2027年高考数学一轮复习（北京专用）-函数模型及其应用（原卷+解析）

函数模型及其应用

01指数函数模型

1.“一尺之锤，日取其半，力世不竭〃语出《庄子•天卜》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远

截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（）

A.5B.6C.7D.8

2.某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度工（单位：℃）满足函数关系y=e依+b（k,b为常数）若该

食品在0℃的保鲜时间是168小时，在2（TC的保鲜时间是42小时，则该食品在30℃的保鲜时间是（）

A.18小时B.20小时C.21小时D.22小时

3.已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年增长率为p,第二年的增长率为夕，则该企业这两年

生产总值的年平均增长率为（）

A.等B.y/pqC.鬻D.J（1+p）（l+q）-1

4.国家速滑馆又称“冰丝带"，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳

排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进

的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间t（小时）的关系RN=Noe-kt

（No为最初污染物数量，且No>0）.如果前4个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%

还需要（）

A.3.8小时B.4小时C.4.4小时D.5小时

5.某企业为降低生产成本、推动生产创新，计划在保障质量的前提下对某产品进行优化，研究发现，第九

次优化后每个产品的成本%满足函数模型i=r0+（2.4一r°）•4°25n+c+0.2（tGR,0<n<7）,其中为优

化前每个产品的成本（单位：元）.假设优化前每个产品的成本为2.5元，若要使每个产品的成本不超过1.9

元，则优化的次数至少为（）

A.3B.4C.5D.6

6.高三教学楼门口张贴着“努力的力量〃的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步•点点，时间会给我

们带来惊喜.如果每天的进步率都是2%,那么一年后是（14-2%产5工1377.4,如果每天的落后率都是2%,

那么一年后是（1-2%）365X0.0006,一年后“进步"是"落后"的卷赤"230万倍，现张三同学每天进步20%,

李四同学每天落后10%,假设开始两人相当，则大约（）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：lg2.

0.301,lg3右0.478)

A.7B.17C.27D.37

£

?

7.放射性物质的衰变规律为：M=MoXQ）,其中指初始质量，£为衰变时间，7为半衰期，M为衰变

后剩余的质量,已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为“，T2（单位：天），若两种物质的初始质量相

同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则*一《二（）

72T1

A•诉B・瓦C.诉D.—

9.近年来纯电动汽车越来越受消•费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提

出蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间t（单位：h）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式：C=In-t,

其中n为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下，当放电电流/=30A时,

放电时间t=15h；当放电电流/=40A时，放电时间t=8h.若计算时取】g2=0.3,lg3=0.477,则该蓄电

池的Peukert常数九大约为（）

A.1.25B.1.75C.2.25D.2.55

散型IL02对数函数模型

io.青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录

法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+IgV.已知小明和小李视力的五分

记录法的数据分别为4.5和5.0,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为Vi，%,则空的值所在区间是

（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

11.2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验一一空间辐射生物

学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的

影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2mg/cm3,每经过1小时，该物

质的含量都会减少20%,若该物质的含量不超过O.lmg/cn?,则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶

段至少需要（）小时？（结果取整数，参考数据：1g2ko.30,1g3ko.48）

A.12B.8C.10D.11

12.随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求

越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自山传播时能量损耗满足传输公式；L=

32.44+20lgD+201gF,其中。为传输距离，单位是km,尸为载波频率，单位是MHz,乙为传输损耗（亦

称衰减），单位为dB.若传输距离增加到原来的2倍，传输损耗增加了18dB,则载波频率约增加到原来的

（参考数据：lg2yo.3）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

13.内蒙占某地引进了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）

与时长/（单位：h）的关系为N=N0e-kt（No为最初污染物浓度）.如果前2h消除了20%的污染物，那么

污染物消除至最初的51.2%还需要（）

A.3hB.4hC.5hD.6h

14.地震震级通常是用来衡量地宸释放能量大小的数值，里氏震级最早是由杳尔斯•里克特提出的，其计算

基「地震波的振幅，计算公式为M=IgA-IgA。，其中M表示某地地震的里氏震级，力表示该地地震台测振

仪记录的地震波的最大振幅，儿表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地隽台测振仪记

录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次地震的里氏宸级约为（）

（参考数据：lg2ao.3）

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

15.德国心理学家赫尔曼・艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出"遗

忘曲线遗忘曲线"中的记忆率y随时间t（小时）的变化趋势可由函数y=1-0.6卢27近似描述，则记忆率

由50%变为40%时需要经历的时间约为（参考数据:lg2«0.30,lg3«0.48）

A.1小时B.0.5小时C.0.8小时D.0.4小时

16.声音的等级/（%）（单位：dB）与声音强度x（单位："m2）满足/Q）=10x1g岛.喷气式飞机起飞时，声

音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音

的等级约为（）

A.120dBB.100dBC.80dBD.60dB

17.已知火笳在£时刻的速度为VQ）（单位：千米/秒），质量为加©（单位：千克），满足V（£）=Vo+〃lnT；

（〃为常数），匕）、m。分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量=1000千克，其中包含燃

料质量为500千克，初始速度为1=0,经过口秒后的速度p。1）=2千米/秒，此时火箭质量mQD=800

千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（）（In2。0.69,In5yl.61）.

A.4B.5C.6D.7

12.牛顿冷却定律描述物体在常温环境卜的温度变化：如果物体的初始温度为T。，则经过一定时间t分钟后

£

的温度7满足了一兀二^仇一丁）九称为半衰期，其中7\是环境温度.若兀=25℃,现有一杯80C的热

水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃,大约还需要（）（参考数据：

lg2y0.30,Igll«1.04）

A.11分钟B.10分钟C.9分钟D.8分钟

19.中国5G技术领先世界，其数学原理之--便是香农公式：C=Vt/log2（l+^）,它表示：在受噪音干扰的

信道中，最大信息传递速率。取决「信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大

小，其中洲信噪比.按照香农公式，若不改变带宽力，将信噪比/2000提升至10000,则C大约增加了（lg2x

0.3010）（）

A.18%B.21%C.23%D.25%

20.中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：C="log2（l+9,它表示在被高

斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率。取决于信道带宽W.信道内所传信号的平均功率S、信道内部

的高斯噪音功率N的大小，其中洌做信噪比.已知当不比较大时，y=loga（l+%）（Q>l）zlog/,按照香农

公式，由于技术提升，宽带”在原来的基础上增加20%,信噪比从1000提升至8000,则。大约增加了（）

（附：lg2yo.3010）

A.37%B.45%C.48%D.56%

及型IL03建立拟合函数模型解决实际问题

21.某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表

月份1月2月3月

小型汽车数量％（辆）306080

创造的收益y（元）480060004800

⑴根据上表数据，从下列三个函数模型中：①y=ox+b,（2）y=ax2+bx+c,③y=d+b选取一个恰

当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量》（辆）与创圈的收益y（元）之间的关系，并写出这个

函数关系式；

（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它

在一周内大约应生产多少辆小型汽车？

22.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在国道上进行测试，

国道限速80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度丫（单位：km/h）的数据如

下表所示：

V0104060

M0132544007200

为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：

①M［（u）=3v3+b/+cu；（2）M（V）=1000-+a：@M（v）=SOOlo^v4-b.

2\3/3

⑴当041；工80时・，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数

解析式；

⑵现有一辆同型号电动汽车从力地行驶到B地，其中高速上行驶200km,国道上行驶30km,若高速路上该

汽车每小时耗电量M单位:Wh）与速度双单位:km/h）的关系满足N（v）=2v2-10v+200（80<v<120）,

则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

23.某公司每个仓库的收费标准如下表（》表示储存天数，y（万元）表示％天收取的总费用）.

X13714

y1234

⑴给出两个函数月（且工））（且）要从这两个函数中选出一

=p'T+qp>0p1,y2=logjx+bQ>0QH1,

个来模拟表中％y之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由.

