《第3章 圆的基本性质》巩固卷-浙教版数学九上单元测试卷

《第3章圆的基本性质》巩固卷-浙教版数学九上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．在中国传统建筑中，八角窗(图1)是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学.八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容.图2是图1的示意图，这个八边形的每个内角都相等，则每个内角的度数为（）A．108° B．120° C．135° D．150°2．如图，AB是半圆的直径，点C在半圆上，若∠BAC=40°，则AC的度数是（)A．40° B．80° C．100° D．140°3．如图，弦AC，BD相交于点E，且点C为BD的中点，连结AD，AB，BC.若∠ABC=110°，则∠AEB=（)A．60° B．70° C．80° D．90°4．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为0°，60°，150°，180°，则∠ABD的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°5．如图，DE是△ABC的中位线，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交边BC于点F.若AC=6，∠C=70°，则扇形EDF的面积为（)A．74π B．76π 6．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC.若∠CAD=2∠BAC，BC=4，则CD的长可能是()A．4 B．6 C．8 D．107．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABC=25°，则∠BDC的度数是（）A．50° B．65° C．75° D．85°8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠D的度数为（)A．40° B．50° C．60° D．80°9．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm，则液面宽AB的长为()A．8cm B．82cm C．4310．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，AB是以点O为圆心，30cm为半径的弧，弦AB的长为30cm，则AB的长是（）A．300πсm B．15πсm C．10πсm D．5πсm二、填空题（每题3分，共18分）11．如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，CD=DA.若∠BCD=120°，则∠ABC的度数为.12．如图，在等边△ABC中，AB=2，D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交边AC于点E，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和π）.13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若OE=1，∠ACB=45°，则AB=.14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知⊙O的半径为2，AB=BC，若∠ADC=110°，则劣弧BC的长是15．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，⊙O的半径为2cm，∠C=130°，则BD⏜的长为（结果保留16．《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=10，AE=1，则CD的长为．三、解答题（共8题，共72分）17．如图，AB是⊙O的弦(非直径)，以A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点C，以B为圆心，OB为半径画弧，交⊙O于点D，C，D位于AB的两侧，连结CD。（1）求证：AB=CD。（2）连结BD，若∠ABD=40°，OA=5，求AB的长。(结果保留π)18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若AO=3，OP=5，求AC的长．19．如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，CD∥AB,AB=20m,OE⊥CD于点E．（1）当测得水面宽CD=103m时，求此时水位的高度（2）当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形MNPQ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？20．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，交⊙（1）求证：OE∥（2）若AC=63，ED=3（3）在（2）的条件下，求弓形AEC的面积。21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=6，（1）求圆心O到BC的距离；（2）求AD的长.22．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D,E，且E为BC边的中点.（1）求证：AC=AB（2）若AB=10，AD=6，求BE.23．如图1，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D，连结OC．与⊙O相交于点E．（1）连结DE，求∠ADE的度数；（2）如图2，若点D为AC的中点，且AC=6，求DE的长．24．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=30（1）如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数.（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求▱ABCD与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵n边形的内角和公式为(n−2)×180°，∴八边形的内角和为(8−2)×180°=6×180°=1080°，∵这个八边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数为1080°÷8=135°．故答案为：C.【分析】根据多边形的内角和公式(n−2)×180°解答即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接BC．∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°．∵∠BAC=40°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°−∠BAC=50°．∴AC的度数为2∠ABC=2×50°=100°；故答案为：C.【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求出∠B的度数，然后根据圆周角定理解答即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，连接CD，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC=110∴∠ADC=180°−110°=70°，∵点C为BD的中点，∴∠BAC=∠CAD，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC=∠CAD，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=70°，∴∠ADB+∠CAD=70°，∵∠AEB=∠ADB+∠CAD，∴∠AEB=70°．故答案为：B.【分析】连接CD，由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，根据圆周角定理的推论得到∠BDC=∠CAD，然后根据三角形外角解答即可．4．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示：根据题意，∠AOD=60∘∴∠OAC=∠OCA=4∴∠ABD=∠OCA−∠COE=4故选：A.【分析】确定圆心O，连接OA和OC，得出∠AOD,∠AOC和∠COE的度数，再根据三角形的内角和求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，AC=6，∴CA∥DE,DE=1∴∠DEF=∠C=70°，∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF=70°，∴∠EDF=180°−∠DFE−∠DEF=180°−70°−70°=40°，∴扇形EDF的面积为40360故答案为：C.

【分析】根据三角形的中位线求出DE的长度和∠DEF，然后根据等边对等角和三角形的内角和求出∠EDF，利用扇形面积公式计算即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：如图，作∠CAD的平分线交⊙O于点E，连接CE，DE，

则∠CAE=∠DAE=12∠CAD，

∵∠CAD=2∠BAC，BC=4

∴∠CAE=∠DAE=∠BAC，

∴BC=CE=DE=4，

∴BC<CD<CE+DE，即4<CD<8

故选：B.

