2027高考数学总复习：函数的奇偶性、周期性和对称性

2.3函数的奇偶性、周期性和对称性

考点1函数的奇偶性

1.**(2024天津,4,5分)下列函数是偶函数的为

ex+x2

ex-x

C.产

答案B

2.★★(2023全国乙理45分)已知火力二冬；是偶函数，则a=()

A.-2B.-lC.lD.2

答案D

3.**(2023新课标II,4,5分)若小)=(x+a"n|^为偶函数，则a-()

A.-lB.OC.-D.1

2

答案B

4.**(2021全国乙理,4,5分)设函数风力二三,则下列函数中为奇函数的是()

A./(x-!)-lB.Av-1)+1

C.J(x+l)-lD../(x+l)+l

答案B

5.***(2021新高考II,8,5分)设函数.(r)的定义域为R,旦,Hx+2)为偶函数,./(2x+l)为奇函

数，则()

A./(-1)=OB./(-iho

C.A2)=0D..A4)=0

答案B

★(多选)(2023新课标I,11,5分)已知函数小)的定义域为R,7(x.v)=则

A./(())=()

B・川）二0

C.危）是偶函数

D.A-0为凡。的极小值点

答案ABC

7.★★★★（多选）（2025全国二卷,10,6分）已知/⑴是定义在R上的奇函数，且当工乂）时，

/Cr）=（f-3）e'+2,则（

A.X0）=0

B.当x<0时，/⑴二-8凸把"-2

Cja）N2当且仅当工2逐

D..r=-1是凡寸的极大值点

答案ABD

8.★★（2021新高考I,13,5分）已知函数人。=9（02匚2'）是偶函数，则a=.

答案I

9.★★★（2021新高考H,14,5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数

/W：•

®j[xix2）=f[-x\»（&）；②当x三（0,+8）时,/。）>0;③f'（X）是奇函数.

答案/（X）=d（x£R）（答案不唯一）

1d（2026届江西赣抚吉十二校联考,3）已知函数人力为偶函数，当xvO时尸瞪，则川）=

（

33

AiB「5C6D.-6

答案D

'★★（2026届湖北武汉调研,5）若函数人工尸高最是奇函数,则实数a二（

A.lB.-lC.2D.-2

答案B

3$*(2025届广东八校联考,4)已知函数凡为偶函数，则a=(

A.-2B.-lC.OD.2

答案A

4.★★(2026届江苏镇江监测,3)下列函数为偶函数的是(

AJ(x)=2'・2，

BJW=含

C.J{x}=x\n(x+yjx2+1)

2

D./(.r)=-.?+x3

答案C

5.**(2026届河北保定部分高中质检,3)以下函数是奇函数且在(-8,0)上单调递减的是

(

B.y=

C.y=A|x|D.y=-x|x|

答案D

“OX

6.★★(2026届广东深圳模拟,5)若函数段)=受；的图象关于y轴对称，则a=(

A.--B.-C.-2D.2

22

答案B

7★★(2026届安徽潜山源潭中学段考,8)已知函数J(x)是定义在R上的偶函数，且在区间

[0,+8)上单调递减,则下列结论正确的是(

A购砒1)42)B./(2)<A0)<X-l)

C..A-l)<A0)<A2)D.2)勺(-1)50)

答案D

8状山2026届河北石家庄一中开学考,5)设凡r)为偶函数，当x£(0,+8)时,小)二P1,则使

凡。>0的x的取值范围是(

A.{.中>1}B.{x|-l<v<0}

C.{A|X<-1或x>l}D.{x|-l<r<0或x>l}

答案c

9.★★(2025届云南昆明摸底测试,6)函数凡工)二||】(月率I+履)是奇函数且在R上单调递

增，则人的取值集合为(

A.{-1}B.{0}

C.{1}D.{-1/}

答案C

山.★★★(2026届安徽江淮十校联考,4)已知定义在上的偶函数贝x),且当xE

[0,2加3]时，危)单调递增,则关于x的不等式/(241)次i+3・2〃?)的解集是(

A.(O.l)B.&l]C.(0,|]D.62]

答案B

口.★★★(2()26届广东八校联盟质检,5)已知函数凡丫)=。"与"+.%则满足大2〃?-2)七/(〃?+1)>6

的〃?的取值范围是(

A.(3,+8)B.(|,+8)

C0+8)D.信+8)

