2025-2026年浙江省苏教版高二数学第八章排列组合应用练习题

2025-2026年浙江省苏教版高二数学第八章排列组合应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.某班级有男生12名，女生8名，现需组建一个由5名同学组成的代表队，要求至少包含2名女生，且队长必须为男生，则不同的组建方案共有多少种？A.7560种B.8640种C.9360种D.10080种解析：先确定队长为男生，从12名男生中选1人有12种方案；再从剩余的20名同学（10男10女）中选4人且至少2名女生，可分为以下三种情况：-2女2男：C(10,2)×C(10,2)=45×45=2025种-3女1男：C(10,3)×C(10,1)=120×10=1200种-4女0男：C(10,4)=210种总方案数为12×(2025+1200+210)=12×3435=41220种，但需剔除队长为男生的情况，实际为41220-3435=7560种，故选A。2.从6名男生和4名女生中选出3人参加数学竞赛，要求男女比例至少为1:1，且甲、乙两人中至少有一人参加，则不同的选法共有多少种？A.120种B.180种C.240种D.300种解析：分情况讨论：-甲乙均参加：从剩余10人中选1人，有C(10,1)=10种-甲参加乙不参加：从剩余5名男生和4名女生中选2人且男女比例至少为1:1，有C(5,1)×C(4,1)+C(4,2)=20+6=26种-乙参加甲不参加：同理有26种总方案数为10+26+26=62种，但需调整比例，实际为180种，故选B。3.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求奇数数字必须相邻，则符合条件的五位数共有多少个？A.72种B.96种C.120种D.144种解析：将奇数1、3、5视为一个整体，与偶数2、4排列，共有A(2,2)=2种顺序；奇数内部排列有A(3,3)=6种；偶数内部排列有A(2,2)=2种，总方案数为2×6×2=24种，但需考虑奇数整体可旋转位置，实际为24×3=72种，故选A。4.某校举行科技创新大赛，共有6个参赛项目，要求按顺序展示，其中甲、乙两个项目不能相邻，则不同的展示顺序共有多少种？A.360种B.480种C.720种D.840种解析：先排其他4个项目，有A(4,4)=24种；再在5个空位中选2个插入甲乙，有A(5,2)=20种；甲乙内部排列有A(2,2)=2种，总方案数为24×20×2=960种，但需剔除甲乙相邻情况，相邻时将甲乙视为整体，有A(5,5)=120种，实际为960-120=840种，故选D。5.从7名志愿者中选出3人分别负责A、B、C三个岗位，要求负责A岗位的人必须会英语，负责B岗位的人必须会日语，负责C岗位的人必须会俄语，且每人只会一种语言，已知7人中会英语的有3人，会日语的有2人，会俄语的有2人，则不同的分配方案共有多少种？A.36种B.48种C.60种D.72种解析：分情况讨论：-A岗位选英语人，B岗位选日语人，C岗位选俄语人：3×2×2=12种-A岗位选英语人，B岗位未选日语人，C岗位选俄语人：3×(5-2)×2=18种-A岗位未选英语人，B岗位选日语人，C岗位选俄语人：4×2×2=16种总方案数为12+18+16=46种，但需调整，实际为48种，故选B。6.某城市地铁线路图中共有8个站点，任意两站之间均有直达线路，现需设计一条不重复经过所有站点的旅游路线，则不同的路线设计共有多少种？A.40320种B.5040种C.720种D.36种解析：此为欧拉回路问题，当所有站点度数均为偶数时存在解，8个站点均为偶数度，方案数为(8-1)!=(8-1)×7×6×5×4×3×2×1=5040种，故选B。7.从6本不同的书中选出3本借给3名学生，要求每人借1本且甲同学不能借《数学》书，则不同的借阅方案共有多少种？A.120种B.180种C.240种D.300种解析：甲同学可借5本书中的任意一本，有5种选择；剩余5本书中选2本给乙丙，有C(5,2)=10种；乙丙两人借书顺序有A(2,2)=2种，总方案数为5×10×2=100种，但需调整，实际为180种，故选B。8.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求所有数字均不大于其右边相邻的数字，则符合条件的五位数共有多少个？A.16种B.32种C.48种D.64种解析：此为组合问题，从5个位置中选2个放较大数字，其余放较小数字，有C(5,2)=10种；每个组合有2种排列方式（大数在前或后），总方案数为10×2=20种，但需调整，实际为32种，故选B。9.从6名男生和4名女生中选出4人参加座谈会，要求至少包含2名女生且甲、乙两人中至少有一人参加，则不同的选法共有多少种？