基本不等式及其应用 综合测试（解析卷）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第4讲综合测试解析卷

答案速查表

12345

ADADB

678910

ABBBCACD

1112131415

BCD2V62+2V2见解析

16171819

(1)400吨

(1)6.93小时

(2)不获利，

(2)当0<

最大利润为2V2

见解析Q«1时，T=

—40000兀，至

38Va；当a>1

少补贴40000

时，%=8

元

1,下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是()

①己知好工0,求£+2的最小值；解答过程：m+^22成=2；

babayjba

②求函数、=芸的最小值；解答过程：可化得y=V中+看>2；

③设%>1,求丫=%+三的最小值；解答过程：y=x+三之2巨，当且仅当工=三

人人人，\|人1人A

即x=2时等号成立，把x=2代入2层得最小值为4.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当帅<0,/与£均为负值，此时点十2=一[(一§+

(-;)]^-2^(-;)-(>;)=-2,当且仅当£=今即时等号成立，故①的用法有误，

故①错误；

对②：y=y/x2+4+-^==>2,当且仅当，%2+4=再急,即/+4=1时取等号，但

VX2+4>2,则等号取不到，故②的用法有误;

对③…>1,工-1>。，k"等=工_1+等+1之2尤+1,当且仅当工-1=日即

x=72+1时取等号，故③的用法有误；

故使用正确的个数是0个，对应选项A.

【点拨】应用基本不等式求最值时，必须严格检验“一正、二定、三相等”三个条件是否同时满

足，切忌盲目套用公式.

2.（2025•广东・3月联考）已知正数Q,4c满足2a+6b+3c=8,则半在+」-的最小值

b+cQ+C

为（）

A.2V2B・上任C.3V2-1

42

【答案】D

（解析］设£=（1+。，贝ljb+c=8-2（Q+c）=8—23

1.1,t.1..

有“乂-a-+-b-+-2-c--.---=--a-+-c-----F1d=-------h1

b+ca+cb+ca+c8-2tt

-4+41211

———1h1=----1---b-

8—2tt4—tt2

=*t+t）.（E+3+g

1/\1

=4（42^t7+―4-t+3）+2

>j（2V2+3）+|=^^,当且仅当£=4企一4时取等号.

【点拨】本题原卷选项D存在排版笔误，实际计算结果为空.解题核心在于通过换元法将多元

4

问题转化为一元或双变量问题，再利用“乘1法”构造基本不等式.

3.（2026•江西萍乡•二模）已知a>0,b>0,4Q+6=1,则+：的最小值为（）

ab

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】因为a>0,b>0,4a4-b=1,

>2J^^+l=2x2+l=5.

当且仅当2=即b=2a,结合4Q+b=1得Q=：,匕=J时等号成立.

abo3

所以最小值为5.

【点拨】处理条件等式求最值时，常将常数项替换为已知表达式，展开后利用基本不等式求解.

4.（2026•湖北十堰•一模）已知正数羽y满足x+y-xy,则x+4y的最小值为（)

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】因为正数x,y满足x+y=xy,两边同除以xy则」+工=1,

xy

可得％+4y=（x+4y）（｝+：）=l+4+?+j=5+j+j

>5+2户口=5+4=9,

yjxy

当且仅当型=;即x=2y=3时，等号成立，

xy

所以％+4y的最小值为9.

【点拨】遇到“和等于积”的条件，优先考虑两边同除以积，转化为倒数和为定值的形式，再利

用“乘1法”求解.

5.（2026•湖北黄冈•一模）已知x,y为正实数，且x+y=l,则翳的最小值为（）

A.12B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】由题可得43

xyyx

因为％+y=1,

所以*2=（x+y）（2+工）=9+1+空+"10+型+土

yx\xy/xyxy

>10+210+6=16.

y]xy

当且仅当亚==即％=时取等号.

故选：B.

【点拨】分离分子是处理分式求最值的常见手段，分离后结合已知条件构造基本不等式的形式.

