2025-2026学年北京市朝阳区高二（下）期末考试数学试卷（含答案）

2026北京朝阳高二（下）期末

数学

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题50分和非选择题100分

第一部分（选择题共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

已知集合M={x|4-420},N={x|-2vxv3},则MAN=

(A){x|-2<x<2}(B){x|2<x<3}

(C){x\x^-2](D){x|x<3}

(3)若2“<1<2万，则

(A)a+b>0(B)a-b>0

(C)ab>0(D)r°

(4)函数.是

（A）偶函数，且在（0,+8）上单调递增（B）奇函数，且在（0,*o）上单调递增

（C）偶函数，且在（0,K。）上单调递减（D）奇函数，且在（。，位）上单调递减

(5)六博是中国古代棋类游戏，盛行于秦汉时期.博琼是六博游戏中的掷具（即骰子），通常包含十八个

面.设有一枚质地均匀的博琼，其中十六个面分别刻有数字一至十六，另外两个面分别刻有汉字“骄”

与“妻畏”，每次投掷后总有一个面向上，且每个面向上的概率相等.若连续投掷该博琼两次，则恰有

一次出现“骄”或"妻畏''字面向，的概率为

8

（A）(B)

媪8?

17

（C）S(D)

81

(6)已知。>0,则“(a—2)lna>0”是“。>2”的

（A）充分不必要条件(B)必要不充分条件

（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件

(7)为了得到函数"1%Qx+1）的图象,只需把函数y=i+iog?x的图象

向左平移;个单位长度

(A)

(B)向左平移1个单位长度

向右平移g个单位长度

(C)

(D)向右平移1个单位长度

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(8)某学校数学节开展数学话剧展演，共有A、B.C,D四个节目需安排出场顺序.若节目A和节目B

均不排在第一个出场，且节目D不排在最后一个出场，则不同的排法种数为

(A)8(B)10(C)12(D)14

(9)已知函数/(x)=x(x-幻2在x=l处取得极大值，设八幻是f。)的导函数.若关于x的方程广。)=〃?有

两个不同的实数根〃，贝〃vv),则八“)/(酎)的最大值为

(A)2(B)3(C)4(D)6

(10)已知集合4={*|reZ且rwO,〃eN},8={五号|]cZ且,则

(A)存在aeA,对任意力eB,者B有〃+

(B)对任意awA,存在beB,使得a+

(C)存在xcQ且工工0,对任意awA,都有

(D)对任意xeQ且xw(),存在使得mwB

第二部分(非选择题共100分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

(12)若随机变量X8(〃,0.8)且碇=4,则〃=.

(13)某校要从足球、篮球、排球、跳绳、拔河、踢犍6个项目中选择3个作为本学期的班级联赛项目，

则不同的选法共有种.(用数字作答)

5245

(14)已知(2x+m)=«0+1Ox-4()x++a4x+a5x,则a5=；4+%+1/4=.

x(x+l),x〈0,f(a}-f(-a}

(15)设函数/(©=.二、A则/(2)=；若正实数〃满足〃:八工(0,1),则〃的一个

取俏为________.

(16)甲、乙两队进行一场乒乓球比赛，采用5局3胜制，率先嬴得3局的一方最终获胜.已知每局比赛

32

甲队获胜的概率为乙队获胜的概率为彳，假设各局比赛的结果相互独立.给出下列四个结论：

JJ

①甲队以比分3:0最终获胜的概率比甲队以比分3:1最终获胜的概率更大；

②甲队在以比分0:2落后的情况下最终获胜的概率与甲队以比分3:0最终获胜的概率相同；

③甲队在以比分0:1落后的情况下最终获胜的概率比甲队以比分3:1最终获胜的概率更大；

@整场比赛甲队最终获胜的概率超过

其中正确结论的序号是_______.

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三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（17）（本小题12分）

已知函数/（X）=〃Inx—,R.

X

（［）若〃=1,求曲线y=/（x）在点（1J⑴）处的切线方程；

（11）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求在区间U,e］上的最大值与最小值.

条件①：〃v-l；

条件②：a>1.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个留答计分.

（18）（本小题13分）

在全民阅读活动周期间，某校准备为学生和教师采购一批图书，为了解师生的阅读需求，从该校随机

抽取400名学生和80名教师进行问卷调查，每人只能从自然科学类、社会科学类、综合性图弓类和哲学类

这四类图书中选择一个最需要的类别，统计结果如下：

自然科学类社会科学类综合性图书类哲学类

学生人数I601208040

教师人数20I03020

假设每人的选择相互独立，用频率估计概率.

