2026高二数学：概率（解析版）

【知识点1随机事件与概率】

i.事件的分类

必然事

在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件

确定件

事件不可能

在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件

事件

随机

在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件

事件

2.事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时

包含关系称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件31（或八G8）

B）

相等关系若8nA且A38A=8

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B

并事件

发生，称此事件为事件人与事件B的并事件（或AU8（或4+8）

（和事件）

和事件）

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B

交事件

发生,则称此事件为事件A与事件B的交事An仅或AB）

（积事件）

件（或积事件）

若A08为不可能事件，则称事件A与事件8

互斥事件AG8=0

互斥

对立事件若A08为不可能事件，AUI3为必然事件，AA4=0,P（AU4）=

那么称寻件A与事件B互为对立事件P(4)+P(8)=l

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(A)W1.

(2)必然事件的概率为1.

(3)不可能事件的概率为0.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)-\-P(B).

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AU8为必然事件，P(AUB)=1,P(A)=匕

P(B).

【知识点2古典概型】

1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的:

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

⑴古典概型的特点

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

(2)古典概型的概率公式

4包含的基本事件的个数

PW~~基本事件的总数~-

【知识点3相互独立事件的概率】

1.相互独立事件的定义

设A,8是两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与密件8相互独立.

2.相互独立事件的性质

若事件A与8相互独立，那么A与万，不与8,工与万也都相互独立.

【知识点4频率与概率】

1.在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件4是否出现，称〃次试验中事件A出现的次数小为

事件A出现的频数，称事件A出现的比例启A)=野为事件A出现的频率.

2.对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频签她稳定在某个常数上，把这

个常数记作PG4),称为事件4发生的概率，简称为A的概率.

【题型1随机现象与随机事件】

1.（25-26高一下•全国•单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（）

2

①过马路时，恰好遇到红灯;②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段,组成三角形;④若xeR,则x>0.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件.

故选:B

2.（2025高一上•全国•专题练习）下列现象是必然现象的是（）

A.走到十字路口遇到红灯B.冰水混合物的温度是PC

C.三角形的内角和为180。D.一个射击运动员每次射击都命中7环

【答案】C

【详解】选项A,十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象；

选项B,标准大气压下，冰水混合物的温度是（TC,事件冰水混合物的温度是PC不是必然现象；

选项C,三角形的内角和为180。，这个事件为必然现象；

诜项D.一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发牛也可能不发牛，为随机现象.

故选：C.

3.（25-26高一下•全国•课堂例题）在1,2,3........10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是

不可能事件的是（）

A.3个数字相邻B.3个数字全是偶数C.3个数字的和个于5D.3个数字两两互质

【答案】C

【详解】从10个数字中任取3个数字，

这3个数字的和大于或等于6,

小干5的情况不可能发生，

故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件.

故选:C

4.（25-26高二上•湖北十堰•阶段检测）（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A.“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件

B.“当x为某一实数时可使丁<0”是不可能事件

C.“明天竹山要下雨”是必然事件

D.“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.

【答案】ABD

【详解】A,根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2,即必然有一个

盒子有一个以上的球，所以是必然事件，正确，

B,对任意实数x,有V20,正确，

C,下雨是随机事件，错误，

D,从100个灯泡中取出5个次品是随机事件，正确.

故选:ABD

【题型2随机事件的频率和概率】

1.（25-26高一下•全国•课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（）

A.从全是黑球的袋中取出红球的概率是0B.从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1

C.太阳从西方升起的概率是0D.明天是晴天的概率是I

【答案】D

【详解】选项A,C是不可能事件，它们的概率都是0,正确.

选项B是必然事件，概率是I,正确.

选项D不是必然事件，概率不是1,D错误.

故选：D.

2.（25-26高二下•安徽淮北•开学考试）下列说法正确的个数是（）

①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；

②在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生；

③任意事件4发生的概率P（八）总满足0＜P（力＜1；

④若事件A发生的概率趋近于0,而P（A）＞0,则A是不可能发生的事件.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【详解】••・随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故①正确；

•.•一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故②正确：

•.•必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率大于0且小于1,

・•・任意事件A发生的概率P（A）满足OWP（A）W1,故③错误;

若事件4的概率趋近于0,则事件A是小概率事件，故・•.④错误.

故说法正确的有2个.

