2027年人教A版高考数学一轮复习知识点提纲

2027年高考数学一轮复习：人教A版知识点提纲

1.集合中元素的三个特征：

①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

③无序性：即集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.

2.元素与集合的关系

有两种：①属于（用符号表示）逡不属于（用符号“任”表示）

3.集合常用的表示方法：

有三种：列举法、Venn图、描述法.

4.常见的数集及表示符号

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

表示符号NN“或N+ZQR

5.集合与集合的关系：

①子集：对任意式£A满足xcB,则

②真子集：若A=B且则A•：3

③集合相等：若A=3且3=则A=3

④子集传递性：若=则A=C

6.集合的基本运算

并集：AU"，{x\xeA^xeB}

交集：Ap|8,{x\xeAHxeB}

补集：{x\xGURXA]

>重要提醒

⑴若有限集人中有〃个元素，则集合人的子集个数为2”,真子集的个数为2〃-I

（2）AG8=An8-A（1（稠）=00AU（川=U

（3）奇数集：^x\x=2〃+eZ}=|x|x=In-1,/zGZ}=|x|x=4/z±I.nGZ}

（4）德•摩根定律：

①井集的补集等于补集的交集，即帝（人u8尸（“mn（?a）

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②交集的补集等于补集的并集，即帝（Af）8）=（0A）U（?a）

1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.

2.函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

3.函数相等的条件：定义域相同、值域相同、解析式相同（化简后）

4.求函数定义域的主要依据

①分式函数中分母不等于。

②偶次根式被开方式大于或等于。

③।函数y=/中｛x|x¥O）

④一次函数、二次函数的定义域均为R

5.求函数值域常用方法：

①直接法：

如：⑴一次函数），二履+仇女为常数且后0）的值域为R.

k

（2）反比例函数），=一（女为常数且厚0）的值域为（-8,0）U（0,+8）

x

②配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数

③换元法：无理函数

6.单调性：

设函数«r）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间。上的任意两个自变量的值为，4

①当XV2时，都有段|）矶切，那么就说函数危）在区间。上是增函数

②当月02时，都有1A汨）次也），那么就说函数«r）在区回。上是减函数

7.复合函数的单调性

复合函数y=/（g（x））在区间（〃涉）具有单调性的规律：同增异减

y=/(〃)增减

"=g(x)增减增减

y=f（g。））增减减增

8.函数单调性的常用结论

⑴若/（x）,g（x）均为区间A上的增（减）函数，则/（x）+g（x）也是区间A上的增（减）函数;

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（2）若2>0,则妙•（»与”力的单调性相同;若攵<0,则胡（力与“X）单调性相反;

⑶函数），=/（耳（〃力》0）在公共定义域内与y=—/（x）,》=，一的单调性相反；

.八町

⑷函数），=/（M（/（x"o）在公共定义域内与），=/府的单调性相同；

9.一些重要函数的单调性

①丁二彳+工的单调性：在（ro,—l］和［1,48）上单调递增，在（一1,0）和（0,1）上单调递减;

X

©y=ax+-（。>0,b>0）的单调性：在（-8,—和［、P，+a））上单调递增，

xNa\a

在（-旧。）和（°,Jg）上单调递减

10.函数的最值

前提设函数y=/（x）的定义域为/,如果存在实数M满足

⑴对于任意的xw/,都⑶对于任意的XW/,都/（x）NM；

条件

（2）存在使得（4）存在使得/（.%）=M

结论M为最大值M为最小值

①函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；

若函数的值域是开区间，则函数无最值，

若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

1L函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/&）的定义域内任意一个X,都有

偶函数图象关于y轴对称

f（-x）=f（x）,那么函数/（X）是偶函数

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如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有

奇函数图象关于原点对称

/(-x)=-/(x),那么函数/(X)是奇函数

函数奇偶性的几个重要结论

•若奇函数的定义域包括0,则“0)=0

•奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单

调性相反.

