第3章 二次根式 小结与评价 教学设计-2026-2027学年湘教版八年级数学上册

第3章二次根式小结与评价教学设计

第3章二次根式

课题单元第3单元学科数学年级八年级上册

小结与评价

1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

教学目标

2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

教学重点含二次根式的式子的混合运算.

教学难点综合运用一次根式的性质及运算法则化简和计算含一次根式的式子.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

1.二次根式正在实数范围内有意义的条件是什

么？

只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实

数范围内有意义.反之也成立，即正有意义

u*a".

2.(历尸等于什么?而等于什么？

(V5)=a(a20),即一个非负数的算术平方

引导学生回顾二

根的平方等于它本身；

次根式这章的知

学生思考回答识点，使学生系统

…[一4”<°)，即一个数的平方的算术平

教师提出的问地了解本章知识

思考回顾

方根等于它的绝对值.题。及它们之间的关

系，通过问题，

3.积的算术平方根的性质是什么？商的算未平

检查学生对知识

方根的性质是什么？

点的掌握程度，

积的算术平方根的性质：

及时发现问题，

yja-bVa-\/b(aN0,bN0)•查漏补缺。

积的算术平方根，等于积中各因式的算术

平方根的积.

商的算术平方根的性质：

[bVb<a>0,b>0).

3二忑

商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以

除式的算术平方根.

4.什么是最简二次根式？如何把二次根式化成

最简二次根式？

被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或

因式）.这样的二次根式叫作最简二次根式.

例2瓜此+1

把二次根式化成最简二次根式的步骤：

（1）“一分”，即利用因式分解的方法把被开方数的

分子、分母都化成质因数（式）的呆的乘积形式；

（2）“二移”，即把能开得尽方的因数（或因式）用它的

算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的

分母中的因数（或因式）移到根号外时，要注意应写

在分母的位置上；

（3）“三化”，即化去被开方数中的分母.

5.如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？

先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果

有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺

序相同.

注意事项1.二次根式历在实数范围内有意义的条件是a>学生与教师一帮助学生梳理二

0.起总结。次根式这章需要

2.对于任一实数a,有重点注意的地

3等.式X/Q•疝网成立需同时满足a>0,b>0.方，更好的理解

4.最简二次根式的被开方数不含分母，且不含开知识点。

得尽方的因数（或因式）.一般地，运算结果中

的二次根式要化成最简二次根式.

5.实数的运算律在二次根式的加、减、乘、除运

算中仍然成立.

典例精讲题型一：二次根式的概念及性质

例1

下列各式中，是二次根式的是（C）

A.V5B.V-10C.V4D.y[a

例2学生独立解通过典型例题，

答。帮助学生回忆二

要使二次根式V3X-6有意义，则x的取值范

围是（D）次根式的知识

点，及时发现问

A.x>2B.x<2

题，灵活运用本

C.x<2D.x>2

章知识解决问

题,锻炼学生的

例3解题能力。

二次根式J（—2）?x6化简的结果是（A）

A.2V6B.-2V6C.6D.12

例4

将后化为最简二次根式，其结果是（D）

A匡B.邈C,蟀D.亚

2222

题型二：二次根式的化简及运算

例5

下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组

是（C）

A.痘与痘B.3V5与5V3

C.-8V2与2V81）.V12与连

例6

已知4=西+2,b=V5-2,则代数式

Ja2+b2+7ah的值为(D)

A.25B.±5C.3D.5

例7

计算：

(1)(4V6-3V2)+2企；

(2)Jr|x(26一;V1U)；

(3)(5V48-6V27+4V15)V3.

(4)--———-———^―

4-Vli3+夕•

解：(1)原式=2V3-1.

(2)原式一电又26—电x|V10

=:同-2.

(3)原式=(5x473-6x373+4^15):

=(2V3+4715)^-V3

=2+4V5.

(4)原式=4一旧一(V11+V7)-(3一")

=4+y/ll-VTT->/7-3+V7

=1.

例8

先化简，再求值：义♦(士+居)，其

a-ba+baz-bz

中a=V5+1,b=x/5—1.让学生了解二次

根式与实际生活

解：原式=—+「弋2b=

a-o(a+b)(a-b)的联系，体会数

ab(a+b)(a-b)_心

------二----=ab-学在实际生活中

a-ba+b

的应用。

当a=+1,b=V5—1时，

原式=(V54-1)(V5—1)=5—1=4.

题型三：二次根式的实际应用

例9

已知一等腰三角形的两边长分别为a,b,且

a,b满足V2a-3b4-5+(2a+3b—13)2

=0,则此等腰三角形的周长为7或8.

例10

已知长方形的长a=^V108，宽b=^V27.

(I)求长方形的周长；

(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较

长方形周长与正方形周长的大小关系.

解：(1)长方形的周长为

2x(+4历)=2x(3V3+x^3)

=8V3.

(2)长方形的面积为|V108xi727=3V3x

V3=9,

则正方形的边长为3,

・••此正方形的周长为12.

•••8V3=V192,12=V144,且V192>

V144,

二8V3>12,让学生学会灵活

运用知识进行解

则长方形的周长大于正方形的周长.

题，体会二次根

拓展提升