苏科版数学八年级上册1.5等腰三角形同步练习

苏科版数学八年级上册1.5等腰三角形同步练习一、选择题1．已知一个等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为()A．11 B．13 C．12或13 D．11或132．已知△ABC是等腰三角形，若∠A=100°，则△ABC的底角是（）A．40° B．80° C．100° D．100°或40°3．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D是BC延长线上的一点，∠ACD=110°，则∠A的度数为（）A．70° B．55° C．40° D．35°4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若A．60° B．65° C．75° D．80°5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长可能是（）A．2.7 B．5.2 C．7.2 D．8.66．如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．107．如图，△ABC中，∠C=45°，∠B=120°.BC、AB的中垂线DE、FH分别交BC、CA、AB于D、E、F、H.若CE=3，则AH的长度是（)A．4 B．6 C．7 D．88．如图，在△ABC中，AC=BC，F为边AB的中点，边AC的垂直平分线DE分别交AC,CF,CB于点D，O，E，连接OB．若∠ACF=20°，则∠BOE的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°9．如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=AC，BD⊥AC，垂足为点D，延长BC至点E，取CE=CD．若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长是（）A．9+a B．12+a C．9+2a D．12+2a10．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC上，且BD=CE，AE与A．30° B．60° C．45° D．50°二、填空题11．如图，在△ABC中，∠BAC>90°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点D，E.作直线DE，交BC于点M，分别以点A，C为圆心，以大于1212．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为．13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°.∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是．14．如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD=30°，AC=AE，且满足∠CAE=∠ABD，若S△ABC=25，则AB=三、证明题15．如图，BD是等腰三角形ABC底边AC上的高线，DE//BC，交AB于点E.求证：△BED是等腰三角形．证明：在△ABC中∵AB=BC，BD⊥AC∴∠1=∠（等腰三角形）∵DE//BC，∴∠1=∠（两直线平行，内错角相等）∴∠=∠（等量代换）∴BE=ED（在同一个三角形中，）即△BED是等腰三角形．16．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）若AC=6，BD=2，求DF的长．17．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG=∠ABE，∠FAG=∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）若AD平分∠BAC，求证：BE=CG+EG．18．如图，在Rt△ABC中，（1）求证：∠ABC（2）若∠ABC=1四、综合题19．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．（1）如图①，当AB=AC时图中有个等腰三角形．（2）如图②，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由．（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由．20．如图1，已知∠ABC=90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．（1）求证：BE=BF；（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．21．如图，点O是等边ΔABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD（1）求证：ΔACD≅（2）当α=150°时，试判断ΔAOD（3）当ΔAOD是等腰三角形时，求α五、阅读理解题22．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．（1）如图①，若∠ABC=2∠C，可作∠ABC的平分线BD交AC于点D，则是等腰三角形；（2）如图②，若∠ABC=2∠C，可延长CB至点D，使BD=BA，连接AD，则是等腰三角形；（3）如图③，若∠B=2∠ACB，以C为顶点，CA为一边，在△ABC外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形，请说明理由；（4）【解决问题】如图④，在△ABC中，∠C=2∠B，BC=2AC，求证：∠A=90°．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：当腰长为3，底边长为5时，三边长为3，3，5，∵3+3=6>5，∴3，3，5能构成三角形，此时三角形的周长为3+3+5=11；当腰长为5，底边长为3时，三边长为5，5，3，∵5+3=8>5，∴5，5，3能构成三角形，此时三角形的周长为5+5+3=13；综上，三角形的周长为11或13，故选：D．【分析】分腰长为3和腰长为5两种情况讨论，利用三角形三边关系验证是否构成三角形，再计算周长即可求解．2．【答案】A【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，且∠A=100°，若∠A是顶角，则底角之和为180°−100°=80°，∴每个底角为80°÷2=40°．若∠A是底角，则另一个底角也为100°，顶角为180°−100°−100°=−20°，不成立．∴∠A只能是顶角，底角为40°．综上所述，△ABC的底角是40°故选：A．【分析】根据等腰三角形性质分类讨论：若∠A是顶角，若∠A是底角，结合三角形内角和定理即可求出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠ACD=110°

∴∠ACB=180°-110°=70°

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=70°

∴∠A=180°-70°-70°=40°故答案为：C.【分析】由邻补角的性质求出∠ACB=70°，由等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=70°，由三角形内角和定理即可求出∠A的度数.4．【答案】C【解析】【解答】解：如图，

