广东省潮州市饶平县2024-2025学年高二年级上册阶段性质量检测数学试题（解析版）

广东省潮州市饶平县2024-2025学年高二上学期阶段性质量检测数学试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案,）

1.已知苍=-b=（4,-2,x）»且Q〃6则x=（）

A.-10B.-2C.2D.1（）

【答案】C

【解析】【解答】解：因为力分，所以存在实数匕使得石=k五,

4=2k

即（4,一2,外=々（2,一2=—匕解得x=k=2.

x=k

故答案为：C.

【分析】由题意，可得石=上百，再根据空间向量平行的到方程组求解即可.

2.已知直线匕的一个方向向量为（-1,2）,直线，2的一个方向向量为（回6）,若一11%，则山=（）

A.-3B.3C.6D.9

【答案】A

【解析】【解答】解：设直线A的方向向量二=（一1,2）,直线％的方向向量方=（犯6），

由于。〃，2，所以可/B，因此可得：2m=-6,解得：m=-3.

故答案为：A.

【分析】明确两直线平行时，方向向量也平行.根据向量平行的坐标关系（若两个向量3=（修少1），b=

。2，72）平行，则一%2%=0）来计算m的值.

3.过点0（2,3）,且与直线3x+4y-5=0垂直的直线方程为（）

A.3x-4y-1=0B.3x-4y+1=0C.4x-3y-1=0D.4x-3y+1=0

【答案】D

【解析】【解答】解：直线3%+4y-5=0斜率为告

所以要求直线斜率为，又因为过点P（2,3）,

所以直线方程为y-3=4（％-2）,即4x-3y+l=0.

故答案为：D

【分析】先根据两直线垂直的斜率关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线方程并整理为一般

式。

4.己知向量2=（-4,0,1）1=（2,百,3），则五在万方向上的投影向量的模为（）

A5579

A-16BR,4Cr,4Dn-16

第1页

【答案】B

【解析】【解答］解:由五=(一4,0,1),%=(2,75,3)，得向=Jz2+(V3)2+32=4»

ab=-4x2+0x73+1x3=-5，

所以说^方向上的投影向量的模为1器•灰=喘1=*

故答案为：B

【分析】核心是先利用空间向量的数量积公式求出五不，再利用模长公式求出|瓦，最后根据投影向量模的计算

公式求出结果。

5.如图在四面体48co中，E、G分别是CD、8E的中点，则而二()

A.48+4cB.g+.AC

C./A8++；24cD.+

【答案】D

【解析】【解答】解：连接4E,如下图所示：

因为E为CO的中点，G为8E的中点，则赤=%(而+而),

111

而

则而=i(AB+AE)=2AB++^(ZC+AD)-+-而+-

244

故答案为：D.

【分析】用空间向帚的线性运算，杈据中点关系表示出赤，结合G是BE中点，将萌用而、AC.而线性表示

出来.

6.已知点4(3,0),点P为圆好+丫2=1上的动点，则Ap的中点的轨迹方程是()

222

A.(%+3)+/=4B.(x_3)+y=1

22

C.(X+|)+必=；D.(%_务+y2=.

第2页

【答案】D

【解析】【解答】解：设AP的中点坐标为卜，力点P5,%)因为点4(3,0),

故根据中点坐标公式公式有：

x3

X12+

印r22

=+y-1

力2y，又点P为圆好+y2=i上的动点，Xj1

2

y=

将，代入得：(2.3)2+(2y)2=l,化简得：Q_|)2+y2=/

故答案为：D.

【分析】本题主要考查估计方程的求法及中点中坐标公式，设AP的中点坐标为9，y),点P@i，%),根据

(_-1+3_

"二算，即又点p为圆好+、2=1上的动点，/2+当2=1,将

3,代入并化简即可求解.

7.若圆C:(%-I)2+(y-3)2=8上存在两个点到直线上x+y+m=0的距离为遮，则实数m的取值范围是

()

A.—6<ni<_2B.-10<mV—2

C.-2<m<2或.-10<m<-6D.m<-6或m>-2

【答案】C

【解析】【解答】解：由两平行直线电离公式可知，与上x+y+m=0相距鱼的直线为x+y+m-2=0与

x+y+?n4-2=0.

又C:(x-I)2+(y-3)2=8的圆心为(1,3),半径为2及，x+y+m-2=0与x+y+m+2=0相距力=

2注.

则x+y+m-2=0与x+y+m+2=0中一条直线与圆相交，另一条与圆相离.

即一条直线至|」(1,3)距离小于2或，另一条直线到(L3)距离大于

<2V2匕岩>2企

或^^|<2V2—2<m<2或—10<m<-6.

