2027年高考数学一轮复习(创新设计)第2节　用样本估计总体

第2节用样本估计总体课标要求1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.1.百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.2.众数、中位数、平均数(1)众数:一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数:把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数:把a1＋a2＋…＋ann称为a1，3.标准差与方差设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是s＝1ns2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)24.总体(样本)方差和总体(样本)标准差(1)一般式:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则总体方差S2＝1NN∑i=1(Yi(2)加权式:如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝1Nk∑i=1fi(Yi1.若x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为mx＋a.2.数据x1，x2，…，xn与数据x1'＝x1＋a，x2'＝x2＋a，…，xn'＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变.3.若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同角度描述了一组数据的集中趋势.()(2)一组数据的中位数必为其中一个数.()(3)方差越大，数据越集中.()(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)中位数也可能是中间两个数的平均数.(3)中方差越大，数据越分散;方差越小，数据越集中.2.(人教A必修二P181T1原题)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数()A.一定为5.5kW·h B.高于5.5kW·hC.低于5.5kW·h D.约为5.5kW·h答案D解析由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW·h.3.(北师大必修一P170例3改编)为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人数学成绩的()A.平均数 B.众数C.方差 D.频率分布答案C解析方差刻画一组数据的集中程度或稳定性.4.(苏教必修二P257T1改编)已知一组数据1，3，2，5，4，则这组数据的标准差为，25%分位数为.

答案22解析由题意得x＝s2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2∴s＝2，数据排序为:1，2，3，4，5，由5×25%＝1.25得25%分位数为第2个数据2.考点一总体百分位数的估计例1(1)(2026·南充诊断)甲同学近10次数学考试成绩情况如下:103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是()A.118 B.121C.122 D.123(2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是.(结果保留两位小数)