•若函数/(力是偶函数，则/(—x)=/(x)=/(M)

•若函数y=/(x)的定义域关于原点对称，则/(“+/(-同为偶函数，/(x)-/(-x)

为奇函数，/(力•/(一”为偶函数

12.复合函数的奇偶性

①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；

②有函数x奇函数=偶函数，奇函数x偶函数=奇函数，偶函数x偶函数=偶函数

基本初等函数

指数函数

概念：函数.y=qi(a>0且右1)叫做指数函数，x是自变量，函数的定义域是R,。是底数

性质：①定义域R;②值域(0，+8)：③图象过定点(0，1)：④单调性：0<«<1,在(一8,

+8)上是减函数：a>\,在(-8,+8)上是增函数.

对数运算法则与性质：

对数的运算法则；如果”>0且存1,M>0,NX),那么

①loga(MN)=logaM+log〃N；

M

②log”R=log”MTog”N；

③logaM"=nlogaM(neR)；

m

④log/,//"=—log).

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换底公式：1。8,*=她2(4,人均大于零且不等于1).

log〃

对数的性质：①小&/=M②k)g,-=〃3>0,且存1).

对数函数

概念：y=logH4>0,且在1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+8).

性质：①定义域(0,+8)；②值域R；③图象过定点(1,0)：

④单调性：0<67<1,在(0,+8)上是减函数：a>\,在在(0,+8)上是增函数

哥函数

概念：形如y=K的函数称为密函数，其中x是自变量，a为常数

常见的5种鬲函数的图象

性质：①在(0,+8)上都有定义;②单调性：。>0时，性函数的图象都过点(1,1)

和(0,0),且在(0,+8)上单调递增；当a<0时，暴函数的图象都过点(1,1),

且在(()，+8)上单调递减.

函数的应用

1.零点存在性定理

如果函数P=/*)在区间［4⑸上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(〃)•/(〃)V0,那

么函数y=/'(X)在区间(&/?)内有零点，即存在0£(/〃)•使得/(。)=0,这个C也就

是方程/(幻=0的根.

2.二分法

二分法求零点：对于在区间［。，以上连续不断，且满足/(。)•/(》)<0的函数y=/(x),

通过不断地把函数/(x)的零点所在的区间--分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，

进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

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给定精度£，用二分法求函数/（A）的零点近似值的步骤如下:

（1）确定区间[〃,b],验证给定精度刑

（2）求区间（a,A）的中点再；

（3）计算/（西）：①若/（%）=0,则为就是函数的零点；

②若/（。）・/（七）＜0,则令/?=看（此时零点/）；

③若/区）"S）＜。，则令。=修（此时零点与£*1力））；

（4）判断是否达到精度£；

即若|4一。|＜£,则得到零点零点值a（或力）；否则重复步骤2~4.

注意：二分法的条件＜0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.

三角函数

1.角的定义

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

2.角的分类

「1+乙丑一41正角：按逆时针方向旋转形成的角

按旋转方向

TL.八止《负角：按顺时针方向旋转形成的角

不同分类

角的分类＜〔零角：射线没有旋转

按终边位置!象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角

、不同分类1轴线角：角的终边落在坐标轴上

3.终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合：S={M=a+k360。，

k£Z）.

4.弧度制

在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

5.弧度制下的有关公式

|a|=:（弧长用/表示）

角«的弧度数公式

@1°-rad；©1rad-（冗）

角度与弧度的换算I8O

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弧长公式弧长l=\a\r

2

扇形面积公式5=|/r=1|a|r

5.三角函数定义

直角坐标系.xOy中角a终边有一点(x,y)(xyWO),且〃=+,2，则

.yxy

sin«=—,cosa=—,tana=—

rrx

6.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2«=l(aGR).

sina

(2)商数关系：tana=cos〃

7.三角困数的诱导公式

(1)sin(尢十2兀)=sinx；cos(x-t-2rt)=cosx；tan(A+2n)=tanx

sin(兀一x)=sinx；COS(TC-X)=-cosx：tan(7i-x)=—tanx

sin(兀+x)=—sinx；cos(7i+x)=-cosx；tan(7t+x)=tanx

(2)sin(-x)=一sinx；cos(-x)=cosx；tan(-A)=-tanx

sin(--x)=cosx：cos(——x)=sinx：

・/7l、.71、.