答案D

口.★★★(2026届江苏南京一中月考,5)已知函数用日的定义域为R,)=/(x)ieX是偶函

数，月W-3e*是奇函数，则凡丫)的最小值为(

A.eB.2x/2C,2^3D.2e

答案B

^.★★★(2026届四川成都阶段检测,5)函数危)是定义在(-8,o)u(o,+8)上的奇函数，且

於1)=0,若Vxge(0,+8)且A^x/(X1)~f(X2)>0恒成立，则不等式动㈤<0的解集为(

2xl-x2

A.(-°°,-l)U(O,l)B.(-8「I)U(1,+8)

C.(-1.0)U(1,+OQ)D.(-1,O)U(O,1)

答案D

14.★★★(2026届黑龙江龙东十校期中,5)定义域为R的函数/⑴满足凡叶1)为偶函数，且

当X2>X\>\时二：)>0恒成立，设a=j[cos?)，咐(|)忻/(2),则(

X.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bV).b>c>a

答案A

^.★★★(2026届江苏扬州中学月考，⑵已知函数也)4-2',则满足JM-5.1)切：6)>。的实

数X的取值范围是.

答案(2,3)

16.★★★(2026届河南南阳一中期中，17)已知函数/U)=log"与詈3>()4W1,〃星-1)是定义

在(-1,1)上的奇函数.

⑴求实数/〃的值;

⑵判断函数凡丫)在(-1,1)上的单调性；

⑶若/Q)>0且/(〃-2)t/(2d2)>0,求实数b的取值范围.

解析(I)囚为7W是定义在(-1,1)_L的奇函数，所以氏x)=/x),即_X-A)tAAj=0,

l+mx

所以1。&,亍丁+log。=0,

-x+1

l-mxl+mx\

则log"

x+1-x+1/二0,

l+mx.

----=1

x+1-x+1

即1-/nV=I-x2对定义域口的x都成立.，所以m2=1,

又所以m=\.

(2)由(1)知危)=log然,

设/=W=一(工?+2=-1+W，任取占,也£(-1,1),且X<X2,

则t\-t2=-------=2&-勺)

ZXi+1X2+l(Xi4-l)(X2+l)

:・X2-X1>O,(X|+1)(%2+l)>0,

:.t\>t2.

当a>\时,log"i>log72,即/(xi)次0).

・•・当公>1时人力在(-1,1)上单调递减

当0<4?<1时,10g/〈10g42,

即凡⑴勺（刈）,

J当0＜SVl时，危）在（/1）上单调递增.

（3）由贝32）哄2儿2）＞0得贝尻2）＞42尻2）,

•・•函数•/U）是奇函数,

••瓜6-2）》（2-2份,

•・,©）=logQ9。—.

由⑵得./U）在（-1,1）上单调递增,

b-2>2-2b,

-1<b—2<1,

-l<2b-2<1,

•4/1,3

♦・一<2,

・・・b的取值范围是G，|）

考点2函数的周期性和对称性

^★★（2025全国一卷,5,5分）已知/（X）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2WxW3时，

凡v）=5-2x,则（

A、B.-iC.iD.!

