云南昭通市市直中学2026-2027学年上学期高二开学考试数学试卷含答案

昭通市市直中学2026年秋季学期高二年级开学考试本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷(选择题，共58分)1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(2+i)i,则z的虚部为2.如图1,在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，设AA,=a,AB=B,AC=c,M是BC₁的中点，则3.已知某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为4.已知事件4和B互斥，满足P(4)=3P(B),,则P(A)=BA.26.如图2,在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为CD的中点，则直线BC₁与D₁M所成角的余弦值为8.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积,则正四面体的高为DADB二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.五位同学每人各掷一次骰子，记录骰子出现的点数，下列选项中可能出现点数6的是A.中位数为3,众数为3B.平均数为3,众数为4C.平均数为3,中位数为3D.平均数为2,方差为2.4高二数学ZT·第3页(共6页)10.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是则△ABC一定是等边三角形B.若a:b:c=sinA:sinB:sinC,则△ABC一定是等边三角形则△ABC一定是等边三角形D.若a²+b²-c²>0,则△ABC一定是锐角三角形11.如图3,四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA1在线段PC上，则A.四棱锥P-ABCD的外接球表面积为6πB.存在点M,使得AC⊥BMC.MB+MD的最小值D.点M到直线AB的距离的最小值平面ABCD,PA=2,AB=1,动点M第Ⅱ卷(非选择题，共92分)注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知向量a=(1,1),B=(1,5),λa+b与b-2a垂直，则实数λ=13.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5},若la-bl≤1,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为14.如图4,在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将则三棱锥A₁-EDF的体积是;三棱锥A₁-EDF的内切球的体积是(第一空2分，第二空3分)四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图5所示的频率分布直方图(分第一~五组区间分别为(20,25),(25,30),(30,35),(35,40),[40,45]).(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数及a的值；(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；(3)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在(35,40)内的概率.16.(本小题满分15分)如图6,已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA,⊥平面ABC,AA₁=2AB=4,∠CAB=∠CBA=45°,D,E分别是线段CC₁,AB₁的中点.(1)求证：DE//平面ABC;(2)求二面角E-AD-B的余弦值.17.(本小题满分15分)(1)求∠A的大小；(2)求△ABC面积的最大值.18.(本小题满分17分)某品牌共享电动车收费标准如下：按租车时间t(分钟)分段计算，t∈[0,30]时，收费3元，t∈(30,45)时，收费4元，t∈[45,60]时，收费5元.现甲，乙两人各独立.(1)求甲乙两人所付租车费用相等的概率；(2)求甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率.19.(本小题满分17分)如图7甲，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3,AC=6,D、E分别是AC、AB上的点，A₁D的中点，如图乙所示.甲(1)求证：A₁C⊥平面BCDE;(2)求CM与平面A₁BE所成角的大(3)在线段A₁C上是否存在点N,使平面CBM与平面BMN所成角的余弦值若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由.第I卷(选择题，共58分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一题号12345678CACDCDBA【解析】因此底面半径,底面圆周长C=2πu=2π×1=2π;侧面积,故选C.,故选D. 6.如图1所示：设AD=AA₁=1,由得AB=2.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由AD//BC、则AD₁=√AD²+DD²=√1²+1²=√2,因为M为CD的中点，故,在 得AM=√AD²+DM²=√i²+1²=√2,所以△ADM为等边三角形，故∠AD₁M=60°,.因此直线BC₁与D₁M所成角的余弦值为,故选D.7.如图2,由题意得：,所以,所以,所,故选B.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项题号9高二数学ZT参考答案·第3页(共11页)【解析】9.对于A,当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,众数为3,所以A正确；对于B,若平均数为3,且出现点数为6,则其余4个数的和为9,而众数为4,故除6外其余4个数的和至少为10,所以B不可能出现点数6,故B错误；对于C,当掷骰子出现的结果为1,1,3,4,6时，满足平均数为3,中位数为3,可以出现点6,所以C均数为2,方差为2.4时，一定不会出现点数6,故D错误，故选AC.以△ABC一定是等边三角形，因此本选项命题正确；B:由正弦定理可知该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为,表面积,故APC=(1,1,-2),AC=(1,1,0),BP=(-1,0,2).设PM=λPC=(2,λ,-22),O≤A≤1,第Ⅱ卷(非选择题，共92分)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)题号的情况包括：(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)共13种，故他们“心有灵犀”概率为高二数学ZT参考答案·第4页(共11页)高二数学ZT参考答案·第5页(共11页)AF,A₁D两两互相垂直，将三棱锥A₁-EDF放入长方体中，如图5所示，内切球的半径为r,球心为0,则球心O到三棱锥A-EDF的四个面的距离均为r,四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)故年龄在[40,45]内的市民人数为200×0.1=20.………………(2分)……………(3分)×5=32.25,第80百分位数为……………(8分)(3)第3组的人数，第4组人数都多于20,且频率之比为3:2,所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人.……………(10分)记第3组的3名分别为A₁,A₂,A₃,第4组的2名分别为B₁,B₂,则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为(A₁,A₂),(A,A₃),(A,B),(A₁,B₂),(A₂,A₃),(A₂,B₁),(A₂,B₂),(A₃,B₁),(A₃,B₂),(B,B₂),共有10种.其中第4组的2名B₁,B₂至少有一名被选(A₃,B₁),(A₃,B₂),(B₁,B₂),共有7种，16.(本小题满分15分)(1)证明：如图6,取AB的中点F,连接CF,EF.………(1分)所以EF//B₁,…………(2分)所以EF//CD,EF=CD,…………(4分)又FCc平面ABC,ED4平面ABC,所以DE//平面ABC.……………(6分)又GF//A₁A,所以GF⊥CF,GF⊥AB.………(8分)则F(0,0,0),A(1,0,0),B(-1,0,0),D(0,2,1),E(0,2,0),……(9分)所以AD=(-1,2,1),AB=(-2,0,0),AE=…………(10分)…………(12分)令y₂=1,则m=(2,1,0).……………(13分)……………(14分)所以二面角E-AD-B的余弦值是……………(15分)17.(本小题满分15分)解：(1)因所以1-cos(C+B)-(2cos²A-1)=1.解：(1)甲、乙两人所付费用相同即同为3,4,5元.………(2分)高二数学ZT参考答案·第8页(共11页)(2)设两人费用之和为6、7、8的事件分别为事件A、B……(8分)………(10分)……(14分)………(17分)19.(本小题满分17分)………(1分)又A₁D∩CD=D,AD、CDc平面A₁CD,所以DE⊥平面A₁CD.…………………(2分)又因为A₁C⊥CD,CD∩DE=D,CD所以A₁C⊥平面BCDE.………………(2)解：由(1)可知，A₁C⊥平面BCDE,BC⊥CD,……(6分)高二数学ZT参考答案·第10页(共11页)翻折后，因为A₁C⊥平面BCDE,CDc…………………