（2）该公司旗下有10个这样的仓库.每个仓库储存货物时，每天需要2000元的运营成本，不存货物时仅需

500元的成本.一批货物需要存放7天，设该批货物存放在m个仓库内，其余仓库空闲.要使该公司这7

天的仓库收益不少于43000元，则m的最小值是多少？

注：收益=收入-成本.

24.某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率（利润/成本）低于10%,则该企业就

考虑转型.下表显示的是某企业几年来利润y（单位：百万元）与年投资成本x（单位：百万元）变化的一

组数据：

年份2019202020212022•••

投资成本X35917•••

年利润y1234•••

给出以下三个函数模型：①（）；（）x（）；（）（）（

y=Ax+bkH02y=aba0,b>0,b13y=logax+6a>

0,QH1）.

⑴选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系；

（2）试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型.

25.为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间T进行一

次记录，用工表示经过单位时间的个数，用y表示此病毒的数量，单位为万个，得到如卜.数据：

%(n123456・・・

y（万个）・・・10・・・50・・・250・・・

若该病毒的数量y（单位：万个）与经过x（xwN'）个单位时间T的关系有两个函数模型丁=2%2+9与丫=

kQX（k>0,a>l）口」供选择.

⑴判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式：

⑵至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？

参考数据：V5»2.236,76«2.449,lg2«0.301,lg6«0.778.

26.茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历

史悠久，文化底缢深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶〃的习惯，这充分反映出中

华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100℃的水泡制，待

茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小

组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔lmin测量一次茶水温度，得到茶水温度

随时间变化的数据如下表：

时间/min012345

水温/°c1009182.978.3772.5367.27

设茶水温度从100℃经过xmin后温度变为y°C,现给出以下三种函数模型：

①y=ex+b(c<0,x>0)：

(2)y=cax+b(c>0,0<a<l,x>0)；

®y=loga(x+c)(a>1,00,x>0).

⑴从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；

⑵根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最住饮用口感的放置时间(精确到0.01)(参考数据：lg2~

0.301,lg3«0.4771)；

⑶考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.

27.为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验

池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积y(单位：

平方米)与所经过月数x(x€N)的下列数据•：

X0234

y42563156

为了描述该植物覆盖面积y(单位：平方米)与经过的月数式无6N)的关系，现有以下三种函数模型可供选

择：①y=k,Q*(k>。,a>1);=p\[x4-q(p>0)；(3)y=ax2+bx+c.

⑴试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式：

(2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？

⑶经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案：

方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面枳y与经过的月数%（%之5）的关系变为

y=4x（1.7）、

方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变.

请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由.

28.某种洗衣机在洗涤衣服时，需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，假设进水时水量匀速增

加，清洗时水量保持不变，已知进水时间为4分钟，清洗时间为12分钟，排水时间为2分钟，脱水时间为

2分钟，洗衣机中的水量y（升）与时间工（分钟）之间的关系如下表所示：

X0241616.51718•・・

y020404029.5202・・・

请根据表中提供的信息解答K列问题：

⑴试写出当“£[0,16]时，y关于”的函数解析式，并画出该函数的图像:

（2）根据排水阶段的2分钟点3y）的分布情况，可选用y=；+8或y=c（x—20）2+d（其中Q、氏c、d为常

数），作为在排水阶段的2分钟内水量y与时间式之间关系的模拟函数，试分别求出这两个函数的解析式；

（3）请问（2）中求出的两个函数哪一个更接近实际情况？（写出必要的步骤）.

29.为全面实施乡村振兴战略，践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山〃的理念，围绕产业发展生态

化，生态建设产业化〃思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量£（单

位：kg）与肥料费用工（单位：元）满足如下关系：t（无）=《5,其他总成本为3%（单

18--,3<x<10

I5x

位：元），己知这种农作物的市场售价为每5元/kg,且供不应求，记该单株农作物获得的利润为/"（X）（单

位：元）

⑴求/（幻的函数关系式；

（2）当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？

30.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段国道上进行测

试，汽车行驶速度低于80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度!；（单位：km/h）

的数据如下表所示：

V0104060

M0132544007200

为r描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度i；的关系，现有以下三种函数模型供选择：Mi“）=

3001ogav+p（a>0,且aHl）,M2（v）=1000Q）+q,%（〃）=//+b/+cu（p,q,b,c6R）.

