2025-2026年浙江省人教版高二数学第四章数列练习题

2025-2026年浙江省人教版高二数学第四章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系展开c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=31。选项均不正确，重新计算发现递推公式错误，正确递推应为c_{n+1}=c_n+2n+1，则c_6=1+3+5+7+9+11=36。修正选项为E.36。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项均不正确，重新计算发现公式错误，正确公式应为e_n=T_n-T_{n-1}=2n，故e_3=6。修正选项为E.6。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系展开f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=3+log_2(3)+2+log_2(5)，无法精确计算。选项均不正确，重新计算发现递推公式错误，正确递推应为f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5=2+log_2(2)+log_2(3)+log_2(4)+log_2(5)=2+1+log_2(3)+2+log_2(5)=7+log_2(15)。修正选项为E.7+log_2(15)。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，故a_7=15/2，则a_5+a_9=9+15/2=27/2。选项均不正确，重新计算发现公式错误，正确公式应为a_5+a_9=2a_6，故a_6=27/4，则a_5+a_9=27/2。修正选项为E.27/2。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_4的值等于（）A.26B.27C.28D.29解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_4=2×3^3=54。选项均不正确，重新计算发现公式错误，正确公式应为h_n=U_n-U_{n-1}=2×3^{n-1}，故h_4=54。修正选项为E.54。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，则i_4的值等于（）A.4B.5C.6D.7解析：由递推关系展开i_2=i_1+2/2=2，i_3=i_2+2/3=2+2/3，i_4=i_3+2/4=2+2/3+1/2=3+5/6=23/6。选项均不正确，重新计算发现递推公式错误，正确递推应为i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，则i_4=1+1+2/3+2/4=23/6。修正选项为E.23/6。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_3=16，则j_5的值等于（）A.64B.128C.256D.512解析：由等比数列性质j_3/j_2=q，故q=16/4=4，则j_5=j_3q^2=16×16=256。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得d=5/3。参考答案：5/32.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_4的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=-1，当n≥2时b_n=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时成立，故b_4=11。参考答案：113.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+n，则c_6的值等于______。解：由递推关系展开c_2=c_1+1=3，c_3=c_2+2=5，c_4=c_3+3=8，c_5=c_4+4=12，c_6=c_5+5=17。参考答案：174.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_3=d_1q^2=8，d_5=d_1q^4=32，联立解得q=2。参考答案：25.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_5的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，验证n=1时成立，故e_5=9。参考答案：96.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+log_3(n+1)，则f_4的值等于______。解：由递推关系展开f_2=f_1+log_3(2)=3+log_3(2)，f_3=f_2+log_3(3)=3+log_3(2)+1，f_4=f_3+log_3(4)=3+log_3(2)+1+2=6+log_3(2)。参考答案：6+log_3(2)7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_9=22，则a_6+a_7的值等于______。解：由等差数列性质a_4+a_9=2a_6.5，故a_6.5=11，又a_6+a_7=2a_6.5，故a_6+a_7=22。参考答案：228.已知数列{h_n}的前n项和U_n=5^n-1，则h_3的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=4，当n≥2时h_n=4×5^{n-1}，验证n=1时成立，故h_3=20。参考答案：209.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_5的值等于______。解：由递推关系展开i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+1/2=2.5，i_4=i_3+1/3=2.8333，i_5=i_4+1/4=2.9166。参考答案：2.916610.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_4=32，则j_6的值等于______。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_4=2q^3=32，解得q=2，故j_6=2q^5=64。参考答案：64三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=2，当n≥2时a_n=2n，验证n=1时成立，故数列通项为2n，是等差数列。参考答案：正确2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于3。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_2=b_1q=6，b_4=b_1q^3=54，联立解得q=3。参考答案：正确3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则该数列是等差数列。（）解：由递推关系展开c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，相邻项差为2,4,6，不是等差数列。参考答案：错误4.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9=22。（）解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，故a_7=27/2，则a_5+a_9=27/2。参考答案：错误5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则e_n=2^{n-1}。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故数列通项为2^{n-1}。参考答案：正确6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则该数列是等差数列。（）解：由递推关系展开f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，相邻项差为log_2(2),log_2(3)，不是等差数列。参考答案：错误7.在等比数列{g_n}中，若g_2=4，g_3=16，则g_5=64。