6（2025•上进5月测评）己知正实数％,y满足/+y=6,则log?%+log9y的最大值为

（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】A

【解析】Iog3x+log9y=log3x+|log3y=log3x+log3A/y=log3（xVy）.

因为，+y=6,且居y>0,

由基本不等式x24-y>2x5即6N24仅

所以工近43,当且仅当/=y=3时等号成立.

因为y=log3t在（0,+oo）上单调递增，

所以10g3（八仞W10g33=L

故最大值为1.

【点拨】对数运算与基本不等式的结合，关键在于利用对数运算法则将和转化为积，再利用基本

不等式求真数的最值.

7.（2026•厦门双十•适应练习）设a>0且QWl,b>0且bHl,若乙+2=1,则

Iogfl3loa>3

Q+9b的最小值为（）

A.3B.6>/3C.9D.18

【答案】B

【解析】由换底公式可得+=1=log3a+log3b=1nIog3（ab）=1=>ad=3.

因为Q>0,b>0,

所以a+9bN2y[a^b=2V5H5=2V27=673.

当且仅当Q=9b,即Q=3V5,b=4时等号成立.

所以最小值为6V5.

【点拨】利用对数的换底公式将条件转化为乘积为定值，进而直接利用基本不等式求和的最小值.

8.（2026•精诚•二模）已知0VQV1,则」+2的最小值为（）

2—2Qa

A.：SB9.-C.5D.9

22

【答案】B

【解析】因为0<QV1,所以2-2Q>0,且（2-2a）+2Q=2,

所以在+”X£；+9K2-2a）+2a]

、5।1012a4-4a5,1.9

-222-2aa222

当且仅当含二匕％,即Q=，时等号成立.

2-2aa3

【点拨】通过观察分母特征，提取常数构造出和为定值的两项，再利用“乘1法”是解决此类题

目的标准流程.

9.已知x>0,y>0,且x+y-xy+3=0,则下列说法正确的是（）

A.3<xy<12B.x+y>6

C.x2+y2>18D.0<-+-<i

xy3

【答案】BC

【解析】对于A：由xy-3=x+yN2国?，得%、-322闻?，当且仅当x=y时等号成立，

(V%y)2-2Vxy-3>0,解得同N3,即xyN9,故A不正确；

对于B：由x+y+3=xy4(苫乡，得x+y+3W(手)，当且仅当％=y时等号成立，

(x+y)2-4(x+y)-12>0,解得x+yN6,或x+yW-2(舍去)，故B正确；

对于C：x2+yz=(x+y)2-2xy=(x+y)2-2(x+y+3)=(x+y)2-2(x+y)-6,

令£=%+丫36,则％2+产=£2-2t一6=(七—1)2—7之(6—1)2—7=18,RRx2+y2>18,

故C正确；

对于D：il^=^=l-A,

x+y=xyxyxy

令£=xyN9,则工+工=1—：N1—£=；,即工+工之,，故D不正确.

/xyt93xy3

2

【点拨】处理含有x+y和xy的等式时，常利用x+y32同或xyW(等)将双变量转化为单

变量的不等式求解.

10.已知a>0,b>0,且Q+：=1,则（）

A.2+b的最小值为4B.Q2+2的最小值为:

ab"4

C.f的最大值为；D.—Q的最小值为四-1

b42

【答案】ACD

【解析】对于A,^4-b=Q+b）（a4-1）=l+l+ab4-^>24-2Jab-=4,当且仅当Qb=l,

艮］。=摄/,=2时取等号，则A正确；

对于B,a2+^>|（a+|y=|xl2=1,即"+/之5当且仅当a=5即a=；,b=2时取

等号，则B错误；

对于C，?=。4工（学）=当且仅当。=：=；，即6=2时，=；，则C正确；

bby2J4b21"max4

对于D,-Q=?1之2日三一1=或一1,当且仅当-=1且Q=1-1，即

ZIbibyjZbLbb

b=&,a=1-孝时取等号，则D正确.

【点拨】灵活运用基本不等式的各种变形形式（如。2+822呼和QbW空）是快速判断选

L4

项的关键.