3.（25-26高一卜・江西南昌・期末）把标号为1.2.3的二张卡片分发给甲,乙,丙二个人,事件人表示“甲

分得1号卡片“，事件3表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（）

A.Ac"是不可能事件B.A,B是互斥事件

C.AUBUC是必然事件D.B,C是对立事件

【答案】D

【详解】A选项：事件A（甲得1号）和事件B（乙得1号）不可能同时发生，因此AC/3是不可能事件，

A正确.

B选项：事件A和B不能同时发生，因此是互斥事件，B正确.

C选项：AuBuC表示T号卡片分给甲、乙或丙”，这在分卡片时必然发生，因此是必然事件，C正确.

D选项：事件B（乙得1号）和C（丙得I号）是互斥事件，但不是对立事件，因为还存在“甲得1号”的情

况（事件A）,两者的并集不是必然事件，故D错误.

故选:D

4.（25-26高一下•全国•课后作业）（多选）（多选题）在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任

选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要使①为

必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x可以是（）

A.5B.6C.3D.4

【答案】CD

【详解】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人，

③为随机事件，所以男生人数不少于3人，

男生有x名，故工=3或x=4.

故选:CD

【题型3事件的关系】

1.（2026•上海•高考真题）事件4和事件3相互独立，“A和8至少一个发生”的对立事件是（）.

A.AcBB.AU8C.D.AUB

【答案】C

【详解】根据已知AB至少有一个发生，

则对立事件为A3都不发生，所以AdA的对立事件为c力.

2.（25-26向二上•石南・升学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少次中靶”是事件“至多次中靶“

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，&“两次都没中靶”，C“第一次中靶且第二次没

中靶”，。：“第一次没中靶且第二次中靶”.

事件“至少一次中靶''包含了A,C.D事件“至多一次中靶”包含了8,C,D,

所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3.（2026•湖南株洲•模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有I个白球”

相等的事件是（）

A.全是红球B.至多有1个红球

C.全是白球D.1个红球，1个白球

【答案】B

【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，

其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”，

事件”取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”.

4.（25-26高二上•福建泉州•期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：2="点数不小于2”，D2=

”点数大于2”，2="点数大于4\下列结论错误的是（）

A.DyCD2B.4U4=4c.4n“3=2D.D1=D2

【答案】D

【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是A={234,5,6},D2={3,4,5,6},鼻={5,6}.

显然2=2，故A正确；21）2=2,故B正确；

=故c正确；D苫％故D错误.

故选：D

【题型4事件的运算】

1.（2026.江西•二模）设M,N,P是三个事件，则事件“M、N至少有一个发生且P不发生”可表示为（）

A.（MCN）CFB.（MDN）CAC.（MuN）2AD.（McN）uA

【答案】B

【详解】事件“M、N至少有一个发生”可表示为何UN,事件力不发生”可表示为

选项A中（McN）c,表示M,N同时发生且“不发生，不符合题意

选项B中（例uN）c「表示M,N至少一个发生且/＞不发生，与题意一致

选项C中（WuN）u声表示M,N至少一个发生或“不发生，不符合题意

选项D中（MCN）D,表示M.N同时发生或Q不发生，不符合题意.

2.（2026高一•全国・专题练习）打靶三次，事件4表示“击中i次”，KM23,则“至少有一次击中”这一事

件用事件的交、并运算应表示为.

【答案】AUAUA（或4+4+4）

【详解】囚A），A，A2，A彼此互斥，“至少有一次击中''包含击中一次A，击中两次小,击中三次人,

这三个事件的并事件，应表示为AU&U&（或4+4+43）.

3.（2026高一•全国•专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A=｛3个球中

有1个红球2个白球｝,事件8=｛3个球中有2个红球1个白球｝,事件C=｛3个球中至少有1个红球｝,事

件。=13个球中既有红球又有白球｝.问：

⑴事件。与A4是什么样的关系？

（2）事件。与A的交事件是什么事件？

（3）设事件E=｛3个红球｝,事件产=｛3个球中至少有1个白球｝,那么事件。与SE是什么关系？C与尸的

交事件是什么？

【答案】（l）/）=4u&（2）CnA=A.（3）BcC,EcC,CnF=D.

【详解】（1）对于事件D,可能的结果为1个红球2个自球或2个红球1个白球，故D=A<JB.

（2）对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故

CcA=A.

（3）由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故

BQC,E^C.

事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球.

所以Cc尸=｛1个红球2个白球，2个红球1个白球｝=。.