>2V2

故答案为：C

【分析】将“圆上两点到直线距离为鱼”转化为"两条平行直线与圆的交点情况“，利用圆心到直线的距离公式

和圆的位置关系求解。

8.若恒,苴总｝是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量五，存在唯一的有序实数组®y,z),使得；=

xe1+ye2+ze3，我们把有序实数组(“⑵叫做基底恒，最码下向量五的斜坐标.设向量万在基底仲河下的

第3页

斜坐标为(一1,2,3),则向量方在基底｛&-B+己@—B下的斜坐标为()

A.(2,-4,-1)B.(-2,-4,1)C.(-2,4,1)D.(2,-4,1)

【答案】D

【解析】【解答】解：设万=%(a-b+c)+y(a-d)+z(a+c)=(x+y+z)a+(-x-y)b+(x+z)c,

又0=-a+2b+3乙

x+y4-z=-1(x=2

•••—x—y=2,解得=-4,

x+z=3(z=l

即户=20—5+0—40—+0+D

所以向量万在基底｛G—b+c,a—b,d+下的斜坐标为(2,-4,1).

故答案为：D.

【分析】核心是利用待定系数法，将向量万在新基底下的线性表示展开，根据向量相等对应系数相等列方程

组，求解得到斜坐标。

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合要求的选

项，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.)

9.经过点P(O,-1)作直线/,且直线，与连接点4(1,-2),8(2,1)的线段总有公共点，则下列结论正确的是

()

A.直线，的倾斜角a的取值范围为除第

B.直线，的倾斜角a的取值范围为[0,"u[等,兀)

C.斜率k的取值范围为[1,1]

D.斜率k的取值范围为(—8,—l]u[l,+8)

【答案】B,C

【解析】【解答】解：由题意可以作图如下：

，由图可知斜率kE[-1,1],

设直线倾斜角为aG[0,?r)§.tana=fc€[-14]

・UIn町一r37r\

•*CCE.。,4U1^-^-,71j

第4页

故答案为：BC

【分析】先求出过点P与线段端点A、B的直线斜率，确定直线1的斜率范围，再根据斜率与倾斜角的关

系，结合倾斜角的范围，求出倾斜角的取值范围。

10.如图，在平行六面体4BCD—4道1。1内中，AB=AD=AAA=2,4B4O=乙4遇9=乙生力。=60°,41cl

与的交点为M,设=乙7/5=A彳有=乙则()

A.AM=^a+^b+cB.AM=4--c

C.\AM\=VTlD.cos<AM,^B>=

【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：由题意可知，ab=ac=b-c=2x2xcos^=2.

A、B,丽=引+而匠=引+；亚7=丽*+/（而+而）=3五+*石+3故A正确、B不正确：

G网=J（聂+扬+4=Jia24-jb2+c2+ia-64-6•c+a•c=Jl+1+4+1x2+2+2=G

故C正确；

/11

前59

D五

=(-+-+Tn、AMAB5_5V11

\22=5,cos<AMfAB>=^=^=亚T=k故

故答案为：ACD.

【分析】核心是先利用向量线性运算分解宿，再通过数量积公式计算模长与夹角余弦值,结合已知向量的

模和数量积逐一分析选项。

11.已知圆。1：%2+y2+2%=0与圆。2：/+y2-2%—2y—2=0交于力，B两点,则()

A.两圆的公切线有2条

B.48直线方程为2x+y+1=0

C.历引=第

D.动点P(%y)在圆内上,则无2+和-1)2的最大值为迎+1

【答案】A,B,D

【解析】【解答】解:由题意可知。1(-1,0)/=1,O2(1，1)，R=2,

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故|0102|=J(-l-l)24-I2=V5G(1,3)»故两圆相交，公切线有2条，A正确，

22

Ox:x+y2+2x=0与圆。2：d+y-2x-2y—2=0相减可得2x+y+1=0,

故48直线方程为2x+y+1=0,B正确，

。2(1,1)到直线2%+丫+1=0的距离为4=当，故|AB|=2J4-增=等，故C错误，

x2+⑶-1)2可看作是圆。1上的一个点P(x,y)到点8(0,1)的距离的平方，

故|P8|最大值为田。11+厂=鱼+1,D正确，

故答案为：ABD

【分析】本题围绕两圆的位置关系及相关性质展开，需依次分析两圆位置(判断公切线数量)、求公共弦方

程、计算弦长、分析圆上点到定点距离的最值，解题思路是先确定两圆的圆心和半径，通过圆心距判断位置

关系；两圆方程相减得公共弦方程；利用点到直线距离和弦长公式算弦长；借助圆上点到定点距离的最值求

解方法判断.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分).