答案(1)D(2)124.44解析(1)将甲同学近10次的数学考试成绩按从小到大的顺序排列:103，106，113，118，118，119，121，123，125，134.10×75%＝7.5，所以第75百分位数为按从小到大的顺序排列后的第8个数据123，故选D.(2)由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位数一定位于[120，130)内.因为120＋0.80−0.700.925−0.70×所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.感悟提升1.计算一组数据的第p百分位数的步骤2.直方图中可运用面积和求第p百分位数或按下列方法计算:(1)确定百分位数所在的区间[a，b).(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋p%−fa%fb训练1(1)(2026·郑州质测)某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下(单位:m3):18，19，20，20，21，21，22，23，23，24.估计该小区业主月均用气量的60%分位数为()A.21 B.21.5C.22 D.22.5(2)已知一组数据1，2，3，4，x的上四分位数是x，则x的取值范围为()A.{3} B.[2，3]C.[3，4] D.{4}答案(1)B(2)C解析(1)因为样本数据共10个，10×60%＝6，样本数据的60%分位数为21＋222据此可估计该小区业主月均用水量的60%分位数为21.5，故选B.(2)在五个数中，上四分位数为第二大的数，故1，2，3，4，x中第二大的数是x，所以3≤x≤4.考点二总体集中趋势的估计角度1样本的数字特征例2(1)(多选)(2026·荆门联考)某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了30名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下.则下列对该单位党员一周学习党史时间的叙述，正确的有()党史学习时间(小时)7891011党员人数48765A.众数是8 B.第40百分位数为8C.平均数是9 D.中位数是9(2)(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:亩产量[900，950)[950，1000)[1000，1050)频数61218亩产量[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)频数302410根据表中数据，下列结论中正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间答案(1)ACD(2)C解析(1)由题意，随机抽取30名党员，由表可知，党史学习时间为8小时的人最多，为8人，故众数是8，故A正确;因为30×40100＝12，40百分位数为8＋92＝8.5，故B平均数为130×(7×4＋8×8＋9×7＋10×6＋11×5)＝9，故C正确因为共有30名党员，故中位数为第15项和第16项的平均数，因为第15项和第16项均为9，故中位数为9，故D正确.(2)对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1050，1100)，故A不正确;对于B，100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例为6＋12＋18＋30100×100%＝66%，故B不正确对于C，因为1200－900＝300，1150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间，故C正确;对于D，100块稻田亩产量的平均值为1100×(925×6＋975×12＋1025×18＋1075×1125×24＋1175×10)＝1067(kg)，故D不正确.角度2频率分布直方图中的数字特征例3在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位:mm)，得到样本的频数分布表如下:纤维长度频数频率[0，50)40.04[50，100)80.08[100，150)100.10[150，200)100.10[200，250)160.16[250，300)400.40[300，350]120.12(1)在图中作出样本的频率分布直方图;(2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计.解(1)样本的频率分布直方图如图所示.(2)由样本的频率分布直方图，得众数为250＋3002设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位数为252.5mm;设平均数为x，则x＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋275×0.4＋325×0.12＝222(mm)，故平均数为222mm.由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为275mm，252.5mm和222mm.感悟提升1.中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用.2.频率分布直方图中的数字特征(1)众数:最高的矩形底边中点的横坐标.(2)中位数:中位数左边和右边的矩形的面积和是相等的.(3)平均数:平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个矩形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.训练2(1)(2026·南宁质检)某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩(单位:分)整理如下:成绩/分[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数52530201010根据表中数据，下列结论正确的是()A.这100名学生成绩的极差为60分B.这100名学生成绩的中位数大于70分C.这100名学生成绩的平均数大于60分D.这100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过80%(2)某大学共有12000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注:同一组数据用该组区间的中点值作为代表)()A.中位数为6B.众数为10C.平均数为6.88D.该校读书不低于8本的人数约为3600答案(1)C(2)C解析(1)对于A，因为100－40＝60，90－50＝40，所以这100名学生成绩的极差介于40分至60分之间(不包含40分，包含60分)，故A错误;对于B，根据题中频数分布表可知，5＋25＋30＝60>50，所以中位数不超过70分，故B错误;对于C，由题中频数分布表可得，平均数为1100×(5×45＋25×55＋30×65＋20×75＋10×85＋10×95)＝68.5，故C正确对于D，这100名学生中成绩大于60分的频数不超过30＋20＋10＋10＝70，所以这100名学生中成绩大于60分的人数所占比例为70100＝70%，故D错误.故选(2)由图知，中位数x在[4，8)内，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，A错误;由图知，众数在[4，8)内，故众数为6，B错误;平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正确;由图知，该校读书不低于8本的频率之和为1－(0.06＋0.10)×4＝0.36，所以该校读书不低于8本的人数约为0.36×12000＝4320，D错误.考点三总体离散程度的估计例4(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.(1)求z，s2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2s2解(1)由题意，求出zi的值如表所示，试验序号i12345678910zi968－8151119182012则z＝1s2＝110×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2(2)因为2s210＝2z＝11＝121>24.4，所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.感悟提升1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的情况.标准差、方差越大，数据的离散程度越大;标准差、方差越小，数据的离散程度越小.2.极差从某种意义上来说也是对数据离散程度的刻画.训练3(2026·江门模拟)某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为x和y，方差分别为s12和A(单位/kg)60504060708070305090B(单位/kg)40605080805060208070(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数;(2)求x、y，(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由.