∵CD=DE，∠CDE=80°，∴∠DCE=∠DEC=180°−80°∵OC=CD，∴∠O=∠CDO，∵∠O+∠CDO=∠DCE，∴2∠O=50°，∴∠O=25°，∴∠BDE=∠O+DEC=25°+50°=75°，故答案为：C．【分析】根据CD=DE，∠CDE=80°，结合三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=50°，再根据等腰三角形的性质∠O=∠CDO，再利用三角形外角性质求出∠O即可得答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的最小值为3．∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴AP的最大值为6，∴AP的长可能是5.2，故答案为：B．

【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=6，从而根据垂线段最短及题意可得3≤AP≤6，从而即可逐一判断得出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.所以△ABC是等腰三角形，点C的个数为8个，故答案为：B.【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解.7．【答案】B【解析】【解答】解：连接BH，BE

∵△ABC中，∠C=45°，∠B=120°

∴∠A=180°-45°-120°=15°

∵DE是BC的垂直平分线，CE=3

∴BE=CE=3

∴∠C=∠CBE=45°

∴∠BEC=90°，即BE⊥AC

∵HF是AB的垂直平分线

∴AH=BH

∴∠A=∠ABH=15°

∴∠BHE=30°

∵BE=3

∴BH=2BE=6，即AH=6故答案为：B【分析】连接BH，BE，根据三角形内角和定理可得∠A，再根据垂直平分线性质可得BE=CE=3，根据等边对等角可得∠C=∠CBE=45°，根据角之间的关系可得∠BEC=90°，即BE⊥AC，根据垂直平分线性质可得AH=BH，根据等边对等角可得∠A=∠ABH=15°，则∠BHE=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：连接AO，如图∵AC=BC，点F为AB的中点，∠ACF=20°，∴CF平分∠ACB，且CF⊥AB，∴∠BCF=∠ACF=20°，CF垂直平分AB，∴OA=OB，∵DE垂直平分AC，∴OA=OC，∠EDC=90°，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=20°，∵∠EDC=90°，∴∠DEC=180°−90°−∠DCE=90°−20°−20°=50°，∵∠OEC=∠OBE+∠BOE，∴∠BOE=∠DEC−∠OBE=50°−20°=30°故答案为：D【分析】本题首先根据等腰三角形的性质得出CF平分∠ACB，且CF⊥AB，继而推出∠BCF=∠ACF=20°，CF垂直平分AB；然后利用垂直平分线的性质得出OB=OC，从而算出可知∠OBC=∠OCB=20°，再结合三角形内角和定理计算得出∠DEC=50°，最后利用三角形外角的性质计算得出∠BOE=30°。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠A=60°，BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵BD⊥AC，∴BD是高线也是AC边上的中线、∠ABC的平分线，∴CD=12AC=∵CE=CD=3，∴∠E=∠CDE=1∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长为：BD+DE+BE=BD+DE+BC+EC=2a+6+3=9+2a，故选：C．

【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的三线合一。首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，判定ΔABC为等边三角形，结合周长求出边长；再利用直角三角形三线合一的性质，求出CD的长度和∠CBD的度数；由CE=CD结合三角形外角性质求出∠E的度数，判定ΔBDE为等腰三角形，得到DE=BD，最后结合线段的和差关系计算10．【答案】B【解析】【解答】解：在等边△ABC中，三条边相等（AB=BC=AC），三个内角均为60°，（∠ABC=∠ACB=60°）。已知BD=CE，结合等边三角形的性质AC=CB，且∠ACE=∠CBD=60°，满足SAS（边角边）判定条件，可证得△AEC≌△CDB。

由此可得对应角相等：∠CAE=∠BCD。∠AFD是△ACF的一个外角，根据外角定理，它等于不相邻的两个内角之和，即：∠AFD=将∠CAE替换为∠BCD，可得：∠AFD=而∠BCD+∠ACD就是等边△ABC的内角∠ACB，其度数为60°，因此：∠AFD=故答案为：B。【分析】这道题的核心是利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，再结合三角形外角定理来求解角度。首先通过已知条件证明两个三角形全等，得到角相等的关系，再利用外角定理将目标角转化为等边三角形的内角，从而得出结果11．【答案】30°【解析】【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，∴MA=MB,NA=NC,∴∠MAB=∠B,∠NAC=∠C,

∴∠MAN=∠BAC−∠MAB−∠NAC=∠BAC−∵∠B+∠C=180∘−∠BAC,

∴∠MAN=∠BAC−故答案为：3【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，则MA=MB，NA=NC，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠MAN解答即可.12．【答案】6【解析】【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．