【分析】作∠CAD的平分线交⊙O于点E，连接CE，DE，则7．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠A=65°，∵BC=∴∠BDC=∠A=65°．

故答案为：B.

【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，再由三角形内角和定理求出∠A的度数，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可求解．8．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠AOC=80°，∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠BOC=100°.

由圆周角定理得

∠D=12故答案为：B.【分析】利用圆周角定理和邻补角即可得解.9．【答案】B【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，∴∠ACO=90°，AB=2AC，∵半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm，∴OA=OD=6cm，CD=4cm，∴OC=OD−CD=6−4=2(cm)，∴AC=O∴AB=2AC=82故选：B．【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，根据垂径定理可得AB=2AC，根据勾股定理求出算AC的长解答即可．10．【答案】C【解析】【解答】解：∵OA=OB=AB=30cm∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴AB的长度为：60×30π180故答案为：C.【分析】先得到△OAB是等边三角形，即可得到∠AOB=60°，再根据弧长公式解答即可．11．【答案】60°【解析】【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∠BCD=120°，∴∠DAB=180°−∠BCD=60°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°−∠A=30°，∵CD=DA，∴CD=∴∠CBD=∠ABD=30°，∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，故答案为：60°．【分析】连接BD，根据圆内接四边形的对角互补求出∠DAB，再根据直角所对圆周角是直角得到∠ADB=90°，即可得到∠ABD=30°，然后根据等弧所对的圆周角相等得到∠CBD=∠ABD=30°，再根据角的和差解答即可．12．【答案】3【解析】【解答】解：连接CD，∵在等边△ABC中，AB=2，D是边AB的中点，∴AB=BC=CA=2,BD=12∴CD=阴影部分的面积为=故答案为：3【分析】连接CD，根据阴影面积等于S△ABC13．【答案】2【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵OD⊥AB，OA=OB，∴∠AOE=∠BOE=45°，AB=2AE，在Rt△OAE中，∠AOE=∠EAO=45°，∴AE=OE=1，∴AB=2AE=2．故答案为：2.【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可得∠AOB=90°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠AOE=∠BOE=45°，AB=2AE，再根据AE=OE解答即可．14．【答案】11【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180∵∠ADC=110∴∠ABC=18∴∠AOC=2∠ABC=2×70∴∠AOB+∠BOC=36∵AB⌢∴∠AOB=∠BOC（等弧所对的圆心角相等）∴∠BOC=根据弧长公式l=nπr180（其中n为圆心角度数，r为半径），劣弧110π×2故答案为：11π【分析】本题综合考查圆内接四边形的性质、圆周角定理和弧长公式。首先利用圆内接四边形对角互补求出∠ABC的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC的度数。结合等弧所对的圆心角相等，求出劣弧BC所对的圆心角∠BOC的度数，最后代入弧长公式计算即可。15．【答案】10π【解析】【解答】解：如图，连接OB和OD，∵点A，B，C，D均在⊙O上，∴∠A=180°−∠C=180°−130°=50°，∴∠BOD=2∠A=100°，∴BD⏜的长为100π×2180=【分析】本题以圆内接四边形和弧长计算为背景，考查了圆内接四边形的对角互补性质、圆周角定理及弧长公式。根据圆内接四边形对角互补求出∠A的度数，再利用同弧所对圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOD，最后代入弧长公式计算BD的长度。16．【答案】6【解析】【解答】解：连接OC，如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=10，可得，因为AE=1，OA=OC=5，所以OE=OA−AE=5−1=4．因为弦CD⊥AB于点根据勾股定理可得CE=O因为弦CD⊥AB于点所以CD=2CE=2×3=6．

故答案为：6

【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的应用，连接OC，直径AB=10得半径OC=5，由AE=1算出OE=4，在RtΔOCE中用勾股定理CE=O17．【答案】（1）证明：连结OA，OC，AC，∵由题可得OA=OC=AC∴△AOC为等边三角形∴AC同理BD∴AC∴AB=CD∴AB=CD（2）解：连结BD、OB、OD