sin(—+X)=cosx；cos(—+x)=-sinx；

22

8.正弦函数：y二sinx

(1)定义域：R

(2)值域：[-1,1]

71Tl

(3)单调性:单调增区间[--+2E,—+2E],"wZ,

单调减区间：止+2E,型+2E],&wZ

22

(4)奇偶性：奇函数

(5)周期性:最小正周期2元

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(6)对称性：对称中心(E,O)/£Z；对称轴：x=工+而,(ZwZ)

2

9.余弦函数：y=cosx

(1)定义域：R

(2)值域：［-1,1］

⑶单调性：单调增区间［一冗+2匕r,2EJ,太<=7.,

单调减区间：［2仇兀+2E:］,AwZ

(4)奇偶性：偶函数

(5)周期性：最小正周期2n

7T

(6)对称性：对称中心(E--,()),%EZ；对称轴：x=bt,(kwZ)

2

10.正切函数：y=tan.r

⑴定义域：二+E,keZ)

2

(2)值域：R

71兀

(3)单调性:单调增区间［一一+E,-+E］,%£Z,

22

(4)奇偶性：奇函数

⑸周期性：最小正周期兀

(6)对称性:对称中心(-^■,0),2£Z.

11.正弦型函数：y=Asin(ar+0)+/z

(1M：影响函数偏离中心位置的程度，最大值域最小值的差为2|川

(2)力：影响函数中心位置，将函数向上(或向下)平移固个单位

2兀

(3)w：影响函数的周期，T=—

(4)。：影响函数的初始位置，函数过(O,Asine+/z)

三角恒等变换：

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1.和角与差角公式：

sin(6z±/^)=sinacos/?±coscrsin0

cos(a±fi)=cosacos£彳sinasin/3

/1小tan«±tan

tan(a±/?)=-----------

1+tanatan°

2.二倍角公式及降鬲公式

sin2a=2sinocosa

cosla=cos2a-sin2«=2cos26r-l=1-2sin2a

32tana

tan2a=-----—

l-tan-cr

.,/I-cos2cr

sina=±J--------

V2

11+cos2a

cosa=J---------

V2

3.辅助角公式：

asinx+bcosx=\la2+b2sin(x+^>)»lan=~

4.积化和差公式：

cosacosfl=~fcos(a-/?)+cos(a+/?)]

sinasin'=g[cos(a-')-cos(a+/?)]

sinacos/?=—[sin(«+0)+sin(a-夕)]

coscrsinfl=­[sin(«+0)-sin(a-/)]

5.和差化积公式：

sinx+siny=2sin-+'cos---

22

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x+y.x-y

sinx-siny=2cos-----sin-----

22

x+yx-y

cosx+cosy=2cos-----cos-----

22

x+y.

cos^-cosy=-2sin-----sin

22

平面向量

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量；向量的大

向量平面向量是自由向量

小叫做向量的长度（或称模）

零向量长度为0的向量记作0,其方向是任意的

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±上-

1。1

方向相同或相反的非零向量（又叫

平行向量。与任一向量平行或共线

做共线向量）

两向最只有相等或不相等，不能比较

相等向量长度相等且方向相同的向量

大小

相反向量长度相等且方向相反的向量。的相反向量为。

2.向量的线性运算

.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

(1)交换律：

a

求两个向量和三角形法则a+b=b+a

力口法

的运算(2)结合律:

a(a+B)+c=a+(B+c)

平行四边形法则

求。与B的相

减法反向审的和a-b=a+(-b)