解(1)这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30，40，50，50，60，60，70，70，80，90，这10棵A品种桃树产量的极差为90－30＝60，中位数为60＋602这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20，40，50，50，60，60，70，80，80，80，这10棵B品种桃树产量的极差为80－20＝60，中位数为60＋602(2)x＝1y＝1s12＝110×[(30－60)2＋(40－60)2＋(50－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(70－60)2＋(70－60)2s22＝110×[(20－59)2＋(40－59)2＋(50－59)2＋(50－59)2＋(60－59)2＋(60－59)2＋(70－59)2＋(80－59)2(3)由(1)可知这两个品种极差和中位数都相等，由(2)可知x>y，s1则A品种桃树平均产量高，波动小，所以应该选种A品种桃树.一、单选题1.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量()A.平均数 B.众数C.百分位数 D.标准差答案D解析标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确.2.(2025·新高考Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为()A.8 B.9C.12 D.18答案C解析由题意15(2＋8＋14＋16＋20)＝12，故选3.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为()A.220 B.240C.250 D.300答案B解析∵1200×80%＝960，∴小于103分的学生最多有960人，则数学成绩不小于103分的学生至少有1200－960＝240(人).4.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为12，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5A.2，12 C.4，32 D.4，答案D解析因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为12所以另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为3×2－2＝4，方差为32×125.(2026·宁波模拟)研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位:小时)分成五组:[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12)，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是()A.7 B.7.5C.7.8 D.8答案B解析因为2×(0.05＋0.10)＝0.30，2×(0.05＋0.10＋0.20)＝0.70，所以样本数据的第60百分位数的估计值为6＋0.60−0.300.70−0.30×2＝7.5，故选6.(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差答案B解析对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位数是70%＋75%2＝72.5%，所以A错误对于B，讲座后问卷答题的正确率分别是80%，85%，85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%，100%，其平均数显然大于85%，所以B正确;对于C，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率波动较大，讲座后问卷答题的正确率波动较小，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，所以C错误;对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差是95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差是100%－80%＝20%，所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差，所以D错误.故选B.7.(2026·江西联考)气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位:℃):①甲地:5个数据的中位数为24，众数为22;②乙地:5个数据的中位数为27，总体均值为24;③丙地:5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.其中肯定进入夏季的地区有()A.①② B.①③C.②③ D.①②③答案B解析对于①，由甲地的5个数据的中位数为24，众数为22，知这5个数据若按从小到大的顺序排列，则前3个数据必为22，22，24，且后面2个数据大于24，且不相等，所以甲地符合进入夏季的标准;对于②，若乙地的5个数据为19，20，27，27，27，此时满足中位数为27，总体均值为24，但有2天的日平均温度低于22℃，不符合进入夏季的标准;对于③，设丙地的5个数据分别为x1，x2，x3，x4，32，则方差s2＝15[(32－26)2＋(x1－26)2＋(x2－26)2＋(x3－26)2＋(x4－26)2]＝7.2＋15[(x1－26)2＋(x2－26)2＋(x3－26)2＋(x4－26)2].若x1，x2，x3，x4中存在小于22的数据，不妨设其中一个数据为21，则s2≥7.2＋5＝12.2>10.8，不满足题意，所以x1，x2，x3，x4均大于或等于22，故丙地符合进入夏季的标准.二、多选题8.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是()A.图1的平均数＝中位数＝众数B.图2的平均数<众数<中位数C.图2的众数<中位数<平均数D.图3的平均数<中位数<众数答案ACD解析对于A，因为当数据呈对称分布时，平均数、众数、中位数相等，故A正确;对于B，C，在题图2中，将矩形从左往右数，众数是最高矩形底边中点的横坐标，因为第二、三个矩形所占数据较多，且在右边拖尾，所以众数<中位数<平均数，故B不正确，C正确;对于D，在题图3中，将矩形从左往右数，众数是最高矩形底边中点的横坐标，因为第五、六个矩形所占数据较多，且在左边拖尾，所以平均数<中位数<众数，故D正确.9.(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差答案BD解析取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为223＝663，根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确;根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.三、填空题10.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是.答案6解析由题意知该组数据的极差为17－2＝15，中位数为m＋12所以m＋122＝15×35＝9，又6×40%＝2.4，所以该组数据的第40百分位数是该组数据的第三个数6.11.已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为.

答案7解析原7个数的方差为177∑i=1(即7∑i=1xi－2)2加入一个新数据2后所得8个数的平均数为x＝所以这8个数的方差为s2＝18[28＋(2－2)2]＝712.(2023·上海卷)国内生产总值(GDP)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标.根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳定增长，第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元和241亿元，且四个季度的GDP逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020年的GDP总额为亿元.

答案946解析依题意，将2020年四个季度的GDP数据分别记为a1，a2，a3，a4，则a1＝232，a4＝241，四个季度GDP数据的中位数为12(a2＋a3平均数为14(a1＋a2＋a3＋a4则12(a2＋a3)＝14(a1＋a2＋a3＋a∴a2＋a3＝a1＋a4＝473，故该市2020年的GDP总额为a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a4)＝946(亿元).四、解答题13.某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150)分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及