【题型5互斥事件、对立事件的辨析】

1.（25-26高一下•天津•期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币.设事件”二"第一枚硬币正面朗上”，N=

“第二枚硬币反面朝上”.则事件M与N关系描述正确的为（）

A.互斥B.相互独立C.互为对立D.相等

【答案】B

【详解】对于A,因为事件M和事件N可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误；

对于B,P（M）=g,P（N）=；,P（MN）=；=P（M）P（N）,所以事件”和事件N相力独立，所以B正确；

对于C,事件股和事件N可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误：

对于D,分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况，

事件〃包括（正正）（正反）两个基本事件，事件N包括（正反）（反反）两种情况，所以不相等，所以

D错误.

2.（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：C=”所有样本空间”，C="点数为其中i=l,2,

3,4,5,6,"点数不大于2"，2=”点数大于2"，2=”点数大于4"，则（）

A.a与互斥B.RU2=Q，DQ2=0

C.D.cD2D.G，G为对立事件

【答案】ABC

【详解】由题知G与G不可能同时发生，所以G与G互斥，A正确；

事件R包含基本事件cpc2,事件D2包含基本事件G，G，G，C6,

因此〃U2=。，DQ1=0,B正确：

事件4包含基本事件Cs，q，故c正确；

G与G不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D错误.

故选：ABC

3.（多选）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A=••取出的鞋不成双“，事件8=”取出

的鞋都是左脚的“，事件。="取出的鞋都是一只脚的“，事件。=”取出的鞋是-只左脚一只右脚的，但不是

一双鞋”，则下列结论成立的是（）

A.D^AB.A=C［）DC.8与。互斥D.。与。对立

【答案】ABC

【详解】选项A：事件A是“取出的鞋不成双”，事件。是“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，

但不是一双鞋”，。发生时A一定发生，所以。=A,A正确。

选项B：事件C是“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”；

事件。是“一只左脚一只右脚但不成双”，

A（不成双）就是“都是一只脚（C）”或“一只左脚一只右脚但不成双（。）”，

即4=。=。，B正确。

选项C：事件3（都是左脚）与事件。（一只左脚一只右脚但不成双）不可能同时发生，

所以8与。互斥，C正确。

选项D：事件C（都是一只脚）与事件。（一只左脚一只右脚但不成双），除了C和。的情况，

还有“取出的鞋是一双”的情况，所以C与。不对立，D错误。

故选：ABC

4.（25-26高二•全国•暑假作业）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互

斥且对立的两个事件的是（）

A.至少有一个红球；至少有一个白球B.恰有一个红球；都是白球

C.至少一个红球；都是白球D.至多一个红球；都是红球

【答案】CD

【详解】从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：｛两个红球，一红一白，两个白球1,

对于A：“至少一个红球”包含｛一红一白、两个红球｝，”至少一个白球”包含｛一红一白、两个白球｝,

二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误：

对于B：“恰有一个红球”即｛一红一白｝，“都是白球”即｛两个白球）,二者互斥，但存在“两个红球”的情况,

二者不是必有一个发生，不对立，B错误；

对于C：“至少一个红球”包含｛一红一白、两个红球｝,“都是白球''即｛两个白球｝,

一者不能同时发生，旦并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确；

对于D：“至多一个红球”包含｛两个白球、一红一白｝，“都是红球”即｛两个红球｝,

二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确.

【题型6互斥事件、对立事件的概率】

I3

1.（2026•四川绵阳•三模）已知随机事件A和8,其中P（A）=P（B）=上,P(Au8)=2.则2八或=

24

【答案】y/0.25

4

【详解】由概率的加法公式：P（A\JI3）=P（A）+P（B）-P（ABy

代人已知条件得：^3=^1+^1P（AB）=\-P（AB）,

解得：P（AB）=\-^-=^-.

44

2.（25-26高二下.上海•期中）设事件A8是互斥事件，P（4）=03,P（8）=0.5,则下列说法错误的是（）

A.P㈤=0.7B.P（B）=P（B）

C.P（Ap|B）=0.15D.P（AUB）=0.8

【答案】C

【详解】事件AB互斥，则4B不能同时发生.

A选项：P（A）=l-P（/\）=1-03=0.7,所以A正确；

B选项：尸伍）="尸（8）=1-0.5=0.5,所以B正确;

C选项；互斥事件人=所以P（人c0=O,所以C错误；

D选项：互斥，P（Au8）=P（A）+P（8）=（）.3+0.5=0.8,所以D正确.