∵由题意知OB=OD=BD

∴△BOD为等边三角形

∴∠OBD=60°

∵∠ABD=40°

∴∠OBA=∠OBD-∠ABD=60°-40°=20°

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA=20°

∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-20°-20°=140°

∴lAB⏜【解析】【分析】(1)由作图知△AOC为等边三角形，同理△BOD为等边三角形，即知AB=CD；

(2)由△BOD为等边三角形知∠OBD=60°，由此得∠OBA的度数和∠AOB的度数，由弧长公式可得AB的长.18．【答案】（1）证明：连接OC，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OP∥AC，∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，∴∠COP=∠BOP，∵OP=OP，OC=OB，∴△COP≌△BOP（SAS），∴∠OCP=∠OBP=90°，∴OC⊥PC，∴PC与⊙O相切（2）解：连接BC交OP于点D，∵△COP≌△BOP，∴PC=PB，OB=OC，∴OP垂直平分BC，∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，∴BP=∵∴BD=∴BC=2BD=∵AB是⊙O的直径，∴AB=2OA=6，∠ACB=9∴AC=【解析】【分析】（1）连接OC，根据平行线的性质及等边对等角得到∠COP=∠BOP，然后根据SAS得到△COP≌△BOP，即可得到∠OCP=∠OBP=90°，证明解困即可；（2）根据全等可得OP垂直平分BC，然后根据等面积法求出BD长，即可求出BC长，再根据勾股定理求出AC长即可．19．【答案】（1）解：∵OE⊥CD，

∴DE=12CD，AO=BO，

∴DE=12×103∴OD=OB=1∴OE=O（2）解：该货船能顺利通过桥洞，理由如下：由（1）中水位高度为5m，

∴此时OE=5+1=6m，延长OE交MQ于F，连接OM，∴OF⊥MQ，

∵货船宽为10m，船舱顶部高出水面2m，∴OF=6+2=8m，

∴MF=1∴OM=OF2+MF∴该货船能顺利通过桥洞．【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得DE=1（2）先求出OE=5+1=6m，延长OE交MQ于F，连接OM，则OF⊥MQ，可得OF=8m，则MF=5m，利用勾股定理求出OM，最后比较即可．20．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵OD⊥AC，即∠ADO=90°，∴∠ACB=∠ADO=90°，∴OE∥BC．（2）解：在Rt△ABC中，点O为AB的中点，∵OD⊥AC，∴点D为AC中点．∴AD=1设圆的半径为r，则OD=OE−ED=r−3．在Rt△ADO中，OD即(r−3)2+(3解得r=6．∵点O与点D分别为AB与AC的中点，∴BC=2OD=2(r−DE)=2(6−3)=6．（3）解：连接OC，如图，∵圆的半径为6，即AB=12，在Rt△ABC中，AB=2BC，∴∠CAB=30°，即∠CBA=60°，∵OE∥BC，∴∠AOE=60°，∵OC=OB=BC=6，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，即∠AOC=120°，∴弓形AEC的面积S=π×【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，再根据垂直的定义可得∠ADO=90°，根据平行线的判定得到结论即可．（2）根据垂径定理得到AD长，设圆的半径为r，在Rt△ADO中根据勾股定理求出r的值解答即可．（3）连接OC，求出∠CAB=30°，即∠CBA=60°，即可得到∠AOE=60°，进而得到哦啊△OBC为等边三角形，求出∠AOC=120°，然后根据弓形面积=扇形OAC面积-△AOC的面积解答即可．21．【答案】（1）解：如图所示，过点O作OE⊥BC于点E，∵∠BAC=45∴∠BOC=90∵OB=OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵OE⊥BC，∴BE=EC=OE=12BC=12（2）解：如图所示，连接AO，过点O作OF⊥AD于点F，则四边形OEDF是矩形，∴OE=FD=4,∵BE=1∴ED=BD−BE=2，∴OF=ED=2，在Rt△OBC中，OB=2在Rt△AOF中，AO=OB=42∴AF=A∴AD=AF+FD=27【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥BC于点E，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）连接AO，过点O作OF⊥AD于点F，即可得到OEDF是矩形，进而得到OE=FD=4,22．【答案】（1）证明：连接AE∵AB为直径∴∠AEB=90∵E为BC的中点∴AC=AB（2）解：连接BD、OE交于点F

∵AB为直径

∴∠ADB=90°

∵AB=10，AD=6

∴BD=8

∵O，E分别为AB，BC的中点

∴OE∥AC

∴OE⊥BD

∵OB=5，BF=4

∴OF=3，EF=2

∴BE=25【解析】【分析】(1)连接AE，知AE⊥BC，由等腰三角形“三线合一”可得AB=AC；

(2)由直径所对圆周角为直角知∠ADB=90°，由勾股定理得BD的长，由中位线定理知OE||AC，由此得EF和BF的长，即可得BE的长.23．【答案】（1）解：连接OD，∵CA=CB,∴△OAC≌△OBC(SSS)，∴∠AOC=∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=∠BOC=90°，∵OA=OD=OE，∴∠OAD=∠ODA,设∠OAD=∠ODA=x,在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°∴x+x+y+y+90°=360°