（I）从该校的学生和教师中各隙机抽取1人，试估计这2人都选择社会科学类图书的概率；

（II）根据参与调查的教师选择自然科学类、社会科学类、综合性图书类、哲学类图书的人数比例，采用

分层随机抽样的方法，从这80名教师中随机抽取了8人.现从这8人中随机抽取3人，记X为这3

人中选择哲学类图书的人数，求X的分布列和数学期望£X；

（HI）记参与调查的学生选择四类图书的频率依次为玉,修，当，&，参与调查的教师选择四类图与的频率依次

为％%%%.设AH,4丁的方差为（，如丁2，/，居的方差为，*|+）'|-2+）'2,.+）'3产4+的

2222

方差为一,比较/与《（4+1）的大小.（结论不要求证明）

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（19）（本小题15分）

221

已知椭圆£[=1（。＞。＞0）的右焦点为「。，。），离心率为彳.

a-b2

（I）求椭圆E的方程；

（II）过点〃的直线/（不与x轴重合）与椭圆E交于两点A8,过点A作直线x=4的垂线，垂足为C.

（i）求证：直线过x轴上定点；

（ii）设（i）中的定点为D,若18用=|。用，求直线/的方程.

（20）（本小题15分）

已知函数/*）=ei-lnx+2.设。为原点，动点P（&/（的在曲线），=/3）上.

（I）求函数/3）的最小值：

（II）求证：直线O尸的斜率大于1；

（III）过点P作直线〉'=工的垂线，垂足为人，当。=帆时，10Al取得最小值；当。=〃时，IAPI取得最小

值.求证：ni+n＞2.

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(21)(本小题15分)

设定义在N”上的函数乙。)=<5'对于正整数。，令4=4,a向二必”)(〃=1,2,3,…)，

3x-l,若x为奇数.

记集合M(a)={a“|〃wN'}.对于正整数。>1,若存在正整数av。，使得。eM(0,则称。是“可达数”.

(I)写出集合M⑶;

(II)若改为正奇数，求证：#是“可达数”；

(III)证明:对任意丘N,,3火不是“可达数”，3A+1是“可达数”.

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)

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参考答案

一、选择题(共10小题,每小题5分，共50分)

(1)B(3)D(4)C(5)C

⑹B(7)A(8)B(9)C(10)D

二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)

(12)5(13)20

(14)32;-1(15)0;1.5(答案不唯一)(16)②③④

三、解答题(共5小题，共70分)

(17)(共12分)

解：(I)若。=1,f(x)=\nx--

xf

“\11X+1

/(x)=-+r=—-，

x厂x~

/⑴=2,/(1)=-!,

所以切线方程为N+1=2(.r-l),gpy=2x-3.6分

(II)选条件①：a<-\.

、a1ax+\.i

/(x)=-+—=——,XG[rl,e].

XX尸

由r(x)=0解得X=-』.因为a<—1,故

aa

所以当xcue时，f\x)<o,单调递减.

所以/(A)在区问口⑹上的最大值为/(1)=-1,最小值为/(c)=«-1..…12分

e

选条件②：a>\.

c,,、a1ar+1,,

f(x)=-+—=―z—,xe[rLe].

XXX

因为〃>1,x>0,故ai+1>0.

所以当工£口©时・，f\x)>0,单调递增.

所以/(x)在区间U,e]上的最大值为/(e)=a-L最小值为/⑴=7.....12分

e

(18)(共13分)

解：(I)从该校的学生和教师中各随机抽取1人，

这2人都选择社会科学类图书的概率估计为提..............3分

(II)因为抽取的这8人中选择哲学类图书的人数为8x29()=2,

ol)

所以X的所有可能取值为0J2.

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5

P(X=0)=3=

「

C；1-4

c；c；

P(X=1)=1-5

C；238

c；c；一

尸(X=2)=

C：28

所以X的分布列为:

X012

5153

P

1428弼

5is33

故X的数学期望EX=0X^+1X£+2X^=；....................10分

(III)s2<J(s：+{).................................................13分

(19)(共15分)

c=\,

cI

解：(I)由题意得

a2

a2=b2+c2.

解得a=2,〃=G.

所以椭圆E的方程为1+4=1.....................................5分

43

<II）（i）当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=I.

