2025-2026年四川省人教版高二数学第10章数列综合练习题

2025-2026年四川省人教版高二数学第10章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.120解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2，c_3=c_2+4=1+2+4，...，c_{10}=1+2+4+6+...+20=1+2×(1+2+3+...+10)=1+2×55=111。选项无正确答案，需修正题目条件。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。选项A、C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目条件。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{f_n/n}的前5项和等于（）A.1245/64B.1265/64C.1285/64D.1305/64解析：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=2，当n≥2时f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2×3^{n-1}，则f_n/n=2×(3^{n-1}/n)，前5项和为2×(1/1+3/2+9/3+27/4+81/5)=2×(1+1.5+3+6.75+16.2)=124.5，化简得1245/64。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3+a_4+a_5等于（）A.6B.9C.12D.15解析：由等差数列性质a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，故a_3=3，a_3+a_4+a_5=3+2d+3d=6d+3，由a_1+a_5=2a_3=6，可得d=3/2，故a_3+a_4+a_5=6×3/2+3=12。选项C正确。8.若数列{h_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则数列{h_n^2}的前3项和等于（）A.18B.24C.30D.36解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=1，当n≥2时h_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故h_n=2n，则h_n^2=4n^2，前3项和为4×1^2+4×2^2+4×3^2=4×(1+4+9)=48。选项无正确答案，需修正题目条件。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_2=2，i_3=4，则i_10等于（）A.512B.1024C.2048D.4096解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_2=i_1q=2，i_3=i_1q^2=4，可得q=2，故i_10=1×2^9=512。选项A正确。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_{n+1}=j_n+log_2(n+1)，则j_10等于（）A.363B.364C.365D.366解析：由递推关系j_{n+1}=j_n+log_2(n+1)，可得j_2=j_1+log_2(2)=1+1=2，j_3=j_2+log_2(3)=2+1.585≈3.585，...，j_{10}=1+1+log_2(3)+log_2(4)+...+log_2(10)=1+1+1.585+2+...+3.322≈364.3，取整得364。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。参考答案：3解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，故d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_6的值等于______。参考答案：63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，验证n=1时成立，故b_6=2^6-1=63。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_8的值等于______。参考答案：156解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_2=c_1+3，c_3=c_2+6=2+3+6，...，c_8=2+3+6+9+12+15+18=156。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，则该数列的公比q等于______。参考答案：±2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_3=d_1q^2=8，d_5=d_1q^4=32，两式相除得q^2=4，故q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4的值等于______。参考答案：20解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_4=2×4=8。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{f_n/n}的前5项和等于______。参考答案：1245/64解析：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=2，当n≥2时f_n=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2×3^{n-1}，则f_n/n=2×(3^{n-1}/n)，前5项和为2×(1/1+3/2+9/3+27/4+81/5)=124.5，化简得1245/64。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3+a_4+a_5等于______。参考答案：15解析：由等差数列性质a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，故a_3=5，a_3+a_4+a_5=5+2d+3d=5+5d，由a_1+a_5=2a_3=10，可得d=0，故a_3+a_4+a_5=15。8.若数列{h_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则数列{h_n^2}的前3项和等于______。参考答案：18解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=1，当n≥2时h_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故h_n=2n，则h_n^2=4n^2，前3项和为4×1^2+4×2^2+4×3^2=36。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_2=3，i_3=9，则i_7等于______。参考答案：2187解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_2=i_1q=3，i_3=i_1q^2=9，可得q=3，故i_7=1×3^6=729。10.若数列{j_n}满足j_1=2，j_{n+1}=j_n+2n，则j_10等于______。参考答案：110解析：由递推关系j_{n+1}=j_n+2n，可得j_2=j_1+2=4，j_3=j_2+4=8，...，j_{10}=2+2+4+6+...+20=2×(1+2+3+...+10)=2×55=110。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=2，则该数列的前10项和S_10等于55。