2025-2026年广东省人教版高二数学第4课数列性质与图像练习题

2025-2026年广东省人教版高二数学第4课数列性质与图像练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列的前6项和为（）A.36B.48C.64D.80解析：由递推关系可知c_2=2c_1+c_0=3，c_3=2c_2+c_1=7，c_4=2c_3+c_2=17，c_5=2c_4+c_3=41，c_6=2c_5+c_4=99，前6项和为1+3+7+17+41+99=168。选项均不正确，需重新计算递推关系。4.函数f(x)=log_{2}(x+1)的图像与数列{a_n}的图像在区间[0,1]上有交点，若a_n=2n-1，则交点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f(x)=log_{2}(x+1)在[0,1]上单调递增，f(0)=0，f(1)=1；a_n=2n-1在[0,1]上取n=1时a_1=1，故有唯一交点（1,1）。选项B正确。5.已知数列{d_n}的图像是右图所示折线段，则d_5的值为（）（此处应有折线图，假设为n轴上点(1,1)、(2,3)、(3,1)、(4,3)）A.1B.2C.3D.4解析：由图像可知d_n为分段函数，d_n=1（n为奇数），d_n=3（n为偶数），故d_5=1。选项A正确。6.在等比数列{e_n}中，若e_2=6，e_4=54，则e_3的值为（）A.12B.18C.24D.36解析：由等比数列通项公式e_n=e_1q^{n-1}，代入e_2=6=e_1q，e_4=54=e_1q^3，联立解得e_1=2，q=3，故e_3=2×3^2=18。选项B正确。7.已知数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，则f_3的值为（）A.6B.9C.12D.15解析：f_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，故f_3=2×3-1=5。选项均不正确，需重新计算前n项和公式。8.函数y=2^x与y=x^2的图像在第一象限的交点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：令2^x=x^2，取对数lnx=2lnx，解得x=1或x=2，故有2个交点。选项C正确。9.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+2n，则g_10的值为（）A.100B.110C.120D.130解析：由递推关系g_{n+1}=g_n+2n，可知g_n=g_1+2(1+2+...+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1，故g_10=10^2-10+1=91。选项均不正确，需重新计算递推关系。10.若数列{h_n}的图像是右图所示抛物线段，则h_4的值为（）（此处应有抛物线图，假设为y=n^2-n+1在n=1,2,3,4处取值）A.7B.9C.11D.13解析：由图像可知h_n=n^2-n+1，故h_4=4^2-4+1=13。选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9=______解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18，答案为18。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_1+b_2+b_3+b_4=______解：b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故b_1+b_2+b_3+b_4=2(1+3+9+27)=2×40=80。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6=______解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可知c_n=c_1+2(1+2+...+(n-1))=2+n(n-1)=n^2-n+2，故c_6=6^2-6+2=32。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比为______解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=4，d_4=16解得q=±2，答案为±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_4=______解：e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[(n-1)n/2]=2n-1，故e_4=2×4-1=7。6.函数f(x)=log_{3}(x+2)的图像与直线y=x的交点横坐标为______解：令log_{3}(x+2)=x，取对数3^x=x+2，解得x=1，答案为1。7.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+3n，则f_5=______解：由递推关系f_{n+1}=f_n+3n，可知f_n=f_1+3(1+2+...+(n-1))=1+3n(n-1)/2=3n^2/2-3n/2+1，故f_5=3×25/2-15/2+1=31.5。8.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则该数列的前10项和为______解：S_{10}=[2a_1+(10-1)d]×10/2=(2×5+9×(-2))×5=5，答案为5。9.已知数列{b_n}的图像是右图所示正弦曲线段，则b_3的值为______（此处应有正弦曲线图，假设为y=sinπx在x=1,2,3处取值）解：由图像可知b_n=sinπn，故b_3=sin3π=0，答案为0。10.函数y=2^x与y=x^2的图像在第一象限的交点纵坐标为______解：令2^x=x^2，取对数lnx=2lnx，解得x=1或x=2，故交点纵坐标为2，答案为2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（n≥2），则该数列为等差数列。（正确）解：等差数列定义即为相邻项差为常数，故正确。2.所有等差数列的前n项和都是二次函数。（正确）解：S_n=[2a_1+(n-1)d]×n/2=an^2+bn（a=d/2,b=a_1-d/2），故正确。3.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2，则b_n=2n-1。（正确）解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1，故正确。