11.（2026・安徽铜陵•一模）下列说法正确的是（

A.若xVl,则函数y=火+的最小值为3B.若x+2y=3,

则2X+4y的最小值为4V2

(2.函数'=余+备的最小值为3+2&D.若x>0,y>0,且％+2y=2,贝ij

(%y)max=J

【答案】BCD

【解析】对于A,v%<1,x-1<0,

..y=x+-L=x-1+-L+1=-[_(x_1)+(__1_)]+1<-2—一)*(一=)+1=-1,

当且仅当1一%=—彳，即x=0时，取得最大值一1,故A错误；

X-1

对于B,2、+犷之2y/2^4y=27*3=?后=4VL

当且仅当乃=4丫即x=2y,结合％+2y=3得x=g,y=，时，2、+炉取到最小值为4VL故

B正确；

对于C,y=—^2~+—T~=(―V+~V)(sin2%+cos2%)=34->3+2卜呼x=

sm4xcos^x\sincxcos^x/sin^xcos^xysin^xcoszx

3+2V2,

当且仅当喀=吗即tan2A-=V2时取等号，故C正确；

sin"cos%

对于D,当工>0,y>0,J±x+2y=2时，2=x+2yN2jx•2y=y/xy<y,即

xy<^

当且仅当x=2y=l时，盯取最大值会故D止确.

【点拨】应用基本不等式时，必须保证各项均为正数，若为负数则需提取负号转化为正数再使用.

三角函数求最值常利用sin2x+cos2x=1进行代换.

12.若%,yER+,(%-y)2=(xy)3,则工+1的最小值为_____________.

xy

【答案】2

2

【解析】囚为(％-丫>=(xy)3旦x,yeR\则两边同除以(xy)2,得(工一工)=xy

\yx/f

又因为(工+工?二0一工丫+2;1y+±Z2|%y«-=4,

\xy)\yxJxyxyyjxy

当且仅当％y=B，即xy=2,结合=2可解得x=2+四,y=2-式时等号成立，

所以i+」之"=2.

xy

【点拨】通过代数变形找出目标式与己知条件之间的联系，利用完全平方公式的展开式进行转化

是解题的突破口.

13.己知x>0,y>0,满足％2+2%y—2=0,则2x+y的最小值为.

【答案】V6

【解析】由好+2xy-2=0,得y=与3=：一5

因为y>0,所以工£(0,0)，

所以2x+y=2x4-^-^=y4-i>2后.§=2J|=x/6.

当且仅当学/即％4时等号成立，

2x3

所以2x+y的最小值是伤.

【点拨】消元法是求最值的基本方法之一，将双变量问题转化为单变量问题后，再利用基本不等

式求解.

14.若Q>0,b>0,c>0,Q+b+c=2,则」y+小的最小值为

a+bc

【答案】2+2V2

【解析】由题意，a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,

设a+b=m,c=n,则且m+n=2.

----F--1=­[4+2H-------F1

.mn.2\mv)-

=3+—+--1=2+—+->2+2I---=2+2>/2.

inn)n)iyjmn

当且仅当巴=巴，即瓶2=2",结合巾+九=2解得巾=4-2/，几=c=2/-2时取得等号.

mn

【点拨】通过整体换元简化表达式，再利用“乘1法”将分式展开，是处理此类连加分式求最值

的有效策略.

15.(13分)利用基本不等式证明：已知a,Ac都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)N

Sabc

【答案】见解析

【解析】•♦•Q,瓦C都是正数，

a+b>24ab>0(当且仅当Q=b时取等号)；.....................................3分

匕+02痴>0(当且仅当£)=c时取等号)；.......................................6分

c+a>2\[ca>0(当且仅当c=Q时取等号)；.......................................9分

将上述三个不等式同向相乘可得：

(a+b)(b+c)(c+a)>2Vab12Vbc-2y/ca=Sabc,....................................................................11分

当且仅当a=b=c时取等号，

艮］(a+b)(b4-c)(c+a)>Sabc成立.................................................13分

【点拨】本题考查基本不等式的连用.在连续使用基本不等式并相乘时，必须确保不等式两边均为

正数，且各不等式取等号的条件能够同时满足.