故答案为：6【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得∠BCD=∠DBC=30°，根据等边三角形性质可得∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，根据全等三角形判定定理可得△BDF≌△CND，则∠BDF=∠CDN，DF=DN，再根据全等三角形判定定理可得△DMN≌△DMF，则MN=MF，再根据三角形周长即可求出答案.13．【答案】108°【解析】【解答】解：连接OB.∵OD垂直平分AB，∴AO=BO，∴∠OAB=∠OBA.∵AB=AC，∠BAC=54°，∴∠ABC=∠ACB=63°.∵OA平分∠BAC，∴∠BAO=∠CAO=∴∠OBA=27°，∴∠OBC=36°.∵在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，∴△ABO≌△ACO(SAS)，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=36°.∵△EOF与△ECF关于EF对称，∴OE=CE,∠OEF=∠CEF=∴∠ECO=∠EOC=36°，∴∠OEC=108°，故答案为：108°.【分析】连接OB，根据角平分线的性质中垂线的性质不难得到∠OAB=∠OBA；接下来根据全等三角形的判定易得△ABO≌△ACO，结合全等三角形的性质可得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO=EC，由等边对等角以及三角形内角和定理即可求出∠OEC的度数.14．【答案】10【解析】【解答】解：如图，作CF⊥AB于点F，AH⊥BD交BD的延长线于点H，，则∠AFC=∠H=90°，∵∠CAE=∠ABD，∴∠CAE+∠BAE=∠ABD+∠BAE，∵∠AEH=∠ABD+∠BAE，∠CAF=∠BAE+∠CAE，∴∠AEH=∠CAF，在△AFC和△EHA中，∠AFC=∠H∠CAF=∠AEH∴△AFC≌△EHAAAS∴CF=AH，∵∠ABD=30°，∠H=90°，∴AH=1∴CF=1∵S△ABC=25，即解得AB=10或-10（负值舍去），故答案为：10．【分析】本题做辅助线后，对角度进行变形得到∠AEH=∠CAF，此时利用AAS证明△AFC≌△EHA，从而得出CF=AH，在Rt△ABH中，结合含30°直角三角形的性质可得CF=115．【答案】证明：在△ABC中∵AB=BC，BD⊥AC∴∠1=∠2（等腰三角形三线合一）∵DE//BC，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴BE=ED（在同一个三角形中，等角对等边）即△BED是等腰三角形．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行的性质，联系证明逻辑步骤，分别进行填写即可.16．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ECD=60°，

∵DE∥AB，

∴∠A=∠CED=60°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=30°，

∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，

∴∠F=∠FEC=30°，

∴CE=CF，

∴△CEF是等腰三角形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=6，

∵BD=2，

∴DC=4，

由（1）得∠EDC=∠ECD=∠CED=60°，

∴△DCE是等边三角形，

∴CE=DC=4，

∴CE=CF=4，

∴DF=DC+CF=8．【解析】【分析】（1）根据等边三角形以及平行线的性质得∠A=∠ECD=∠CED=60°，结合三角形外角的性质可得∠F=∠FEC=30°，最后根据等腰三角形的判定得证结论；（2）根据等边三角形的性质得AC=BC=6，从而得DC=4，由（1）可得△DCE是等边三角形，于是得到CF=CE=DC=4，即可求出DF的长.17．【答案】（1）证明：如图，∵∠BAC=∠FAG，∴∠BAC−∠3=∠FAG−∠3，即∠1=∠2．在△ABF和△ACG中，∵∠1=∠2AB=AC∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF=AG，BF=CG．∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠1=∠3．∵∠1=∠2，∴∠2=∠3．在△AEF和△AEG中，∵AF=AG∠3=∠2∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF=EG．∴BE=BF+FE=CG+EG．【解析】【分析】（1）因为∠BAC和∠FAG相等，等式两边同时减去公共角∠DAC后，可得∠1=∠2，结合已知的AB=AC、AF=AG，即可证明△ABF≌△ACG；（2）根据（1）中三角形全等的结论，可以得到对应边相等，即AF=AG，BF=CG。又已知AB=AC，且AD平分∠BAC，所以可以推出∠2=∠3，再结合AE是公共边，即可证明△AEF≌△AEG，由此可以推出BE=CG，同时能得到AE⊥FG的结论.18．【答案】（1）证明：∵EF垂直平分BD，