4.所有等比数列的通项公式都可以表示为a_n=a_1q^{n-1}。（正确）解：等比数列定义即为相邻项比为常数，故正确。5.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列为斐波那契数列。（错误）解：斐波那契数列特指c_1=1,c_2=1，而递推关系相同但初始值不同则不是斐波那契数列。6.函数y=2^x与y=x^2的图像在第一象限有且仅有两个交点。（正确）解：令2^x=x^2，取对数lnx=2lnx，解得x=1或x=2，故正确。7.所有等差数列的图像都是直线段。（错误）解：当项数有限时为折线段，无限项时才为直线段。8.若数列{d_n}的图像是右图所示指数曲线段，则d_n=2^n。（错误）（此处应有指数曲线图，假设为y=3^n）解：由图像可知d_n=3^n，故错误。9.所有等比数列的前n项和都可以表示为Sn=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。（正确）解：等比数列求和公式即为此形式，故正确。10.函数y=2^x与y=x^2的图像在第一象限的交点横坐标都大于1。（错误）解：其中一个交点横坐标为1，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.证明等差数列{a_n}中，若a_k=a_m（k≠m），则该数列为常数列。证明：由等差数列性质a_k=a_1+(k-1)d，a_m=a_1+(m-1)d，若a_k=a_m，则(k-1)d=(m-1)d，因k≠m，故d=0，此时a_n=a_1，为常数列。2.求数列{b_n}的通项公式，其中b_n=S_n-S_{n-1}，S_n=n^2+n。解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，故b_n=2n-1。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），求c_3。解：c_2=2c_1+c_0=3，c_3=2c_2+c_1=6+1=7。4.证明等比数列{d_n}中，若d_k=0（k≥2），则该数列为常数列。证明：由等比数列性质d_k=d_1q^{k-1}，若d_k=0，则d_1q^{k-1}=0，因q≠0，故d_1=0，此时a_n=0，为常数列。5.求数列{e_n}的前n项和T_n，其中e_n=2n-1。解：T_n=1+3+...+(2n-1)=n^2。6.已知数列{f_n}的图像是右图所示抛物线段，求f_2+f_4。（此处应有抛物线图，假设为y=n^2-n+1在n=2,4处取值）解：f_2=2^2-2+1=3，f_4=4^2-4+1=13，故f_2+f_4=16。7.证明等差数列{a_n}中，若a_1+a_n=a_2+a_{n-1}，则该数列为常数列。证明：由等差数列性质a_1+a_n=2a_1+(n-1)d，a_2+a_{n-1}=2a_1+(n-1)d，故等式恒成立，但无法推出d=0，需补充条件。8.已知数列{g_n}的图像是右图所示正弦曲线段，求g_1+g_3+g_5。（此处应有正弦曲线图，假设为y=sinπx在x=1,3,5处取值）解：g_1=sinπ=0，g_3=sin3π=0，g_5=sin5π=0，故g_1+g_3+g_5=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂第一年产量为100万件，计划每年比上一年增产20%，求第5年的产量。解：由等比数列公式a_n=a_1q^{n-1}，a_1=100，q=1.2，n=5，故a_5=100×1.2^4=207.36万件。2.某城市人口2020年为100万，预计每年自然增长率为1%，求2025年的人口数量。解：由等比数列公式a_n=a_1q^{n-1}，a_1=100，q=1.01，n=5，故a_5=100×1.01^5≈105.1万。3.某林场第一年种植树木100棵，计划每年比上一年多种植10棵，求第10年的种植数量。解：由等差数列公式a_n=a_1+(n-1)d，a_1=100，d=10，n=10，故a_10=100+9×10=190棵。4.某产品成本第一年为100元，计划每年比上一年降低5%，求第4年的成本。解：由等比数列公式a_n=a_1q^{n-1}，a_1=100，q=0.95，n=4，故a_4=100×0.95^3≈85.7元。5.某城市地铁线路长度第一年为50公里，计划每年比上一年增加10公里，求第6年的线路长度。解：由等差数列公式a_n=a_1+(n-1)d，a_1=50，d=10，n=6，故a_6=50+5×10=100公里。6.某银行存款利率为年息4%，求存入1000元一年后的本息和。解：由等比数列公式a_n=a_1q^{n-1}，a_1=1000，q=1.04，n=2，故a_2=1000×1.04=1040元。7.某工厂第一年利润为100万元，计划每年比上一年增加10万元，求第8年的利润。解：由等差数列公式a_n=a_1+(n-1)d，a_1=100，d=10，n=8，故a_8=100+7×10=170万元。8.某产品售价第一年为100元，计划每年比上一年上涨5%，求第5年的售价。解：由等比数列公式a_n=a_1q^{n-1}，a_1=100，q=1.05，n=5，故a_5=100×1.05^4≈121.55元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.B7.D8.C9.B10.D解析：第3题递推关系错误，正确答案为120（c_n=n^2+n-1）；第7题前n项和公式错误，正确答案为220（T_n=n(n+3)/2）。二、填空题1.182.803.324.±25.76.17.31.58.59.010.2解析：第3题递推关系错误，正确答案为32（c_n=n^2+n）；第8题前n项和公式错误，正确答案为-50（S_{10}=5a_1+45d=-50）。三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.×9.√10.×解析：第5题斐波那契数列定义错误；第7题等差数列性质应用错误；第10题交点坐标计算错误。四、简答题1.证明：由等差数列性质a_k=a_1+(k-1)d，a_m=a_1+(m-1)d，若a_k=a_m，则(k-1)d=(m-1)d，因k≠m，故d=0，此时a_n=a_1，为常数列。2.解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，故b_n=2n-1。3.解：c_2=2c_1+c_0=3，c_3=2c_2+c_1=6+1=7。4.证明：由等比数列性质d_k=d_1q^{k-1}，若d_k=0，则d_1q^{k-1}=0，因q≠0，故d_1=0，此时a_n=0，为常数列。5.解：T_n=1+3+...+(2n-1)=n^2。6.解：f_2=2^2-2+1=3，f_4=4^2-4+1=13，故f_2+f