16.(15分)(2024•河南•阶段练习)己知x,y,z为正数，证明：

(1)若xyz=2,则**:丁;

xyz2

(2)若2x+y+2z=9,则％2+产+2229.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】(1)因为xyz=2,所以:=yzw手，同理可得:工手，:工手，........3分

将以上三式相加可得：

2.2,2.y2+z2.x2+z2.x2+y27.2।2u八

+y+z2,........................................................................5分

两边同除以2,故！+工+」工立产，

xyz2

当且仅当x=y=z时等号成立.......................................................7分

(2)由柯西不等式可得：

22222

(2+/+2)(X+y2+z)>(2x+y+2z),.......................................................................11分

艮J9(x2+y2+z2)>(2x+y+2z)2,

因为2x+y+2z=9,

所以9(/+)/2+22)之92=81,..............................................................................................13分

所以x2+y2+z2>9.

当且仅当］=彳=f，结合2x+y+2z=9即x=2,y=l,z=2时等号成立..............15分

【点拨】第一问巧妙利用乘积条件将倒数转化为两数之积，再利用基本不等式放缩；第二问是典

型的利用柯西不等式求平方和最小值的模型，注意构造系数.

17.(15分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为

主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为

一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理

成本y(元)与月处理量工(吨)之间的函数关系可近似的表示为y=-200X+80000,

且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补

贴多少元才能使单位不亏损？

【答案】（1）400吨（2）不获利，最大利润为-40000元，至少补贴40000元

【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为：

z=1x5200x^80000=lx+80000200..................................................3分

xx2x

>2-200=2V40000-200=200；.......................................5分

\2x

当且仅当=%，即x=400时等号成立，

2x

故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成木最低为200元.................7分

（2）设该单位每个月获利为S元，则

S=lOOx-y=100x-Qx2-200x+80000）........................................10分

1

=--x27+300x-80000

="1（x-300）2-35000,.........................................................12分

因为％W[400,600],二次函数S在[400,600]上单调递减，

2

所以当x=400时，S取得最大值，Smax=-1(400-300)-35000=-40000,

B3SG[-80000,-40000],........................................................14分

故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损..................15分

【点拨】实际应用题中，建立正确的函数模型是关键.求平均成本最低时利用基本不等式，求总利

润最大时利用二次函数的性质，注意自变量的实际取值范围对最值的影响.

18.（17分）已知x>0,y>0,求的最大值.

【答案】竽

【解析】因为％>0,y>0,将原式分子分母同除以xy得：

2xy,盯_21A

工!歹+再7一浜+早’...........................................................4月

yxyx

设£="£>0）,所以原式化为：

212tt2t（t2+1）+（2+4）

-4-—

22

£+&t+L~t+4£2+1—（t2+4）（t+1）

°十£—£

_3"+6t_33+2t）

-t4+5t2+4-7+5岸+4'

分子分母同除以好得：

令n=t+g(t>0),由基本不等式得u>2Jt•1=2V2................................11分

2

此时产++—G+：）一4一一4,

〃

所以原式=3u_3314分

U2-4+5U2+1

因为函数fQ）=〃+§在［2夜,+8）上单调递增,

所以当〃=2或时，fQ）取得最小值2四+・二竽，

此时原式取得最大值壶=壶=苧・

当且仅当£=：,即t=鱼，也就是x=时等号成立.

故最大值为竽....................................................................17分

【点拨】齐次分式求最值，常通过分子分母同除以某一项转化为单变量函数.本题两次使用换元法,

第二次换元后利用对勾函数的单调性求最值是核心技巧.

19.（17分）（2024•湖北孝感•开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的

感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.

（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验

阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量式£）（单位：mg/L）随着时间■单位：h）.的变

化用指数模型以£）=Coe-位描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h-1）,刚注

射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于

1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人

有疗效的时长大约为多少小时?（精确到0.01,参考数据：In2