⑴当0WUV80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由；

⑵求出（1）中所选函数模型的函数解析式；

⑶根据（2）中所得函数解析式，求解如卜.问题：现有一辆同型号电动汽车从A地驶到3地，前一段是200km

的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h）,若高速路上该汽车每小时耗电量N（单

位:Wh）与速度u（单位:km/h）的关系满足N（v）=2/20（80^/4120）,则如何行驶才能使

得总耗电量最少，最少为多少？

02

L7新情境|Ga明ez曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有

限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：fa）=kQ「x（其中k>0,b>0,a为参

数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.若x=1表示该新产

品今年的年产量，估计明年（％=2）的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对数的底数）（）

A.—B.—C.V5-1D.遥+1

22

2.犷新情境］薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨HestonBlumenthal

对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线"（图1），将油炸过程

划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段,以解释食物品质与油炸时间之间的关系.

2o

O-A初始阶段p,

0oA-B新鲜阶段

8oB-C最佳阶段

C-D降解阶段

6oD-E废弃阶段50■

4o

2o

0OABCDE0234t

煎炸时间

图I图2

在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t（单位：min）满足函数关系口二^^/+从+^、氏。是常数）,

图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（）

A.2.25minB.2.75minC.3.25minD.3.75min

3.'R新情境］每年3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健

康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率

y的关系如下表：

运动强度等级运动不足中等强度运动过量

运动后的心率yy<110110<y<130y>130

已知青少年羽毛球运动后的心率y与运动时间£（单位：分钟）满足关系式y=201n（a+l）+Q,其中a为正

常心率.某同学正常心率为70,若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为（）（参考

数据：e2«7.4）

A.35分钟B.41分钟C.52分钟D.62分钟

4“新情境］为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的"限塑令"明确规定商场、

超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025奈米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取

得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降

解率〃与时间£（月）满足函数关系式u=（其中Q,b为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降

解了20%,经过4个月，降解了60%,那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（：（结果保留

整数）（参考数据：1g3no.48,lg5Ho.70）

A.5个月B.6个月C.7个月D.8个月

5-‘石褊境］自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以

及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等•般为非牛顿流体，非牛顿流体在

实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣"，已知牛顿

流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：T=其中工为剪切应力，

〃为黏度，y为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体.其中

宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一利其在低应力下表现为

刚体，但在高应力下表现为粘性沆体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现

为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出.如图是测得的某儿种液体的流变T-y曲

线，则其中属:牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（）

A.①和④B.③和④C.③和②D.①和②

6•'旷新情境］在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第•大“杀

手”.《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含景大于或者等

于20mg/100mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V（t）（单位：mg/100mL）与饮酒后经过的时

X（―t2+2t+1）,0<t<1,

间t（单位：h）近似满足关系式VQ）=（w100w.1其中W为饮酒者的体重（单位：kg）,

、-iFx（w）""

m为酒精摄入量（单位：mL）.根据上述关系式，已知某驾驶员体重75kg,他快速饮用了含150mL酒精

的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（）（取：ln2=0.69』n3=l.l,ln5=1.61）

A.12小时后B.24小时后C.26小时后D.28小时后

7•'曾新情境［在资源有限的情况下，种群数量N（。随时间£（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：N（t）=

其中常数K为环境容讷量，No为种群初始数量，r为比增长率.生态学家高斯（G.F.Gause）曾

经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入5个草履虫，观察到£=2时，种群数量为120；

£=4时，种群数量为360.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（）

参考X23571113171923

数

Inx0.6931.0991.6091.9452.3982.5652.8332.9443.135

据：

A.1.38B.1.53C.1.77D.2.03

8•“新情境］太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池

板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中.已知在一定条件下，入射光功率密度p=?(E为入射

光能量且E>0,S为入射光入射有效面积)，电池板转换效率枢0<T］<100%)与入射光功率密度p成反比，

且比例系数为

(1)若k=2,S=1.5平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；

(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量/=Q+fT,锂离子蓄电

池的放电量/=&+后设S?1,々>1,给定小同的。，请分析并讨论为「使得太阳能板供电效果更好，

应该选择哪种蓄电池？

注：①蓄电池电能储存量Q=)E：

②当S,上。一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好.