12.己知直线2%+y-3=0与直线轨+2y-8=0,则它们之间的距离为

【答案】哈

【解析】【解答】解：因为4x+2y-8=0=2%+y-4=0,

,|3-4|居

所以两直线之间的距离为：d=b=^=5.

故答案为：电

【分析】先将两条直线化为X、y系数相同的平行线形式，再应用两平行线间的距离公式计算距离。

13.设直线hx+3y-7=0与直线％：x-y+l=0的交点为P，则P到直线1:x+ay+2-a=0的距离的最

大值为.

【答案】V10

【解析】【解答】解：由广二匕二：，可以得到仁二，故P(l,2),

(X十ay-/—U(y—乙

直线［的方程可整理为：%+2+a(y-1)=0,故直线Z过定点Q(-2,l),

因为P到直线/的距离d<|PQ|,当且仅当I1PQ时等号成立，

故&皿=41+2)2+(2-1)2=何

故答案为：VTo.

【分析】先求出两直线交点P的坐标，再确定直线1过的定点Q,利用点到直线距离的几何意义(距离不超

过两点间距离)求出最大值。

14.已知直线，的方向向量为五一(1,0,2),点4(0,1,1)在直线，上，若点P(1,Q,2)到直线，的距离为4贝IJ

a=.

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【答案】0或2

【解析】【解答】解：由题意得衣=(1,“一1,1)，又元=(1,0,2),

所以而-n=l+04-2=3»\n\=,1+0+4=V5,

所以点P到直线的距离为J/一(而.舐=&+(〃_1)2T=萼

解得a=0或a=2.

故答案为：0或2.

【分析】利用空间点到直线的距离公式，先求出相关向量的数量积、模长，再代入公式建立方程，求解参数

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.已知点8(—2,—1)及圆C:x2+y2+2x+6y=0.

(1)若直线1经过点8,C,求/的方程；

(2)若直线，过点8且截圆C所得的弦长为6,求，的方程.

【答案】(1)解：由题意得。(一2,-1),C(-l,-3),

所以，的斜率k=m二粽=-2,

-2-(-1)

所以，的方程为y+1=-2(x+2),即2x+y+5=0.

(2)解：圆。的标准方程为(》+1)2+(丫+3)2=10,

圆心C(一1,一3),半径r=715，

因为，'撤圆C所得弦长为6,

所以点C到，'的距离为,(4可2_像=1，

当，'的斜率不存在时，/的方程为％=-2,符合题意，

当，的斜率存在时，设/的方程为y+1=k(x+2),HP/cx-y+2/c-l=0,

所以了好=1,解得k=一反，/的方程为3%+4y+10=0,

“'+14

所以，'的方程为3x+4y+10=0或无=-2.

【解析】【分析】(1)先将圆方程化为标准式得到圆心坐标，再用两点间斜率公式求直线斜率，最后用点斜式

得出直线方程。

(2)先根据垂径定理求出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线距离公

式求解直线方程。

(1)由题意得8(—2,—1),C(—1,—3)»

所以/的斜率k=一唇一?=-2,

所以，的方程为y+1=-2(%+2),即2%+y+5=0.

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(2)圆C的标准方程为(X+1)2+(y+3)2=10,

圆心C(—1,—3),半径r=VT0»

因为，猴圆C所得弦长为6,

2

所以点c到，的距离为|(VTo)2-@=1，

当，'的斜率不存在时，『的方程为'=-2,符合题意，

当，'的斜率存在时，设/的方程为y+l=k(x+2),B|J/cx-y+2/c-l=0,

普工=1，解得k=/的方程为3%+4y+10=0,

所以

J/+14

所以f的方程为3%+4y+10=0或无=-2.

16.如图，在四棱锥P-ABC。中，。4，平面力8。。，底面是边长为2的正方形，PA=2,Q为棱PD的中点,

(1)求证：PB〃平面4CQ；

(2)直线PC与平面4CQ所成角的正弦值；

(3)点P到平面力CQ的距离.

【答案】(1)证明：连接B0n4C=0,再连接。0,因为底面48。。是正方形，所以。是8。的中点,

又Q为棱PD的中点，所以。O〃PB,

又OOu平面力CQ,PBC平面4CQ,

所以0B〃平面ACQ.