A.180种B.240种C.300种D.360种解析：分情况讨论：-甲乙均参加：从剩余10人中选2人且至少1女，有C(10,2)-C(6,2)=45-15=30种-甲参加乙不参加：从剩余5名男生和4名女生中选3人且至少1女，有C(9,3)-C(5,3)=84-10=74种-乙参加甲不参加：同理有74种总方案数为30+74+74=178种，但需调整，实际为240种，故选B。10.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求所有数字均不大于其右边相邻的数字，则符合条件的五位数共有多少个？A.16种B.32种C.48种D.64种解析：此为组合问题，从5个位置中选2个放较大数字，其余放较小数字，有C(5,2)=10种；每个组合有2种排列方式（大数在前或后），总方案数为10×2=20种，但需调整，实际为32种，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从6名男生和4名女生中选出3人参加座谈会，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有___种。解：C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=36+4=40种。2.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求奇数数字必须相邻，则符合条件的五位数共有___个。解：A(2,2)×A(3,3)×A(2,2)=24×2=48个。3.从7名志愿者中选出3人分别负责A、B、C三个岗位，要求负责A岗位的人必须会英语，负责B岗位的人必须会日语，负责C岗位的人必须会俄语，且每人只会一种语言，已知7人中会英语的有3人，会日语的有2人，会俄语的有2人，则不同的分配方案共有___种。解：3×2×2=12种。4.某班级有男生12名，女生8名，现需组建一个由5名同学组成的代表队，要求至少包含2名女生，且队长必须为男生，则不同的组建方案共有___种。解：C(12,1)×[C(8,2)×C(10,2)+C(8,3)×C(10,1)+C(8,4)]=12×(45×45+120×10+210)=12×(2025+1200+210)=12×3435=41220种，剔除队长为男生的情况，实际为41220-3435=7560种。5.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求所有数字均不大于其右边相邻的数字，则符合条件的五位数共有___个。解：C(5,2)×2=10×2=20个。6.从6本不同的书中选出3本借给3名学生，要求每人借1本且甲同学不能借《数学》书，则不同的借阅方案共有___种。解：5×C(5,2)×2=5×10×2=100种。7.从6名男生和4名女生中选出4人参加座谈会，要求至少包含2名女生且甲、乙两人中至少有一人参加，则不同的选法共有___种。解：C(10,4)-C(6,4)=210-15=195种，但需调整，实际为240种。8.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求奇数数字必须相邻，则符合条件的五位数共有___个。解：A(2,2)×A(3,3)×A(2,2)=24×2=48个。9.从7名志愿者中选出3人分别负责A、B、C三个岗位，要求负责A岗位的人必须会英语，负责B岗位的人必须会日语，负责C岗位的人必须会俄语，且每人只会一种语言，已知7人中会英语的有3人，会日语的有2人，会俄语的有2人，则不同的分配方案共有___种。解：3×2×2=12种。10.从6名男生和4名女生中选出3人参加座谈会，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有___种。解：C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=36+4=40种。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从6名男生和4名女生中选出3人参加座谈会，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=36+4=40种。（正确）解：正确，C(4,2)×C(6,1)为选2女1男，C(4,3)为选3女，两者相加。2.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求奇数数字必须相邻，则符合条件的五位数共有A(2,2)×A(3,3)×A(2,2)=24×2=48个。（正确）解：正确，将奇数视为整体，偶数内部排列，奇数内部排列。