参考答案：×解析：由等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入n=10，a_1=5，d=2，可得S_10=10/2(2×5+9×2)=10×19=190。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2，则该数列是等差数列。参考答案：√解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=n^2-(n-1)^2=2n-1，验证n=1时成立，故b_n=2n-1，该数列是等差数列。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+n，则该数列的前5项和为15。参考答案：√解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+n，可得c_2=c_1+1=2，c_3=c_2+2=4，...，c_5=1+1+2+3+4=11，前5项和为1+2+4+7+11=25。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于3。参考答案：√解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n=n。参考答案：√解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n，验证n=1时成立，故e_n=n。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列{f_n^2}的前3项和为18。参考答案：×解析：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=1，当n≥2时f_n=2^n-1，验证n=1时成立，故f_n=2^n-1，则f_n^2=(2^n-1)^2，前3项和为(2^1-1)^2+(2^2-1)^2+(2^3-1)^2=1+9+25=35。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3+a_4+a_5等于15。参考答案：√解析：由等差数列性质a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，故a_3=5，a_3+a_4+a_5=5+2d+3d=5+5d，由a_1+a_5=2a_3=10，可得d=0，故a_3+a_4+a_5=15。8.若数列{h_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则数列{h_n^2}的前3项和为36。参考答案：√解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=1，当n≥2时h_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故h_n=2n，则h_n^2=4n^2，前3项和为4×1^2+4×2^2+4×3^2=36。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_2=3，i_3=9，则i_7等于2187。参考答案：√解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_2=i_1q=3，i_3=i_1q^2=9，可得q=3，故i_7=1×3^6=729。10.若数列{j_n}满足j_1=2，j_{n+1}=j_n+2n，则j_10等于110。参考答案：√解析：由递推关系j_{n+1}=j_n+2n，可得j_2=j_1+2=4，j_3=j_2+4=8，...，j_{10}=2+2+4+6+...+20=2×(1+2+3+...+10)=2×55=110。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，求该数列的前n项和S_n的表达式。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入a_1=3，d=2，可得S_n=n/2(6+2(n-1))=n^2+2n。2.若数列{b_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n，求该数列的通项公式b_n。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=5，当n≥2时b_n=2n^2+3n-(2(n-1)^2+3(n-1))=4n+1，验证n=1时成立，故b_n=4n+1。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=32，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_4=c_1q^3=32，可得2q^3=32，解得q=4。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=3d_n+2，求该数列的通项公式d_n。解：由递推关系d_{n+1}=3d_n+2，令d_n+1=u_n，则u_{n+1}=3u_n，故u_n=u_1×3^{n-1}=3^{n-1}，故d_n=3^{n-1}-1。5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求a_3的值。解：由等差数列性质a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，故a_3=5。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的前5项和T_5。解：由数列前n项和公式T_5=S_5=5^2+5=30。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=6，g_4=g_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=3。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+n，求该数列的前4项和H_4。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+n，可得h_2=h_1+1=3，h_3=h_2+2=5，h_4=h_3+3=8，故H_4=2+3+5+8=18。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列{a_n}，a_1=10，d=5，求a_10，由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入n=10，可得a_10=10+9×5=55。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列{b_n}，b_1=100，q=1.1，求b_5，由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入n=5，可得b_5=100×1.1^4≈146.41万。3.某投资账户每年收益率为前一年的1.2倍，已知初始投资为1000元，求第5年账户余额。解：由等比数列{i_n}，i_1=1000，q=1.2，求i_5，由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入n=5，可得i_5=1000×1.2^4≈2073.6元。4.某企业员工工资每年上涨500元，已知第一年工资为8000元，求第8年工资。解：由等差数列{j_n}，j_1=8000，d=500，求j_8，由等差数列通项公式j_n=j_1+(n-1)d，代入n=8，可得j_8=8000+7×500=10500元。5.某产品成本每年下降10%，已知2020年成本为100元，求2024年成本。解：由等比数列{k_n}，k_1=100，q=0.9，求k_4，由等比数列通项公式k_n=k_1q^{n-1}，代入n=4，可得k_4=100×0.9^3≈72.9元。6.某农场种植果树，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植20棵，求第7年种植果树数量。解：由等差数列{