3.（25-26高一下•宁夏银川•阶段检测）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币正面朝上”，事

件8="第二枚硬币反面朝上“，则下列说法正确的是（）

A.A与笈互为对立事件B.P（A）=P（B）

C.A与8相等D.A与8互斥

【答案】B

【详解】由题意得，P（A）=；,P⑻=；.

选项A,因为事件AB可能同时发生，即Ac4¥0,所以不是对立事件，故A错误；

选项B,P（4）=P（B）=g,即B正确.

选项C,第一枚硬币正面朝上并不能得到第二枚硬币反面朝上，二者相互独立，所以并不相等，故C错误.

选项D,由A项知Ac8工0,即两者并不互斥，故D错误.

4.（25-26高一下•北京•期末）已知随机事件A4满足P（4c耳）=P（Zc8）=；,P（Au8）=l,则下列结论：

a11

①P（A）=P（3）；②尸（A）=*③P（A）=：；④P（Ac8）=].其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【详解】对于①，P（A）=P（AcB）+P（Ac8）,「.P（Ac耳）=P（A）—P（Ac8）,

•・•P（B）=P（AnB）+P（Ar»B）,.-.P（AnB）=P（5）-P（AnB）,

又尸（Ac月）=P（ZcB）,所以P（A）-P（Ac8）=尸（8）-P（AcB）,

故P（A）=P（8）,①正确;

对于②③④,P（AuB）=P（A）+P（B）_P（AcB）=l,结合P（4）=P（8）,

可得P（Ac8）=2P（A）-l,而P（Ac与）=P（人卜P（人c4）=；,

3/1

所以P（A）=RP（ACB）=5,②正确，③错误，④正确.

【题型7相互独立事件及概率】

1.（25-26高二上.上海•期末）相互独立事件A,8满足*408）=1,尸（可=2尸（A）,则P（8）=______.

6

【答案】；/0.5

【详解】由对立事件的性质得尸（A）=I-尸（A）,

则1-P（A）=2P（A）,解得P（A）=g,

已知事件A,B相互独立，则

P（AnB）=P（A）P（B）=1p（B）=l解得P（8）=4.

362

2.（2026•上海.模拟预测）已知事件A与事件8相互独立，如果P（A）=0.3,P（B）=0.6,4人口同=.

【答案】0.12/3^

【详解】由P（5）=0.6,得网可=1-尸（8）=1-0.6=04,

因为事件A与事件3相互独立，贝]事件A与事件万也相互独立，

所以P（AnX）=P（A）尸（X）=0.3x04=0.12.

3.（25-26高二下•重庆•期中）有4个分别标有数字I,2,3,4的相同小球，从中不放回地随机取两次，

每次取I个球.甲表示事件“第•次取出的球的数字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的数字是3”，丙表示

事件“两次取出的球的数字之和是4”,丁表示事件”两次取出的球的数字之和是5”,则下列选项正确的是（）

A.甲与乙互斥B.丙与丁对立C.甲与丙相互独立D.乙与丁相互独立

【答案】D

【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为。=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,

(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)),共12种情况;

令事件A表示：第一次取出的球的数字是1,则4=｛。，2）,（1,3卜（1,4）｝,

令帕牛8表示：第二次取出的球的数字是3,则8=｛（1,3）,（2,3卜（4,3）｝,

显然Ac3=｛（l,3）｝,所以甲与乙不互斥，故A错误；

令事件C表示：两次取出的球的数字之和是4,则。=｛（1,3）,（3,1）｝,

令M件。表示：两次取出的球的数字之和是5,则。=｛（1,4）,（4』）,（2,3）,（3,2）｝,

显然CU。。。，所以丙与丁不对立，故B错误；

由P(C)=5=5P(AC)=》所以。(AC)HP(A)P(C),

1241Zo12

所以甲与丙不独立，故c错误:

又P（4）=5=aP（Q）=A='P（4D）=5=P（〃）P（O），

所以乙与丁相互独立，故D正确.

4.（2023•吉林・一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，

事件4="取出的两球同色”，事件8=”第一次取出的是白球“，事件C="第二次取出的是白球“，事件。="取

出的两球不同色”，则（）

A.P（B）=^

B.8与C互斥

C.A与8相互独立D.4与。互为对立

【答案】ACD

【详解】设2个白球为4，%，2个黑球为4，打

则样本空间为:。=｛（6，生）（4,4），（4也），（电，4卜（生力》（生,幻，（4吗），

（4，生）,（舟也）,他，4）,（仇,42），鱼，〃）｝，共12个基本事件.