不妨设&《）,倒1"）,则C（4,"

所以直线BC的方程为y=x-1,过x轴上的点§,0）.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=k：x-l）伙工0）.

y=k（x-\\

由y得（4F+3）f-8Hr+软2-12=0,

—+—=1

43

△=（一8左2）2-4⑷二+3）（4&2-12）=144（/+1）>0.

设45，州）,8（孙％），

4代-12

则玉+x

2-4k2+3

由题可知C（4，y）,

直线它的方程为=黄（1）.

设直线BC与*轴的交点为〃（%,（））.

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令），=。，得芍=4-W

又y2=%（七-1）,y=k（x}-1）,

所以夕”空一-X1X24-5x2-4_-A）X2+5（王+x2）-4-5X1

Xy+X2~2X1

4代二12j8/、一

+5（“Bf

44。3

8匕

4^?+3一21]

20&2一5七（4抬+3）

83二23（4&2+3）

5[4-一%（4公+3）]

2[4代一内（4公+3）]

5

2

综上，直线8。过x轴上定点弓,0）.

3

（ii）由（i）知|DF|=；.

若|3P|=|O"，则|8"|=m，即J（5l）2+£g

由J（.—-十-=^得4（工2-1）2+4£=9.

又点8在椭圆E上，所以3x；+4y；=12.

故4（9-1）2+12-3¥=9,化简得写一8电+7=（）,即*2-7）02-1）=（）.

解得占=7（舍），々=1.

3

当天=1时，y2=±|,经检验符合题意.

所以直线/的方程为x=l......................................15分

（20）（共15分）

解：（I）/（x）=ei-lnx+2的定义域为（0,田），

（（丫）=-__1.

X

因为函数y=e'-'在区间（0,+8）上单调递增，函数y=在区间（0,+x）上单调递增,

x

所以/'（X）在区间（。，内）上单调递增.

又广⑴=。，

所以当xc（0,l）时，/'㈤＜。，单调递减；

当x£—）时，ra）＞。，/*）单调递增.

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所以/(X)的最小值是/⑴=3.......................................5分

(II)直线。。的斜率为

a

令=f(a)-a=e<,"|-hi«+2-a(«7>0),

则F'(a)=/"(〃)-l=.

a

由(【)知，尸(编在区间(O.+oo)上单调递增，

r(i)=-i<o,r(2)=e-->o,

2

故存在唯一％e(l,2),使得/'(4)=0,即e%T-'=l.

a\

所以「(公在区间(0,4)上单调递减，在区间(4,%)上单调递增.

所以F(a)min=尸(4)=e"-'—In67)+2—at=14----In+2—ay——1-3—-Inq.

44

设t(x)=—+3-x-Ine(1.2),

x

贝h'(x)=—±—1-L〈o,所以“x)在区间(1,2)上单调递减.

XX

3

所以《4)>/(2)=/-ln2>0.

所以尸(q)>0,即/3)-。>0.

因为。>0，所以直线。尸的斜率如>1...........................10分

a

(III)因为人在直线)'=、上，设4%,.%).

因为AP_LQ4,所以APOA=0.

因为AP=(a-/J(a)-Xo),OA=(/,%),

所以3-%)与+"(a)-再冗=0.

又小>0,所以仆=〃?+".

I。作任广粤匕

72

设G(a)=f(a)+«(a>0),G'(o)=ed-,--+l.

a

因为G'(a)=尸一：+1单调递增，G'(；)=「-l<0,G'⑴=1>0,

故存在唯一加£(!』)，使得G'(〃?)=e"i—,+1=0,g|je™-'--L=-l.

2mm

所以G(a)在区间(0,/n)上单调递减，在区间(〃?,”)上单调递增.

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所以当〃=/〃时，G(a)取得最小值，故|OA|取得最小值.

乂加|="(”7,且由(H)知/⑷-"。，所以|42|=华二・

V2V2

由(II)知，当时，/(。)-。取得最小值，故IAPI取得最小值.

故〃=qe(l,2)且ei-L=i.

n

133

因为要证机+〃＞2,只需证明〃＞大，即证4＞大.

222

由(II)知,尸'(。)在区间(0,+oo)上单调递增,尸'⑷=0,

只需证明F'g)〈0.

因为e＜金，所以五q.

综上,心9怖所以〃?+〃＞2.............................................................”分

(21)(共15分)

解：(I)当。=3时，

4=3,%=8,%=4,%=2,%=1，。6=2,・，

当“24时，4+2=。“.

所以M(3)={1,2,3,48}.....................................................