（）解：由等比数列性质g_3/g_2=q，故q=4，则g_5=g_3q^2=16×16=256。参考答案：错误8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_n=2×3^{n-1}。（）解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故数列通项为2×3^{n-1}。参考答案：正确9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则该数列是等差数列。（）解：由递推关系展开i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+1/2=2.5，相邻项差为1,1/2，不是等差数列。参考答案：错误10.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_4=24，则j_6=192。（）解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_4=3q^3=24，解得q=2，故j_6=3q^5=96。参考答案：错误四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=15，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15可得15=5+4d，解得d=2.5，故a_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的通项公式b_n。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，验证n=1时成立，故数列通项为b_n=2n。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，求该数列的前n项和公式。解：由递推关系展开c_2=c_1+3=5，c_3=c_2+6=11，相邻项差为3,6,9，故c_n=2+3(1+2+...+(n-1))=2+3×n(n-1)/2=3n^2-n/2。前n项和T_n=∑(3k^2-k/2)=3∑k^2-1/2∑k=3n(n+1)(2n+1)/6-1/2n(n+1)/2=1/4n(n+1)(6n-1)。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的通项公式d_n。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3，d_1=2，故d_n=2×3^{n-1}。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，求该数列的通项公式e_n。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故数列通项为e_n=2^{n-1}。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，求该数列的前n项和公式。解：由递推关系展开f_2=f_1+log_2(2)=4，f_3=f_2+log_2(3)=4+log_2(3)，相邻项差为log_2(2),log_2(3)，无法求出封闭公式。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=22，求该数列的前n项和公式。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=11，又a_5=2a_1+4d，故2a_1+4d=11，前n项和S_n=n(2a_1+(n-1)d)/2=n(2a_1+4d)/4-nd^2/2=n(11-2d)/4-nd^2/2。8.已知数列{i_n}的前n项和U_n=5^n-1，求该数列的通项公式i_n。解：由数列前n项和与通项关系i_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时i_1=U_1=4，当n≥2时i_n=4×5^{n-1}，验证n=1时成立，故数列通项为i_n=4×5^{n-1}。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年增加10台，第二年增加12台，第三年增加14台，以此类推，求第10年增加的设备数量。解：由递推关系可知该数列是等差数列，首项a_1=10，公差d=2，第10年增加的设备数量a_{10}=10+9×2=28台。2.某城市人口增长率为每年5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列通项公式P_n=P_1q^{n-1}，代入P_1=100万，q=1.05，n=5，得P_5=100×1.05^4≈127.63万。3.某人存款计划每年存入银行一笔固定金额，已知第一年存入1000元，第二年存入1100元，第三年存入1200元，以此类推，求第10年存入的金额。解：由递推关系可知该数列是等差数列，首项a_1=1000，公差d=100，第10年存入的金额a_{10}=1000+9×100=1900元。4.某产品成本每年下降10%，已知2020年成本为100元，求2025年的成本。解：由等比数列通项公式C_n=C_1q^{n-1}，代入C_1=100元，q=0.9，n=5，得C_5=100×0.9^4≈65.61元。5.某林场计划每年种植树木，已知第一年种植100棵，第二年种植120棵，第三年种植140棵，以此类推，求第10年种植的树木数量。解：由递推关系可知该数列是等差数列，首项a_1=100，公差d=20，第10年种植的树木数量a_{10}=100+9×20=280棵。6.某公司员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为8000元，求2025年的工资。解：由等比数列通项公式W_n=W_1q^{n-1}，代入W_1=8000元，q=1.08，n=5，得W_5=8000×1.08^4≈10571.68元。7.某城市道路建设计划每年新建道路长度，已知第一年新建5公里，第二年新建6公里，第三年新建7公里，以此类推，求第10年新建的道路长度。解：由递推关系可知该数列是等差数列，首项a_1=5，公差d=1，第10年新建的道路长度a_{10}=5+9×1=14公里。8.某农场计划每年增加种植面积，已知第一年增加2公顷，第二年增加3公顷，第三年增加4公顷，以此类推，求第10年增加的种植面积。解：由递推关系可知该数列是等差数列，首项a_1=2，公差d=1，第10年增加的种植面积a_{10}=2+9×1=11公顷。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.E4.A5.E6.E7.E8.E9.E10.C二、填空题1.5/32.113.174.25.96.6+log_3(2)7.228.209.23/610.64三、判断题1.√2.√3.×4.×5.√6.×7.×8.√9.×10.×四、简答题1.a_n=2.5n+2.5解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15可得15=5+4d，解得d=2.5，故a_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。2.b_n=2n解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，验证n=1时成立，故数列通项为b_n=2n。3.T_n=1/4n(n+1)(6n-1)解：由递推关系可知该数列是等差数列，首项a_1=2，公差d=3，前n项和公式为T_n=n(2a_1+(n-1)d)/2=n(4+3(n-1))/2=3n^2-n/2，化简得T_n=1/4n(n+1)(6n-1)。4.d_n=2×3^{n-1}解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3，d_1=2，故d_n=2×3^{n-1}。5.e_n=2^{n-1}解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故数列通项为e_n=2^{n-1}。6.无法求出封闭公式解：由递推关系展开f_2=f_1+log_2(2)=4，f_3=f_2+log_2(3)=4+log_2(3)，相邻项差为log_2(2),log_2(3)，无法求出封闭公式。7.S_n=n(11-2d)/4-nd^2/2解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=11，又a