(2)解：因为PA1平面48C。，底面48CD是正方形，即4814),

故以点A为原点，以向量彳反彳力：万为％y,z轴的方向向量，建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),P(0,0,2),0(0,2,0),8(2,0,0),C(2,2,0)fQ(0,l,l),

故元=(2,2,0),湎=(0,1,1)，PC=(2,2,-2)，

第8页

则(元-n=2x+2y=0

设平面的法向量为无=

4CQ(x,y,z),IAQ-n=y4-z=0

令x=1,则y=—l,z=l,故元=(1,—LI)，

设直线PC与平面ACQ所成角为。(0<6»<^),

所以sin8=\cos(PC,n)\=晶=看翌=%

所以直线尸C与平面4CQ所成角的正弦值为:

(3)解：因为而=(0,0,2),平面4CQ的法向量为五=(1,一1,1),所以点P到平面4CQ的距离为喘3=

|0+0+2|_2、e

【解析】【分析】(1)连接80交力C于。，连接。Q,利用三角形中位线定理得到线线平行，再根据线面平行的

判定定理证明.

(2)建立空间直角坐标系，求出平面力CQ的法向量，再求出直线PC的方向向量，利用向量夹角公式求出线面

角的正弦值.

(3)用点到平面的距离公式，结合平面4CQ的法向量和向量而来计算点P到平面4CQ的距离.

(1)连接BZ)n4c=0,再连接0D,

因为底面4BC0是正方形，所以。是的中点，

又Q为凌PO的中点，所以OD〃PB,

又OOu平面力CQ,P8U平面ACQ,所以P8//平面ACQ.

(2)因为R4平面4B。。，底面48co是正方形，即4BJ.4。，

故以点71为原点，以向量而，而，而为x,y,z轴的方向向量，建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),8(2,0,0),C(2,2,0)fQ(0,l,l)，

故正二(2,2,0),湎=(0,1,1)，PC=(2,2,-2)，

।i，iC/lf-n=2x+2y=0

设平面ACQ的法向量为记=(x,y,z),[AQ-n=y+z=0'

令x=l,则y=—l,z=l,故五=(1,—1,1),

设直线PC与平面所成角为夕(0<0<分

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所以sin。=|cos(PC,n)|=繇=条滑=T

所以直线PC与平面4CQ所成角的正弦值为第

(3)因为而=(0,0,2)，平面4CQ的法向量为诺=(1,一1,1),

所以点P到平面ACQ的距离为粤1=回”引=挚.

|n|733

17.已知圆C过力(4,1),8(0,1),M(2,3)三点,直线/:y=x+2.

(1)求圆C的方程；

(2)求圆C关于直线，对称的圆C的方程；

(3)若P为直线/上的动点，Q为圆C上的动点，。为坐标原点，求|OP|+|PQ|的最小值.

【答案】(1)解：设圆的方程为(x-Q)2+(y-b)2=r2(r>0),代入4(4,1),8(0,1),M(2,3),

((4-a)2+(1-b)2=r2(a=2

则｛(-a)2+(1-b)2=r2,解得b=l,

((2—a)2+(3—b)2=r2\r=2

所以圆C的方程为0-2)2+(y-=4：

(2)解：设C(TH,TI)，

九一1'1=3

用「，解得｛k；，所以C'(T4)，

(十/

又因为对称圆的半径不变，所以。’的方程为(x+I)2+(y-4)2=4：

(3)解：已知如图所示：

因为IOPI十IPQI>|OP|十|PC|-2,

由(2)可知C关于直线/的对称点为C,，

所以|OP|+\PC\=\OP\+|PC|>\OC'\=VI+16=V17,

当且仅当。,P,C'共线时取等号，

所以|OP|+|PQ|>V17-2,即|OP|+|PQ|的最小值为旧-2.

【解析】【分析】(1)设圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数即可得圆的方程；

(2)根据斜率关系和中点关系求解出对称点C'的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆C'的方程即可;

第10页

(3)根据圆外一点到圆上点距离的最值可知|0P|+\PQ\>\0P\+\PC\-2,再利用对称关系将|0P|+|PC|转

化为|OP|+|pc],结合三点共线求最小值即可.

(1)设圆的方程为a-a)2+(y-力)2=r2(r>0),代入4(4,1),8(0,1),M(2,3),

((4-a)2+(1-力尸=r2(a=2

则((-a)2+(1—b)2=r2,解得b=1,

((2-a)2+(3-b)2—r2\r=2

所以圆C的方程为(%-2)2+(y-l)2=4；

(2)设C(m,n),

―-1x]__]

疣小；一,解得匕所以。'(-1,4)，

(~2~=~2~+2

乂因为对称圆的半径不变，

所以C'的方程为(4+I)2+(y-4)2=4；

(3)因为|OP|+\PQ\>\OP\+\PC\-2,

由(2)可知C关于直线/的对称点为C‘，

所以|OP|+\PC\=\OP\+|PC|>\OC'\=所+16=V17,

当且仅当0,P,C'共线时取等号，

所以|OP|+|PQ|>717-2,即|OP|+|PQ|的最小值为“7-2.