9.新情境］一天中，区域的居民活动类型(工作、学习和休闲)越丰富，活动地点总数越多，区域之间人

口流动越频繁，其活力越高.Q市基于大数据测算城市活力，发现该市一工作日中活力度M(£)与一日中时间t

M(6),0<t<6,

的关系可以用函数M(t)〜mt+5-6?n,6<t<12,来刻画，其中tW(0,24］,用⑹=M(24),正午12

M(12)e-n«T2),12<t<24

点时，该市的活力度为20,是该工作日内活力度的最高值.

⑴求实数m,ri的值；

⑵求Q市该工作日内活力度不大于10的时长；

⑶证明：Qdi该工作日内活力度升高时所对应瞬时变化率的绝对值恒大于活力度降低时所对应瞬时变化率的

绝对值(附：ln2«0.69).

10.新情境］中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.研究在室

温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶

水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是8JC,室温是拆久，那么tmin后茶水的温度。(单位：℃),可由

公式。(。=拆+(内一拆)小也求得，其中k是常数，为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25冤室温

卜.进行了数学实验，先用852的水泡制成85。（：的茶水，利用温度传感器，测量并记录从t=0开始每一分

⑵在25T室温环境下，王大爷用85。（：的水泡制成85式的茶水，想等到茶水温度降至55久时再饮用，根据

（1）的结果，王大爷要等待多长时间？（计算结果四舍五入精确到1分钟）.

参考数据:ln3«1.0986,ln2»0.693,e是自然对数的底数,e«2.71828-

函数模型及其应用

01指数函数模型

1.“一尺之锤，日取其半，万世不竭"语出《庄子•天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远

截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【详解】由题意可知第一次剩余的棍棒长度为，尺，

则第"次剩余的棍棒长为卷尺，

由等V033,解得九27,

所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时，需要截取的最少次数为7.

故选:C.

2.某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度》（单位：℃）满足函数关系y=eh+b（k,b为常数）若该

食品在0。（：的保鲜时间是168小时，在20。（：的保鲜时间是42小时，则该食品在30久的保鲜时间是（）

A.小时R.20小时C..21小时D.22小时

【答案】C

【详解】当％=0时，4=168,当x=20时，e20/c+h=42,所以©2。〃=9=工，e10fe=-；

16842

当％=30时，e3Qk+b=(e10k)3.(eh)=Q)3x168=21.

故选：C.

3.已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年增长率为p,第二年的增长率为夕，则该企业这两年

生产总值的年平均增长率为()

A.等B.y/pqC.鬻D.J(1+p)(l+q)-1

【答案】D

【详解】设企业这两年生产总值的年平均增长率为，可得(l+p)(l+q)=(l+%)2,

解得％=J(1+p)(l+q)-1.

故选：D.

4.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳

排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进

的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间£(小时)的关系RN=Noe-"

(No为最初污染物数量，且No>0).如果前4个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%

还需要()

A.3.8小时B.4小时C.4.4小时D.5小时

【答案】B

【详解】由题意可知Noe-4k=o.8No,即有©一蚀=0.8,

令Me-kt=0.64N。，则有e-kt=o.64=伞一我)2=e-8k,解得t=8,

8-4=4,故还需要4小时才能消除至最初的64%.

故选：B.

5.某企业为降低生产成本、推动生产创新，计划在保障质量的前提下对某产品进行优化，研究发现，第九

025n+t

次优化后每个产品的成本与满足函数模型6=飞+(2.4-r0).4+0.2(tGR,0<n<7),其中小为优

化前每个产品的成本(单位：元).假设优化前每个产品的成本为2.5元，若要使每个产品的成本不超过1.9

元，则优化的次数至少为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

f

【详解】由题意，当？1=0时,r0=r0+（2.4-r0）-44-0.2,即（2.4-r。）•4,+0.2=0,

代入々=2.5化简得平=2,解得1=0.5,所以rn=2.7-0.1x4°2S（n+2）,

要使每个产品的成本不超过1.9元，即小工1.9,则2.7-0.1X4°255+2）41.9,

化简得4°，25（n+2）28,即205（-2）223,故有0.5（九+2）23,解得几24,

故若要使得每个产品的成本不超过L9元，则优化的次数至少为4次.