事件4=｛（4，%），（生,4），（仇也），（&4）｝，共4个基本事件；

事件5=｛（对生｝（4,伪），（4也卜色吗卜侬田乂生也）｝，共6个基本事件；

事件。=｛（4，42），39），（々,4），仅，4），（〃29），（〃2,4）｝，共6个基本事件；

事件。=（（4,4）,（4也卜（生，印），（42也），（4,4）,（4，生）,（仇，4）,（么,生）｝，共8个基本事件,

对于A,由1（3）*=；，故A正确;

对于B,因为8ncx0，

所以事件8与。不互斥，故B错误；

对于C,因为P（A）=L，P（B）=H，P（叫W

则P（AB）=P（A）P（B）,

故事件A与B相互独立，故C正确；

对干D,因为AcO=0,AUO=C，

所以事件A与。互为对立，故D正确.

【题型8简单的古典概型】

1.（25-26高二下.上海杨浦.期末）抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为

【答案】y/0.5

【详解】抛掷1枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数的所有可能结果为1,2,3,4,5,6,共6种，

且每种结果出现的可能性相等，其中点数为偶数的结果为2,4,6,共3种，

所以抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为0==3=:1.

62

2.（26-27高二♦全国•暑假作业）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10

的样本，则某个个体被抽到的概率为（）

3o11

A.-B.-C.—D.—

551025

【答案】B

【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是?10=2

255

3.（25-26高一下•湖南•阶段检测）从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之

和大于等于10的概率为（）

A.-B.—C.-D.-

51（）59

【答案】C

【详解】从1,2,3,45中随机选取三个不同的数

有（1,2,3）,（1,2,4）,（1,2,5）,（1,3,4）,（1,3,5）,（1,4,5）,（2,3,4）,（2,3,5）,（2,4,5）,（3,4,5）,共10种情

况，

其中三个数之枳为偶数且它们之和大于等于10的有（1,4,5）,（2,3,5）,（2,4,5）,（3,4,5）,共4种情况，

所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为卡4=;2，故C正确.

4.（25-26高一下•云南・期末）（多选）多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选

对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分.小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明碓的排除一个

错误选项A,于是她选择在B、C、D三个选项中随机填涂答案提交，若该题在B、C、D中只有两个选项

正丽，则（）

A.若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为:

B.若小乐随机填涂一个选项，则该题得。分的概率为:

C.若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为:

D.若小乐随机填涂两个选项，则该题得0分的概率为:

【答案】BC

【洋解】对于A,若小乐填涂三个选项，则为BCD,囚该题在B、C、D中只有两个选项正确，

故涂三个选项必定得。分，即该题得2分的概率为0,故A错误：

对于B,若小乐随机填涂一个选项，共有3种方法，因该题在B、C、D中只有两个选项正确，

故错选的方法只有I种，所以该题得。分的概率为:，故B正确；

对于C,若小乐随机填涂两个选项，共有3种方法，正确的选法只有1种，故该题得5分的概率为:，故C

正确；

对于D,若小乐随机填涂两个选项，共有3种方法，其中I种正确选法，另外2种选法均有错选，故该题得

2

。分的概率为,，故D错误.

【题型9游戏中的概率】

1.（23-24高二上•上海•阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上

的概率是（）

A.±B.史C.工D.1

9999982

【答案】D

【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为

故选：D.

2.（23-24高一下•河南许昌•期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（）

A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜

D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

【答案】B

【详解】对于A,抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为3，向.上的点数为偶数的概

率为g，所以游戏公平；

对于B,同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

恰有一枚正面向上的概率为:，两枚都正面向上的概率为所以游戏不公平；

24

对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为:，扑克牌是黑色的概率为:，所以游

戏公平；

对于D,小明、小华两人各写一个数字6或8,共（6,6）,（6,8）,（8,6）,（8,8）四种情况,

两人写的数字相同的概率为《，两人写的数字不同的概率为所以游戏公平.

故选：B.

3.（25-26高二上•浙江湖州•阶段检测）某比赛为两运动员制定下列发球规则：

规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；

规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；

规则三：从装有3个红球与I个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则

对甲、乙公平的有（）

A.规则一，规则二B.规则一，规则三C.规则二，规则三D.规则一，规

则二，规则三

【答案】B

【详解】对于规则一，每人发球的概率都是g，是公平的；

对于规则二，记2个红球分别为红1,红2,2个黑球分别为黑1、黑2,

则随机取出2个球的所有可能的情况有

（红1，红2）,（红1，黑1）,（红1,黑2）,（红2,黑1）,（红2,黑2）,（黑1,黑2）,共6种，

其中同色的情况有2种，所以甲发球的可能性为不公平；

对于规则三，记3个红球分别为红1、红2、红3,则随机取出2个球所有可能的情况有

（红1，红2）,（红1,红3）,（红1,黑），（红2,红3）,（红2,黑），（红3,黑），共6种，

其中同色的情况有3种，所以两人发球的可能性均为是公平的.

