北师八年级数学上册-第一章 勾股定理 综合检测

第一章勾股定理综合检测

（满分100分，限时60分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.图中边长为12的正方形是（）

2.勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数为勾股数的是（）

A-P?5B.。V4,V5C,5,15,20D,9,40,41

3.如图，△ABC中，NABC=90。，AC=8,BC=4,则正方形48力E的面积为（）

A.18B.48C.65D.72

4.在△ABC中，NA,NB,/C的对边分别记为mb,a由下列条件不能判定△A3C为直

角三角形的是（）

A.NA+/8=NCB.ZA:NB：ZC=1：2：3

C.a1=c2-b2D.a:b：c=3：4：6

5.如图，有一个圆柱形油解，其底面周长是12m,高为5m,现在要以点A为起点环绕

油罐表面建梯子，终点正好建在点A正上方的点8处，则梯子最短需要（）

A.10米B.11米C.12米D.13米

第5题图第8题图

6.已知△A3C的三边长mb,c满足（〃》）•（/-/_〃）=（）,则△ABC的形状一定是（）

A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形

C等腰三角形D.直角三角形

7.己知Rt^ABC中，ZC=90°,若〃+氏10,c=8,则R1A4BC的面积为（）

8.如图，棱柱的底面是边长为8的正方形，侧面都是长为16,宽为8的长方形，点。是3c

的中点，在棱柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的食物，需要爬行的

最短路程是s,则M的值为（）

9.如图，在△A8C中，NACB=90。，BC=Scm,以点A为圆心，AC长为半径画瓠，交线段

A8于点。；以点8为圆心，8。长为半径画弧，交线段BC于点E.若BD=CE,则AC的长为

（）

E\R

B.6.5cmC.7cmD.7.5cm

10.如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的.已知正方形A8CO的面积为25,

正方形EFGH的面积为1,若用r），分别表示直角三角形的两直角边（x>y）,下列三个结论:

©x2+y2=25；②x-y=l；③⑷，=12；④<+）=40.其中正确的是（）

A.①@③B.①②C.①③D.②③

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：。=10,/?=12,。=15.

解：因为102+122=100+144=244,152=225,所以根据勾股定理的逆定理,知

这个三角形直角三角形（填“是”或“不是”）.

中，AB=AC,A。是N8AC的平分线.已知AA3,则的长为.

RI）C

13.由于台风的影响，一棵树在折断前不包括树根的长度是16m,折断后树顶落在离树干底

部8m处，则这棵树在离地面m处折断.

14.如图，在△A8C中，AB=1cm,AC=25cm,BC=24cm,动点P从点4出发沿A5方向以

1cm/s的速度运动至点3,动点。从点3出发沿8C方向以6cm/s的速度运动至点C,P、Q

两点同时出发，连接PQ.当动点P、。运动2s时，PQ=cm.

15.若图中所有的四边形都是王方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的王方形的

面积为9cm2,则图中所有的正方形的面积之和为_________cm2.

16.在△ABC中，AB=\5fAC=13,BC边上的高A。为12,则△ABC的面积为.

三、解答题（共46分）

17.（8分）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾AE到大厦墙面），

升起云梯AB到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗

口距离地面的高度8。是多少？

B

D

18.（8分）在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图,

△ABC中，AB=AC,E是AC上的一点，CE=50米，8c=130米，3E=120米.

⑴判断的形状，并说明理由；

⑵求△AHC’的周长.

19.（10分）八年级⑴班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度

CE,他们进行了如下操作：

①测得30的长为9米：（注：BDLCE）

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线3c=15米;

③牵线放风筝的小明身高1.6米.

求风筝的高度CE.

20.（10分）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在RtZkABC中，NAC8=90。,

若BC=a,AB=ct请你利用这个图形解决下列问题：

⑴试证明：672+/?2=C2；

⑵若大正方形的面积为169,小正方形的面积为49,求（〃+与2的值.

21.（10分）有一辆装满货物的小车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下

边是长方形的桥洞，己知半圆的直径为2米，长方形的长是2.3米.

⑴这辆小车能否通过此桥洞?说明理由；

⑵为了适应需求，想把桥洞改为双行道，并且要使宽为1.2米，高为2.8米的小车能安全通

过，那么桥洞的宽至少应增加到多少米？

第一章勾股定理综合检测

答案全解全析

1.C根据勾股定理可知：两个较小正方形的面积和等于大正方形的面积.边长为12的正方形

的面积为144,只有C选项满足，故选C.

2.D勾股数必须都是正整数，必须满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，只有D选

项符合，故选D.

3.B在RsA8c中，由勾股定理得

6=心止=82・42=48,

・•・正方形ABOE的面积为48,故选B.