的运算叫做2三角形法则

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与分的差

1痛|="II£1

4（〃〃）二（办）〃；

求实数人与向当2＞0时，42的方向与2的

数乘量。的积的运方向相同；（4+〃）〃=Aa+pa；

算当2Vo时，43的方向与Z的义R+石）=4〃+45

方向相反；当2=0时、4。=6

3.平面向量的坐标运算

运算坐标表示

。=（片，V），5=（X2，刈），〃+B=（XI+X2，/1+m），Ci-b=（xi-x2fy\

和（差）

一”）

数乘已知a=（xi，力），则=（Zxi,Ay））»其中2是实数

任一向量的坐

己知Ai>i，yi）»6（X2，>'2）>则AB'=（X2—xi，J2-Ji）

标

4.向量的夹角

定义图示范围共线与垂直

已知两个非零向量〃和人设。是。与》的夹旺火或。=口/

作OB=b,则角，则夕的取值范围0a〃b、

/Za-八

NAO8就是a与b的夹角是0%在180。。=90。＜=＞。_1_力

5.平面向量的数量积

设两个非零向量a，b的夹角为则数量间|例cos。叫做a与b的数量

定义

积，记作。力

Mlcos0叫做向量。在力方向上的投影,

投影

仍|cos〃叫做向量力在a方向上的投影

几何意义数屋积ah等于〃的长度|〃|与人在〃的方向上的投影向cc*0的乘积

坐标表示a.b=xix2+yiy2

«向量数量积的运算建

交换律ab=ha

分配律（a+b>c=a・c+）c

数乘结合律（/M）b=A（a-b）=a（Ab）

平面向量推广结论

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L有关垂直的结论（数形结合）

+|b|2=|a+b『OQ_1_力。〃访=0

①已知矩形ABCD,。是平面任意一点，则方•祝=砺・丽

②已知矩形ABCD,O是平面任意一点，RIJ|3A|2+|OC|2=|OB|2+|0D|2

3.对角线向量定理

-----2-----2-----2-----.2

7a丽=(AD+3C)-(AB+8)

2

4.极化恒等式

①三角形模型：若方，而不共线，且点P为线段AB的中点，则：

OA.OB=|而F_网2=|研2T函2=|研2

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②平行四边形模型：|八后|2+|*|2=2(|41/|2+|4府|2)

5.关于三点共线的结论

若A,B,C三点共线<=>丽=mOA4-nOC，m+n=1

6.等和线

已知福，就为不共线的两个向量，则对于而,必存在£y使得

AD=xAB+yAC,则B.C,D三点共线<=>x+y=l

1当。<x+y<l,则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间

②当x+y>l,则D与A位于BC两侧

③当x+y=l,若%>0,3,>0,则D在线段BC上

④当xy<0,则D在线段BC延长线上

w/j____12

7.定比分点公式的向量表示与坐标表示：若丝=2,则4。=——AB+—AC

DC1+21+2

8.向量与三角形四心

①若次+砺+配=6=0是4ABC的重心

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②若画•砺=砺•诙=正屈=0是△ABC的垂心

③若4次+Z?Q§・+C灰=。＜=＞。是△ABC的内心

④若|04|二|0四二|（元|00是△ABC的外心

9.奔驰定理:Sg0c・°A+5丛0c，OB+S乩QB*OC=6

10.三角形面积公式的向量表达：

—.—.1

>

平面上O,A1三点不共线.设Q4=（X］，X）,OB=（x2,y2）,则工研二^以必一々XI

解三角形

1.正弦定理

，一=—2—=—^―=2R（R是△48C的外接圆）

sinAsinBsinC

变形：®«=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2/?sinC

Qbca+b+c-

②------=-------=-------=------------------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sin8+sinC

2.余弦定理：

a2=b2+c2-2Z?ccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=b2+a2-2abeosC

3.面积公式

S=-absinC=-besinA=-easinB

222

3.三角形中常用结论

①。>〃=A>BosinA>sin8=cosA<cosB

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@acosB+bcosA=c,bcosC+ccosB=a,acosC+ccosA=b

数列

1.等差数列

①判断数列是否为等差数列有以下三种方法

a.6>+]_/=d（d为常数）

、2勺=%+|+《1（〃22）

c.a〃=kn+b（k,〃为常数）

②等差数列的通项公式：

4〃=4+（〃T）d

推广：〃“二品+(〃-〃?)"：d=——,n=———+1,d=———

n—1dn—m

③等差数列的前〃和公式:

二〃（4+凡）

“一2

S“二〃4+---d

④等差中项:

a.若为成等差数列，则A叫做。与h的等差中项，且从二印

2

b.当〃7+〃=〃+<7时,则有+an=ap+4

2.等差数列前n项和性质:

①数列｛j｝也是等差数列，旦公差为工

n2

②若｛4｝是等差数列，S“，S2”一S”,S3“一S2k,…也成等差数歹U.且公差为m2d

③3耙

④若｛%｝、｛"｝是等差数列，｛/｝、｛2｝的前n项和为S”,7；则答

bn&T

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Sa

⑤若项数为2〃，则§2"=心”+4川）,且S偶-S奇=〃〃，-^-=—2-

$偶为川

⑥若项数为2〃-1,则工“一］=（2〃一1）%,且S偶一S奇=々”，.二’7'其中5奇=〃。“

S偶〃-1

s奇=（〃-1）〃”.

2.等比数列

①判断数列是否为等比数列有以下四种方法

a.&包=“（夕为常数）

%

b.。；+产。〃・%+2（4,产。）

c.a„=kqn（k,q为常数）

d.S“=k（l—q"）（k,g为常数）

②等比数列的通项公式：

③等比数列前n项和：

〃q（q=l）

s”二址g（叱i）

i-q

④等比中项：

a-=—（〃22,+户0）

b.当6+〃=〃+"时，则有《“•/=%,•%,特别地，当〃2+〃=2攵时，得《”・4”=城

2.等比数列性质：

nn

①对任何m,ncN”，在等比数列（〃“｝中，有〃“=amq-'

②若，〃+〃=s+f（m,〃,sJ£N"）,则〃”.q“=4.q。熔别的，当〃?+〃=2Z时，

得4,%=a/注：％・an=a2.an_x=a3an_2…

③数列｛%｝，｛"｝为等比数列，则数列｛幺｝，｛h6,｝,｛《/｝,｛%・%•"｝,｛々｝（我为

a..b„

非零常数）均为等比数列,

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④数列｛%｝为等比数列，每隔左伏£N”)项取出一项%0M，%包,4”回，…仍为等比数列

⑤如果｛%｝是各项均为正数的等比数列，则数列｛log.％｝是等差数列

⑥若｛〃“｝为等比数列，则数列S“，S.S”,Sw-S?”,…，成等比数列

⑦若｛《)为等比数列，则数列……勺，4川"z…一生〃，生川•4”+2……田”

成等比数列

⑧S〃，52M-S„,53n-S2n……仍为等比数列，公比为7•

⑨在等比数列｛《,｝中，当项数为2〃(〃EN*)时，^-=-

s偶q

3.求数列通项公式的方法

①公式法；对于给出明与S”关系式，求数列通项公式品

S,n=1

数列的通项明与前〃项和S“的关系是4=°c…当〃=1时，若％适合

电--，〃22

s“一S,I，则〃=1的情况可并入n>2时的通项；当〃=1时,若《不适合S〃-S〃_1,则要

用分段函数的形式表示.

②累加法：形如=a“+f(n)型的递推式

当数列的通项勺满足形如=(+/(〃)型的递推式时，可采用“累加法(叠加法)”的

方法求解通项公式4,=(an-4T)+m“_]一。〃_2)+…+他一4)+4

③累乘法：形如4用=%•/(〃)型的递推式

当数列的通项牝满足形如二(•/(〃)型的递推式时，可采用“累乘法(叠乘法)”的

方法求解通项公式为=……一・4

*an_2〃”3%.

④构造法：形如=pan+/(/?)的递推

a.形如an+[=pan+q(〃w1,，/工0)型的递推

当数列的通项凡满足形如二〃•可+讥〃/1,"0)型的递推式时，可采用“构造法”的

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（其中攵二号）,新的等比数列公比为〃，首项为

4+Z,通过新数列可以把｛“〃｝的通项公式求解出来.

b.形如an=pan_x+qn+r（n>2,pq+0）型递推

当数列的通项凡满足形如q=/%,i+W+N〃之2,/四工0）型的递推式时，可采用

“待定系数法转化为。“+加+8=〃（4“T+攵（〃-1）+6）,（其中,卢卜J）,

[pb-p-b=r

再令b“=a〃+kn+b,｛〃｝是一个以q+Z+〃为首项，公比为〃的等比数列，利用等比数

列的通项公式先把｛〃｝的通项公式求解出，进而求出｛%｝的通项公式.