故选：B.

6.高三教学楼门口张贴着〃努力的力量•”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我

们带来惊喜.如果每天的进步率都是2%,那么一年后是（14-2%产5X1377.4,如果每天的落后率都是2%,

那么一年后是（1-2%产5«0.0006,一年后"进步〃是"落后"的寓|《230万倍，现张三同学每天进步20%,

李四同学每天落后10%，假设开始两人相当，则大约（）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：1g2a

A.7B.17C.27D.37

【答案】B

【详解】经过x天后，张三超过李四的100倍，所以霖熬=&丫、10°，

（1-10%/\3/

两边取以10为底的对数得xlg：N2,所以X之仔7二仔胃

3lg4Tg321g2Tg3

又lg2x0.301,lg3x0.478,所以心zxo/s。1613^

4XU-Ovi—v.■/o

所以大约17天后，张三超过李四的100倍.

故选：B

£

7.放射性物质的衰变规律为：M=Mox,其中Mo指初始质量，t为衰变时间，T为半衰期，M为衰变

后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为7\，T2（单位：天），若两种物质的初始质量相

同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则;--=（）

•2U

A.3B.C.D.3

10245121024512

【答案】A

10241024

【详解】由题意可得Mox0)亏=8MOx(3万，计算即可得解.

【详解】根据题意/=。(4中0)，当W=2时，/=205,则k=205x21

当/=41时，则前=型普=5x2：,故W=250.

故选：D.

9.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提

出蓄电池的容量。(单位：Ah),放电时间t(单位：h)与放电电流/(单位：A)之间关系的经验公式：C

其中日为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数九，在电池容量不变的条件下，当放电电流/=30A时，

放电时间t=15h；当放电电流/二40A时，放电时间t=8h.若计算时取lg2*0.3,lg3«0.477,则该蓄电

池的Peukert常数〃大约为()

A.1.25B.1.75C.2.25D.2.55

【答案】C

【详解】根据题意由c=r.t可得吧:>15,

(C=40"x8

两式相除可得喘二i,即可得G)"=a

两边同时取对数可得恒。"=恒*即可得汨g?=年*

pU_Ig8-lgl5_31g2-(lg3+l-lg2)_41g2-lg3-1〜4x0.3-0.477-1

'"-Ig3Tg4―Ig3-21g2-Ig3-2lg20.477-2x0.3

故选：C

敢埋Ik02对数函数模型

io.青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录

法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据P满足L=5+IgV.已知小明和小李视力的五分

记录法的数据分别为4.5和5.0,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为Vi，%，则台的值所在区间是

vi

()

A.(1.5,2)B.(2,2.5)C.(2.5,3)D.(3,3.5)

【答案】D

【详解】依题意，既U:聆,两式相减得0.5=明-明=也白,

=》十Igk1

解得号=IO0-5=V10,所以aue（3,3.5）.

故选：D

11.2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验一一空间辐射生物

学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的

影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为L2mg/cm3,每经过1小时，该物

质的含量都会减少20%,若该物质的含量不超过O.lmg/cn?,则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶

段至少需要（）小时？（结果取整数，参考数据：也2。0.30,1g3yo.48）

A.12B.8C.10D.11

【答案】D

【详解】设实验进入第二阶段至少需要n小时，

由题意可得,1.2（1-20%）”0.1,即1.2x0.8n<0.1,所以⑶"<

3JL4

所以nig,<1g击,

所以峰=上"=0£。些±2竺=10.8,

耍Ig5-lg4l-3lg21-0.9

即实验进入第二阶段至少需要11小时.

故选：D.