因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.

故逃：B.

4.（2026高三・全国•专题练习）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转

盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如卜.：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，

乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则中获胜.则正确的猜数方案是

A.猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性

B.猜”是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大

C.猜”是大于4的数”乙获胜的希望较大

D.猜”是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性

【答案】ABCD

【详解】1,2,3,4,5,6,7,8.9,10中，“奇数”有5个，“偶数”有5个，”是4的整数倍的数”有2个,

“是大于4的数”有6个，“是大于5的数”有5个或“小于6的数”有5个.

对FA：“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5,故能保证游戏的公平性，A正确.

对于B：“是4的整数倍的数”有2个，则乙获胜的概率为0.2,改甲获胜的希望较大，B正确.

对于C：”是大于4的数”有6个，则乙获胜的概率为0.6,故乙获胜的希望较大，C正确.

对于D：“是大于5的数”或“小于6的数”的概率均为0.5,故能保证游戏的公平性，D正确.

【题型10频率与概率】

1.（2026•北京朝阳•模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1,2,3,4,5的五个安全出口.若同时开放其中

的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：

安全出口编

1,22,33,44,51,5

号

疏散乘客时

120220160140200

间（S）

则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散100（）名乘客所需的时间为120s,

同时开放2、3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s,

所以1疏散乘客比3快；

同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快，

2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4.

2.（25-26而二上・贵州•阶段检测）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了500次试验，

发现正面朝上出现了300次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.6,0.6B.0.6,0.5C,0.5.0.5D,0.5,0.6

【答案】B

【详解】•.•某同学用一枚质地均匀的硬币做了500次试验，发现正面朝上出现了300次，

二出现正面朝上的频率为：黑=。・6,

又•••每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是

.••出现正面朝上的概率为：g=0.5,

•••出现正面朝上的频率为0.6,概率为0.5.

故选:B.

3.（25-26高一下•全国•课堂例题）下列说法正确的是（）

①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；

②做〃次随机试验，事件A发生了，〃次，则事件A发生的概率尸（人）=:；

③含百分比的数是频率，但不是概率；

④频率是不能脱离〃次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；

⑤概率是频率的稳定值.

A.®@©B.①②C.②③D.②③⑤

【答案】A

【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确；

概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误；

概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；

根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确.

故选：A

4.（25-26高二上呐蒙占赤峰•期中）从存放号码分别为12…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每

次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：

卡片号码12345678910

取到的次数101188610189119

则取到号码为奇数的频率是

【答案】0.53/=

【详解】由表可以得出取到号码为奇数有10+8+6+18+11=53种结果,

53

所以取到号码为奇数的频率是而=0.53.

故答案为：0.53.

I.（25-26高三上•上海・期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是：，一次点球训练中，他

连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（）

I27

A.：B.：C.1D.介于:和1之间的某个实数

JJJ

【答案】A

【详解】他踢点球进门的概率是（，所以他第3次踢进门的概率为］

故选：A

2.（25-26高二上•湖北孝感•期中）下列说法正确的是（）

A.某种福利彩票的中奖概率为焉，那么买1000张这种彩票一定能中奖

B.频率是概率的稳定值，概室是频率的近似值

C.连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀

D.通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生1〜5的随机数，当出现随机数1,3,5时，

表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423,123,425,344,124,453,524,332,152,342,

9

534,443,521,541,125,432,324,151,314,245,则这三天中恰有两天下雨的概率近似为疝

【答案】D

【详解】A：中奖概率为《，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，错误；

B：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，错误；

C：由10次掷骰子都出现I点，说明骰子的质地可能不均匀，错误；

D：由题意，满足条件的随机数有123,453,332,152,534,521,541,125,314,共9种情况，则这三

9

天中恰有两天下雨的概率近似为不，正确.

工0

故选：D

3.（25-26高一下•全国•课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解：

①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；

②只要连掷6次，一定会“出现1点”；

③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大；

④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19.

其中正确的见解有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是故①