4.DA.・・・NA+NB=/C,且NA+N8+/G180。，AZC=90°,・\AABC是直角三角形；

B.VZA：/B:ZC=1：2：3,且NA+/8+NO180。，AZC=90°,工△ABC是直角三角形;

C.由/二0242,得病+加二自小勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形；

D.32»42/62,则△ABC不是直角三角形.故选D.

5.D如图，将圆柱的侧面展开，由题意得展开图中，ZC=90°,AC=12m,BC=5m,

/.AB2=122+52=I69,

,\AB=\3m.

故所建梯了•最短为13m.

6.A*/(a-b)(c2-a2-/>2)=0,

/.a-b=O或/・。2.序=0,.・.。=方或?=小户,

•••△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选A.

易错警示两个因式乘积为0的条件是至少有一个因式为0.

7.A-:a+b=10,:.(a+b)2=100,

根据勾股定理，得t/2+Z?2=c2=64,

由完全平方公式，得

2ab=(a+b)2-(a2+b2)=100-64=36,

解得仍=18,

/.RtAABC的面积为去心=9,故选A.

8.C将棱柱的正面和右侧面展开，如图所示,

•・•棱柱的底面是边长为8的正方形，点。是的中点,

:・BD=4,

AAD2=162+(8+4)2=400,

・・・?的值是400.

9.A设AOA。=xcm,

•:BE=BD二CE,BC=Scm,

BD=4cm,AB=(x+4)cm,

在RtZkACB中，由勾股定理得f+82=("4)2,

解得,

/.AC=6cm.

10.A由题意可得小正方形的边长二1,大正方形的边长=5,

=A"二大正方形的面积=25,故①正确；

•・,小正方形的边长为1,

.9.x-y=1,故②正确：

・.•小正方形的面积十四个直角三角形的面积等于大正方形的面积,

1+2xy=25,

：.xy=12f故③正确；

•・・(m+)，)2=«+与，+)，2=25+24=49,工>0,)>0,

・F十尸7,故④不正确.综上，①②③正确.故选A.

11.不是

12.8

解析-：AB=AC,AO是N8AC的平分线，

・・・AO_LBC,BD=CD,

•・・AB=5,AD=3f

.,.^D2=>4B2-^£>2=25-9=16,

・・.BQ=4,

：・BC-2BD-8.

13.6

解析设这棵树在离地面xm处折断,

如图,:BC=8m,AB=xm,「・AC=(16-x)m,

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得f+82=(16㈤2,解得46.故答案为6.

14.13

解析,.,AB=7cm,AC=25cm,BC=24cm,

,\AB2+BC2=625=AC2，

・•・△A8C是直角三角形且N8=90°.

当动点尸、。运动2s时，A/Mx2=2(cm),882x6=12(cm),：.BP=AB-AP=7-2=5(cm),

在RSBPQ中，由勾股定理得

P。=Bp2+Bg5?+122=169,

PQ=13cm.

15.27

解析根据勾股定理可知所有的正方形的面积之和为3x9=27cm2.

16.24或84

解析(1)当△ABC为锐角三角形时，高AD在三角形ABC的内部，如图，止匕时BU=AB?-

：.BD=9,CD=5,

•二△ABC的面积为，(9+5)x12=84.

⑵当△人8C为钝角三角形时，高AO在三角形48C的外部，如图，lltW,

:・BD=9,CD=5,

•••△A8C的面积为2x(9-5)xI2=24.综上，△A8C的面积为24或84.

17.解析过点A作AC_L5Q(图略)，垂足为C,

由题意可知AE=C£>=3米，AC=9米，A3=15米.

在RSA3C中，根据勾股定理，得八。2+3。2=482,

即92+BC2=152,

A^C2=152-92=144,

・"C=12米，

・,.BD=BC+CD=T2+3=15米.

答：发生火灾的住户窗口距离地面的高度为15米.

18.解析(1)△ABE是直角三角形.

理由:

BC2=1302=16900,BE?=1202=14400,CE2=502=2500,

：.BEr+CE2=BC2,

；・/BEC=90。,

：./A止90。，

•••△ABE是直角三角形.

⑵设AB=AC=x米，则AE=(x-5())米，

由(1)可知△43七是直角三角形，

222

：.BE+AE=ABf

・•・1202十(片50尸二广，解得x=169,

：.AB=AC=\69米.

，44BC的周长为AB+AC+BC=169+169+130=468米.

19.解析在Rlz\CO8中，

由勾股定理得1529=144,

所以67)=12米，

所以CE=CD+DE=12+1.6=13.6米.

答：风筝的高度C