2=9，得q=3。5.若数列{e_n}的通项公式为e_n=n(n+1)/2，求该数列的前4项和。解：S_4=1×2+2×3+3×4+4×5=20。6.已知数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+n，求该数列的通项公式。解：f_2=3，f_3=5，f_4=8，依此类推可得f_n=n(n+1)/2+n。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，求g_4的值。解：g_4=S_4-S_3=20-12=8。8.已知数列{h_n}的图像是一条直线，且过点(1,2)和(3,6)，求该数列的通项公式。解：斜率k=(6-2)/(3-1)=2，故h_n=2n。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产量为1000件，计划以后每年比上一年增产200件，求第10年的产量。解：由等差数列a_n=1000+200(n-1)，当n=10时a_{10}=1800件。2.某城市人口第一年为50万，计划以后每年比上一年增长5%，求第5年的人口。解：由等比数列a_n=50×1.05^{n-1}，当n=5时a_5≈64.09万。3.某人存款第一年存入1000元，以后每年比上一年多存100元，求第5年的存款总额。解：S_5=1000+1100+1200+1300+1400=6000元。4.某产品成本第一年为10元，计划以后每年比上一年降低2%，求第6年的成本。解：a_6=10×0.98^{6-1}≈7.588元。5.某林场第一年种植树木100棵，以后每年比上一年多种植20%，求第4年的种植数量。解：a_4=100×1.2^{4-1}≈207.36棵。6.某城市道路建设第一年修路20公里，以后每年比上一年多修5公里，求前5年的总修路长度。解：S_5=20+25+30+35+40=150公里。7.某产品销售第一年售出1000件，以后每年比上一年多售出100件，求第6年的销售量。解：a_6=1000+5×100=1500件。8.某工厂固定资产第一年为100万元，计划以后每年折旧10%，求第4年的固定资产价值。解：a_4=100×0.9^{4-1}≈67.16万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.A4.A5.B6.B7.A8.B9.B10.C解析：第1题由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。二、填空题1.182.6483.224.4^{n-2}5.146.167.1108.259.0.37510.80解析：第1题由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18，答案为18。三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.×9.√10.√解析：第5题数列{e_n}的前n项和S_n=n^3，则b_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3n+1，相邻项差不为常数，故错误。四、简答题1.a_n=3/2n+1/2解：由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+3/2(n-1)=3/2n+1/2。2.b_3=4解：b_3=S_3-S_2=7-3=4。3.c_1=1，c_2=3，c_3=7，c_4=17，c_5=41解：c_2=2c_1+c_0=3，c_