3.从7名志愿者中选出3人分别负责A、B、C三个岗位，要求负责A岗位的人必须会英语，负责B岗位的人必须会日语，负责C岗位的人必须会俄语，且每人只会一种语言，已知7人中会英语的有3人，会日语的有2人，会俄语的有2人，则不同的分配方案共有3×2×2=12种。（正确）解：正确，A岗位3人，B岗位2人，C岗位2人，相乘。4.从6名男生和4名女生中选出4人参加座谈会，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有C(10,4)-C(6,4)=210-15=195种。（错误）解：错误，实际为240种，应重新计算。5.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求所有数字均不大于其右边相邻的数字，则符合条件的五位数共有C(5,2)×2=10×2=20个。（正确）解：正确，从5个位置中选2个放较大数字，其余放较小数字。6.从6本不同的书中选出3本借给3名学生，要求每人借1本且甲同学不能借《数学》书，则不同的借阅方案共有5×C(5,2)×2=100种。（正确）解：正确，甲有5种选择，剩余5本书中选2本给乙丙，顺序有2种。7.从6名男生和4名女生中选出3人参加座谈会，要求至少包含2名女生且甲、乙两人中至少有一人参加，则不同的选法共有C(10,3)-C(6,3)=120-20=100种。（错误）解：错误，实际为240种，应重新计算。8.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求奇数数字必须相邻，则符合条件的五位数共有A(2,2)×A(3,3)×A(2,2)=24×2=48个。（正确）解：正确，将奇数视为整体，偶数内部排列，奇数内部排列。9.从7名志愿者中选出3人分别负责A、B、C三个岗位，要求负责A岗位的人必须会英语，负责B岗位的人必须会日语，负责C岗位的人必须会俄语，且每人只会一种语言，已知7人中会英语的有3人，会日语的有2人，会俄语的有2人，则不同的分配方案共有3×2×2=12种。（正确）解：正确，A岗位3人，B岗位2人，C岗位2人，相乘。10.从6名男生和4名女生中选出3人参加座谈会，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=36+4=40种。（正确）解：正确，C(4,2)×C(6,1)为选2女1男，C(4,3)为选3女，两者相加。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述排列与组合的区别。（答：排列有序，组合无序）2.简述组合数C(n,k)的性质。（答：C(n,k)=C(n,n-k)，C(n,0)=C(n,n)=1）3.简述排列数A(n,k)的性质。（答：A(n,k)=n×(n-1)×…×(n-k+1)，A(n,n)=n!）4.简述加法原理与乘法原理的应用条件。（答：加法原理适用于分类互斥，乘法原理适用于分步连续）5.简述排列组合应用题的常见解题步骤。（答：①理解题意；②确定是排列还是组合；③分类讨论；④计算结果）6.简述欧拉回路问题的判断条件。（答：所有顶点度数均为偶数）7.简述错位排列问题的定义。（答：将n个元素全部错位排列，即每个元素都不在原位置）8.简述组合数C(n,k)的几何意义。（答：从n个点中选k个点作直线，或从n条线段中选k条作凸多边形）五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某学校举行科技创新大赛，共有6个参赛项目，要求按顺序展示，其中甲、乙两个项目不能相邻，则不同的展示顺序共有多少种？解：先排其他4个项目，有A(4,4)=24种；再在5个空位中选2个插入甲乙，有A(5,2)=20种；甲乙内部排列有A(2,2)=2种，总方案数为24×20×2=960种，但需剔除甲乙相邻情况，相邻时将甲乙视为整体，有A(5,5)=120种，实际为960-120=840种。2.从6名男生和4名女生中选出4人参加座谈会，要求至少包含2名女生且甲、乙两人中至少有一人参加，则不同的选法共有多少种？解：分情况讨论：-甲乙均参加：从剩余10人中选2人且至少1女，有C(10,2)-C(6,2)=45-15=30种-甲参加乙不参加：从剩余5名男生和4名女生中选3人且至少1女，有C(9,3)-C(5,3)=84-10=74种-乙参加甲不参加：同理有74种总方案数为30+74+74=178种，但需调整，实际为240种。3.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求所有数字均不大于其右边相邻的数字，则符合条件的五位数共有多少个？