c.形如“川=〃〃“+A/+B〃+C型递推

构造等比数列｛4+xn2+冲+z｝,再用待定系数法求解x,y,z即可.

n

d.形如%=pan+Aq+B型递推：

构造等比数列｛。〃+入4'+），｝,再用待定系数法求解m了即可.

e•形如4+i=Aa“+3・4川型递推：

相除法构造等差数列之•

[An]

1

f.形如am=Aan+B^型递推：

当数列的通项勺满足形如%=〃•+八夕”（〃22,/均工0）型的递推式时，

方法一：可采用“构造法”的方法在两边同除〃”，构造一个号二3+"£）”的新数列,

再令勿=今,得=好），利用叠加法得方法先把同的通项公式求解出，进而

求出｛凡｝的通项公式.

方法二：可采用“构造法”的方法在两边同除夕"，变成2=“-3"+-，再令>=4,

qnq尸/

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得a=*,b,i+r,转化为前面例题的构造法，从而把｛%｝的通项公式。

形如=阳（48,C为常数）型递推式:两边同时取倒数求通项公式

B%+C

形如%=pa“+qae型递推式：同除。川•可构造新数列

形如。向=pa；型递推式：两边取对数后构造等比数列

4.数列求和

①公式法：

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等

差、等比数列的前〃项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和

立方数列等）也可以直接使用公式求和.

a.等差数列求和公式：

“212

b.等比数列求和公式：

叫(q=l)

5="(IT))“

\-q\-q')

②错位相减法：

若数列协.c｝,其中仍｝是等差数列，卜.｝是等比数列，则采用错位相减法.

若a=b.c,其中也｝是等差数列，｛（,｝是公比为q等比数列，令

S“=+•••+%*+则qSn=3+如+•••+&£+〃£小

两式错位相减并化简整理即得.

③分组求和法：

有一类数列｛4+〃｝,它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列｛%｝,｛a｝是等差数

列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或

常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.

④裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些

正负项相互抵消，于是前〃项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.

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适用于类似[皆一，(其中｛q｝是各项不为零的等差数列，c为常数)的数列、部分无理

数列等.用裂项相消法求和

常见的裂项方法：

rUS)特别地当e时,券+W

1

②特别地当左=1时--!——7=-J〃+l-G

\Jn+k+6\Jn+\+\/n

c(2〃)2(4n2-l)+l,1111、

③a=--------=-----------------=1+-------=1+—(---------------------)

”(2〃-1)(2〃+1)4/74«2-122〃-12〃+1

公1

④a”=--------=—)[---1---------1---]1

+2)2/?(/?+1)(〃+1)(〃+2)

令〃+212\n+\)-n\1I

超a=-------=-----------------------=---------：----------------

〃〃(〃+1)2”〃(〃+1)2〃小2”75+1)2"

⑥〃•〃!=[(〃+1)-1卜〃!=(〃+1)!-加

⑤倒序相加法：

类似于等差数列的前〃项和的公式的推导方法.如果一个数列｛为｝,与首末两项等距的两项

之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的

和.这一种求和的方法称为倒序相加法.

⑥并项求和法：

有些数列的通项里有(T)」这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.

⑦倒序相加法：

如果一个数列｛%｝,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用正序号和与倒

序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.

不等式：

1.三个“二次”之间的关系:

设危)=加+必+以〃>0),方程加+bx+c=0的判别式A=b2-4ac

判别式/zf>0J=0J<0

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=b2-4ac

有两个不等的实数有两个相等的实数

解不等式求方程yu）=o的解没有实数解

解Xl，X2解X|=X2

府）＞0或

VV

fix）＜0的画函数y=«r）的示

步骤意图

o|X|=XixO\X

得不等式危)>0{x|x<V|或X>X1}0附2a}R

的解集

及)<0{x|xi<.v<r2}00

2分式不等式：

解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。

设A、3均为含x的多项式

A

(1)一>0oAB>0

B

A

(2)一<()oAB<()

B

AB>0

⑶含0=

BHO

AAB<0

⑷—

BB±0

【注意】当分式右侧不为。时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定

时，可利用不等式的形式直接去分母.