∴DE=BE，∠FEB=90°，

∵BD=2AC，且∠C=90°，

∴BE=DE=AC，∠FEB=∠C=90°，

在Rt△ABC与Rt△BFE中，

AC=BE,AB=BF,

∴Rt△ABC≌Rt△BFE(HL)，

∴（2）解：如图，连结PD∵EF垂直平分BD，

∴DF=BF，∠BFE=∠DFE，

∵∠ABC=∠BFE=15°，

∴∠DFB=30°，∠EBF=75°，

∴∠ABF=60°，

∵AB=BF，

∴△ABF是等边三角形，

∴∠AFB=60°，

∴∠AFD=∠BFD=30°，

∴DF垂直平分AB，

∴AD=BD=2AC=2．【解析】【分析】(1)易证BE=AC，利用HL判定可证明Rt△ABC≌Rt△BFE，从而得出结论；

(2)根据垂直平分线的d性质以及等腰三角形的三线合一性质可求∠ABF，进一步证明△ABF是等边三角形，得到DF垂直平分AB，从而可求AD的长度。19．【答案】（1）5；

（2）关系式：EF=BE+CF

如图所示：

∵EF∥BC，

∴∠2=∠3，

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴OE=BE，

在△CFO中，同理可证OF=CF，

∵EF=EO+FO，

∴EF=BE+CF；

（3）关系式：EF=BE-CF

如图所示：

∵OE∥BC，

∴∠5=∠6，

又∠4=∠5，

∴∠4=∠6，

∴OE=BE，

在△CFO中，同理可证OF=CF，

∵EF=EO-FO，

∴EF=BE-CF．【解析】【解答】解：（1）当AB=AC时，△ABC为等腰三角形，

∴∠ABC=∠ACB。

∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC。

∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB。

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC（内错角相等），∠FOC=∠OCB（内错角相等）。

∴∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠FOC，

∴△BEO与△CFO均为等腰三角形。

又△ABC、△AEF（由EF∥BC且AB=AC得AE=AF）也为等腰三角形。

综上，等腰三角形有：△ABC、△AEF、△BEO、△CFO、△OBC（由∠OBC=∠OCB得），共5个。

故答案为：5；

【分析】本题综合考查角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，以及图形变换中的类比推理。

（1）当AB=AC时，△ABC为等腰三角形。由角平分线和平行线可推出多个等角关系，从而得到多个等腰三角形。需逐一识别并计数。

（2）通过平行线得到内错角相等，结合角平分线可得∠EBO=∠EOB、∠FCO=∠FOC，从而△BEO与△CFO均为等腰三角形，进而导出EF=BE+CF。

（3）点O为内角平分线与外角平分线交点，图形结构改变，但依然利用平行线和角平分线推导角相等。需注意此时O在三角形外部，结论变为EF=BE-CF或EF=CF-BE，具体取决于点E、F的位置。​​​​​​​20．【答案】（1）证明：∠ABC=90°，BA=BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC，∠DBC=45°，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF=22.5°，∴∠BFE=67.5°，∴∠BEF=180°﹣∠EBF﹣∠EFB=67.5°，∴∠BFE=∠BEF，∴BE=BF；（2）解：∵∠ABC=90°，BA=BC，点D为斜边AC的中点，∴BD=AD=CD，∴△ABD、△CBD是等腰三角形，由已知得，△ABC是等腰三角形，由（1）得，△BEF是等腰三角形，∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴点E是△ABC的内心，∴∠EAC=∠ECA=22.5°，∴△AEC是等腰三角形【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质可证得BD⊥AC，∠DBC=45°，再利用角平分线的定义，可得∠BAF=22.5°，根据三角形内角和定理求出∠BEF=67.5°，就可证得∠BFE=∠BEF，根据等腰三角形的判定定理，即可证得结论。

（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知BD=AD=CD，由此可得出△ABD、△CBD、△ABC是等腰三角形，由（1）的结论可知△BEF是等腰三角形，再根据三角形内心的定义，可得出点E是△ABC的内心，即可证得∠EAC=∠ECA，即可证得结论。21．【答案】（1）证：∵ΔABC和∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，∴∠ACB−∠ACO=∠DCO−∠ACO，∴∠ACD=∠BCO，在ΔBOC和ΔBC=AC∠BCO=∠ACD∴（2）解：ΔADO由（1）可知ΔBOC≅∴∠BOC=∠ADC，∵∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=∠150°−60°=90°，∴Δ（3）解：∵∠COB=∠CDA=α，∠AOD=360°−∠COB−∠COD−∠AOB=200°−α，∠ADO=α−60°，∠OAD=180°−∠ADO−∠AOD=40°，①当AO=AD时，∠AOD=∠ADO，∴200°−α=α−60°，∴α=130°；②当OA=OD时，∠OAD=∠ADO，∴α−60°=40°，∴α=100°；③当OD=AD时，∠OAD=∠AOD，