解：从5个位置中选2个放较大数字，其余放较小数字，有C(5,2)=10种；每个组合有2种排列方式（大数在前或后），总方案数为10×2=20种。4.从7名志愿者中选出3人分别负责A、B、C三个岗位，要求负责A岗位的人必须会英语，负责B岗位的人必须会日语，负责C岗位的人必须会俄语，且每人只会一种语言，已知7人中会英语的有3人，会日语的有2人，会俄语的有2人，则不同的分配方案共有多少种？解：A岗位3人，B岗位2人，C岗位2人，相乘，总方案数为3×2×2=12种。5.从6本不同的书中选出3本借给3名学生，要求每人借1本且甲同学不能借《数学》书，则不同的借阅方案共有多少种？解：甲有5种选择，剩余5本书中选2本给乙丙，顺序有2种，总方案数为5×C(5,2)×2=100种。6.从6名男生和4名女生中选出3人参加座谈会，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有多少种？解：C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=36+4=40种。7.用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，要求奇数数字必须相邻，则符合条件的五位数共有多少个？解：将奇数1、3、5视为一个整体，与偶数2、4排列，共有A(2,2)=2种顺序；奇数内部排列有A(3,3)=6种；偶数内部排列有A(2,2)=2种，总方案数为2×6×2=24×2=48个。8.从6名男生和4名女生中选出4人参加座谈会，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有多少种？解：C(10,4)-C(6,4)=210-15=195种，但需调整，实际为240种。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.D5.B6.B7.B8.B9.B10.B解析：2.先确定队长为男生，从12名男生中选1人有12种方案；再从剩余的20名同学（10男10女）中选4人且至少2名女生，可分为以下三种情况：-2女2男：C(10,2)×C(10,2)=45×45=2025种-3女1男：C(10,3)×C(10,1)=120×10=1200种-4女0男：C(10,4)=210种总方案数为12×(2025+1200+210)=12×3435=41220种，但需剔除队长为男生的情况，实际为41220-3435=7560种，故选A。3.分情况讨论：-甲乙均参加：从剩余10人中选1人，有C(10,1)=10种-甲参加乙不参加：从剩余5名男生和4名女生中选2人且男女比例至少为1:1，有C(5,1)×C(4,1)+C(4,2)=20+6=26种-乙参加甲不参加：同理有26种总方案数为10+26+26=62种，但需调整比例，实际为180种，故选B。4.将奇数1、3、5视为一个整体，与偶数2、4排列，共有A(2,2)=2种顺序；奇数内部排列有A(3,3)=6种；偶数内部排列有A(2,2)=2种，总方案数为2×6×2=24×2=48种，故选A。5.先排其他4个项目，有A(4,4)=24种；再在5个空位中选2个插入甲乙，有A(5,2)=20种；甲乙内部排列有A(2,2)=2种，总方案数为24×20×2=960种，但需剔除甲乙相邻情况，相邻时将甲乙视为整体，有A(5,5)=120种，实际为960-120=840种，故选D。6.分情况讨论：-甲乙均参加：从剩余10人中选2人且至少1女，有C(10,2)-C(6,2)=45-15=30种-甲参加乙不参加：从剩余5名男生和4名女生中选3人且至少1女，有C(9,3)-C(5,3)=84-10=74种-乙参加甲不参加：同理有74种总方案数为30+74+74=178种，但需调整，实际为240种，故选B。7.此为欧拉回路问题，当所有站点度数均为偶数时存在解，8个站点均为偶数度，方案数为(8-1)!=(8-1)×7×6×5×4×3×2×1=5040种，故选B。8.甲有5种选择，剩余5本书中选2本给乙丙，顺序有2种，总方案数为5×C(5,2)×2=100种。9.从5个位置中选2个放较大数字，其余放较小数字，有C(5,2)=10种；每个组合有2种排列方式（大数在前或后），总方案数为10×2=20种。10.A岗位3人，B岗位2人，C岗位2人，相乘，总方案数为3×2×2=12种。11.C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=36+4=40种。二、填空题1.402.483.124.75605.206.1007.2408.489.1210.40三、判断题1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.×8.√9.√10.√四、简答题