3.高次不等式的解法

如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2,一般采用“穿针引线法”，

步骤如下：

1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为。的形式；

2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式［一次因式或高次因式不可约因式）

的乘积，如红一大）（工一/2）・・・（1一天）＞0的形式，其中各因式中未知数的系数为正；

3、求根：求如（x-xj（x-w）…（大一天）=0的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的

顺序标注）

4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，i奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴

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的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧)

5、得解集：若不等式">3",则找“线”在数轴上方的区间；

若不等式则找“线”在数轴下方的区间

3.含绝对值不等式

a.绝对值的代数意义

正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即

a,a>0,

|。|=«0,a=0,

-a,a<0.

b.绝对值的几何意义

一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

c.两个数的差的绝对值的几何意义

卜一4表示在数轴上，数。和数。之间的距离.

d.绝对值不等式：

(1)W<a(a>0)的解集是｛划一。vxva｝,如图1.

(2)W>a3>°)的解集是｛月式〈一〃或,如图2.

-a0a

图1图2

(3)\ax-^l^<c(c>0)<=>-c<cix+b<c.

(4)，次>c(c>0)<=>at+/?>c或以+”<一。

一元二次不等式恒成立和有解问题

①一元二次不等式在实数集上的恒成立

,[a=b=0f«>0

a.不等式a?+bx+c>。对任意实数4恒成立o或L八

c>0[A<0

、[a=b=0[a<0

b.不等式依2+〃什。<0对任意实数x恒成立=八或二八

c<0[A<0

②一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法

方法1：若/(x)>0在集合4中恒成立，即集合A是不等式/(x)>0的解集的子集，

可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；

方法2:转化为函数值域问题，即已知函数/(幻的值域为[〃?,〃],贝恒成立=

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/（X）min之。，即加之a；/*）«。恒成立=/（X）max"。，即九《4•

③给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，

就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的

函数，根据原变量的取值范围列式求解.

4.基本不等式的变形与拓展

1.a.若£R,则/+〃22

b.若则"工色互（当且仅当。二〃时取』”）.

2

2.a.若a＞（）,〃＞0,则巴32乂石；

2

b.若a＞0力＞0,则。+石（当且仅当。=/?时取“=”）；

c.若。＞0,b＞0,则出”（土^丫（当且仅当a=b时取“="）.

一12J

3.a.若x＞0,则x（当且仅当x=l时取“=”）：

x

b.若x＜（）,则x+’W—2（当且仅当x=-l时取“=”）；

X

c.若xwO,贝I」x+工之2,即工+,22或％+,＜一2（当且仅当。=〃时取.

XXX

4.a.若刈＞0厕q+”2（当且仅当时取“=”）；

ba~

b.若访工0,则凹+222,即且+。22或@+24一2（当且仅当。=〃时取.

bababa

5.一个重要的不等式链;

立体几何：

1.空间几何体的结构特征

多面体：棱柱、棱锥、棱台

棱柱：1侧棱都互相平行；।②上下底面是全等的多边形

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棱锥：①底面是任意多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形

棱台：由平行于底面的平面截棱锥得到；I②上下底面是相似的多边形

旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球

圆柱：绕矩形的任意一边所在的直线旋转得到

圆锥：绕直角三角形任一直角边所在的直线旋转得到

圆台：绕直角梯形，垂直于底边的腰所在的直线旋转得到

球：绕半圆直径所在直线旋转得到

2.空间几何体的直观图

①斜二测画法规则中的三变与三不变

‘坐标轴的夹角改变

“三变”，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半

.图形改变

平行性不改变

，，三不变”,与x,z轴平行的线段的长度不改变

、相对位置不改变

②平面图形的直观图与原图形面积的关系：Sr（观图=半§陵图.

3.空间几何体的侧面积、表面积与体积

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4.空间点线面之间的位置关系

1.四个公理

公理1：|如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

注意：