答案A

2.★★★（2022新高考H,8,5分）已知函数人力的定义域为R,目.加+）升/（上£=/3心）,./（1）=1,

则£洛分尸（

A.-3B.-2

C.OD.1

答案A

3.****（2021全国甲理,12,5分）设函数/⑴的定义域为R,凡计1）为奇函数,几计2）为偶函

数，当[1,2]时=加+。若J（0）t/（3）=6,则/Q）二（

答案D

4.★★★★（多选）（2022新高考I,12,5分）已知函数风力及其导函数.（x）的定义域均为R,记

g（*r（N）.若居-2x）,g（2+x）均为偶函数，则（）

A.y（0）=0B.g（-；）=0

C./（-l）=A4）D.g（・l）=g（2）

答案BC

1.★★（2026届江苏南通调研,6）定义在R上的函数危）是周期为2的偶函数，当（XW1

时，危）=3-4、则./（力（）

A.2B.I

C.-2D.-I

答案B

'★★（2025届重庆八中月考,5）下列函数的图象不存在对称中心的是（）

..宜X2-2X+2

A.产xMB.产

C.）工D.y=|x+-

■ex+lJIx

答案D

3.**（2O25届湖南长沙长郡中学月考,4）若函数人力二三箸的最大值为M,最小值为M则

M+N=（）

A.lB.2C.3D.4

答案B

4.★★（2024届湖南师大附中期末,5）已知定义在R上的函数/（x）是偶函数，且/（x）=/（2㈤，若

危）在区间［1,2］上单调递减，则/W（）

A.在区间［（）/］上单调递增,在区间［3,4］匕单调递增

B.在区间［0,1］上单调递增,在区间［3,4］上单调递减

C.在区间［0,1］上单调递减,在区间［3,4］上单调递增

D.在区间［0用上单调递减,在区间［3,4］上单调递减

答案B

5$*（2026届江苏兴化中学摸底考,4）已知定义在R上的奇函数凡1）满足J（2-x）寸（x）,当0

WxW1时,/（A）=2'-1,贝UJ（log212）=（

A.--B.--C.iD.i

3432

答案A

6.**（2026届安徽合肥月考,G）已知./（x）是定义在R上的偶函数，且火47）弓口）,当0（4|

NVW=3-2x,My（-2（）25）=（

A.-iB.lC.3D.7

答案B

^★★★（2025届江苏连云港第一次检测,7）已知函数;（2v+l）为奇函数,加+2）为偶函数，目.

当x£（0,l]时,危）=10眄则/（§）=（

A.2B.-2C.lD.-1

答案A

^★★★（2026届广东深圳联考,6）已知,/（X）是定义域为R的奇函数，满足;（1-X）力（1+工）,若

川）=2,则川）+©+幽+a）=（

A.10B.2C.OD.4

答案C

9.★★★（2026届湖南长沙雅礼中学月考,6）已知奇函数.心）的定义域为R,且函数产/⑴的

图象关于直线x=2对称.若大£[0,2],/（工）=工,则川3）=（

A.lB.-1

C.2D.-2

答案B

★（投材测源・人教A版87页T13）（2026届浙江杭州才攵学质量监测,8）设函数

/（五）4+3*+6文+5,若J（a）=l5,13,则a+b=（

A.2B.lC.-lD.-2

答案D

11.★★★（2026届山东滨州质量检测,8）己知函数J（x）的定义域为R,且危+1）琰1-1）=2,

心+2）为偶函数，若的）=02£=1分）=111,则〃的值为（

A.107B.118C.109D.HO

答案D

时.★★★(多选)(2026届广东深圳中学摸底,9)已知定义在R上的函数4r)满足

府+2)+仆)=0,且尸形㈤为偶函数,则下列结论正确的是(：

A.函数凡。的周期为2

B.函数/W的图象关于直线尸2对称

C.函数;(X)的图象关于(1,0)对称

D.函数风力为奇函数

答案BC

★(多选)(2026届湖北黄冈一模,10)定义在R上的函数凡I)和寅丫),凡叶2)为奇函

数遇⑴为偶函数,且凡计1)十g(3-x)=4,则(：

A.g⑵=2

B：A6)=0

C4。的图象关于直线x=4对称

D.8为g(x)的一个周期

答案BCD

n多选)(2026届福建三明一中开学考,11)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,

J(x+1)的图象关于直线尸-1对称,g(x-1)+1是奇函数，且g(x)=y(x+2)+4,H4)=-3，则下列说法

正确的有(：

A：/U)=/(-x)B.g(-1)=。

C.g(2)=lD.£U：3g⑺=2021

答案ACD

小.★★★★★(多选)(2025届皖豫名校联盟联考,11)已知函数人力与g(x)的导函数分别为了

'(%)与g'(X),且/w，g(x)J'(x),gw的定义域均为R,g(x)或6-x)=3,'(x-2),g(x+4)为奇函

数，则

A.g(2)+g⑹=0B./。+4)为偶函数

CJ*)=/U+8)D.E遥4g(@R

答案ACD

16.★★★(2026届湖南长沙长郡中学入学考,14)凡1)对任意工£R都有

凡r+6)M6=?/(3),>^/(x-1)的图象关于点(1,0)对称，贝U.火2025)=.

答案0

^.★★★★★(2026届江苏启东中学测试,19)若函数儿丫)的定义域为O,Vx£。都有大川-

x)H〃i+x)=2〃,则称函数人。为中心对称函数，其中(〃?,〃)为函数凡1)图象的对称中心.

⑴已知定义在R上的函数小)的图象关于点(1,1)中心对称，且当时，凡r)=f,求7(0),

./⑴的值.

⑵探究