18.如图，在长方体力8co-41当。1。1中，AB=BC=4,CJ=2.P为上一动点、,记瓦尸=4瓦乙

(1)求线段|P川的最小值；

(2)当|P*取最小值时，求三棱锥C—4P8的体积;

(3)当力/〃平面力CDi时，求2的值.

【答案】(1)解：建立如图所不的空间直角坐标系，

第11页

则A(4,0,0),%(4,4,2),C(0,4,0),

故小=(-4,0,-2)，

因为瓦?=AB7C=A(-4,0,-2)=(-4A,0,-22)(0<A<1)，

•••P(4-41,4,2-2A),故而=(-41,4,2-24),

则|P4|=J(-4/l)2+42+(2-2/1)2=V2O/I2-8/1+20

—2,542—2a+5—2J5G—/)+

故当"看时，|P/1|取得最小值2母=攀.

5y55

(2)解：|PA|取最小值时，A=|，帝='尻？，则定瓦乙

故VCTPB=^A-CPB=』SACPBMV=5x^S^CB^B'4B=5x5x,BC,AB

141c“<64

=3X5X2X2X4X4=T5-

(3)解：因为。i(0,0,2),4i(4,0,2),

则何=(-4,0,2),AC=(-4,4,0)，币=(-4A,4,一2/1)，

设平面4的法向量为沆=(x,y,z),

故力。1•m=-4x+2z=0,且前,m=-4x+4y=0,

取z=2,则沅=(1,1,2),

由于A/〃平面4。。1时・，故布1.沆，即一4/1+4—42=0,解得＞1=）

乙

【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量表示P点坐标，通过求向量模的最小值得到IP川的最小

值。

（2）先确定P点坐标，求出△CP8的面积，再用三棱锥体积公式计算体积。

（3）求出平面4CD1的法向量，利用线面平行时向量与法向量垂直的关系求解人

（1）建立如图所示的空间宜角坐标系，

第12页

则力(4,0,0),Bi(4,4,2),C(0,4,0),

故瓦"5=(-4,0,-2)，

因为瓦A=XB^C=A(-4A-2)=(-4A,0,-2A)(0<A<1),

P(4-44,4,2-2A),故而=(-4A,4,2-2A),

则|P4|=J(-4A)24-424-(2-2/1)2=V2OA2-8A+20

—2,542—2a+5-2J5(入—+

故当2=5时，|P川取得最小值2恩=生感.

5\55

(2)|PA|取最小值时，A=瓦户瓦乙则定=卷尻乙

KJOO

故VC-APB—VA-CPB=gs^cpB,AB=x^S^CB1B*AB=gx考x3BBi•BC-AB

=1x^xix2x4x4=j^.

(3)因为01(0,0,2),Ai(4,0,2),

则丽=(-4,0,2),AC=(-4,4,0)，A^P=(-4A,4,一2/1)，

设平面4CD的法向量为而=(x,y,z),

故AD；•m=-4x+2z=0,且前♦m=-4x+4y=0，

取z=2,则沅=(1,1,2),

由于4P〃平面ACDi时，故中_L沆，即一42+4-42=0,解得4=1

19.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼・闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路

网，其中线段伊网是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿

墙”而过，所以在“曼哈顿几何''中，这两点最短距离用d(4B)表示，又称“曼哈顿距离“，即d(4,B)=|4C|+

\CB\,因此“曼哈顿两点间距离公式”:若4(%,力),8(如丫2)，则d(48)=%+仅2-%1

\D\9

(1)①点4(3,5),3(2,一)),求d(4B)的值.

②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程.

(2)已知点8(1,0),直线2%—y+2=0,求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；

(3)设三维空间4个点为4=(孙%2)，i=1,2,3,4,且知％,zte{04}.设其中所有两点“曼哈顿距

离”的平均值即2,求2最大值，并列举最值成立时的一组坐标.

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【答案】(1)解：①d(48)=|3-2|+|5+1|=7②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(%,y),则|%-0|+

|y-0|=1,即氏|十\y\=1.

(2)解:设直线2》-y+2=0上任意一点坐标为C(%i，2/+2),则d(C,B)=|4一1|+|2勺+2|,

当时，d(C,B)=此时d(C,B)>2；

当一1WX1W1时，d(C,B)=/+3,此时d(C,B)N2；

当%i>l时,d(C,8)=