2025年北京某中学高二（上）期末数学试卷含答案

2025北京北师大实验中学高二（上）期末

数学

一、单选题：本大题共10小题，共50分。

I.在空间直角坐标系。一xyz中，点M（2,-3,1）关于原点对称的点的坐标为（）

A.(―2,—3,—l)B.(2,3,—1)C.(—2,3,1)D.(—2,3,-1)

2.己知直线，的一个方向向量为则直线1的倾斜角为（）

A.45°B.90°C.120°D.135°

3.抛物线y2=12%的焦点为凡点P在此抛物线.匕|PF|=6,则点P的横坐标为()

A.2B.3C.4D.6

4.圆(x-3)2+(y+2>=1与圆-7)2+(y—I)2=16的位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.内含

5.在（无一福1的展开式中，常数项为（）

A.60B.15C.-60D.-15

6.某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1

名同学，则不同的安排方法种数为（）

A.6B.12C.24D.36

7.已知正四棱锥的高为4,棱A8的长为2,点，为侧棱PC上的一动点，则△H80面积的取小值为

A./2B.铮C.苧D.浮

JO

8.已知直线，:Cx+y-4=0,[wlr：z2+y2=r2（r＞0）,若直线，上存在两点4,3,圆r上存在点C,使得

\AB\-2,且4ACS-90°,则厂的取值范围是（）

A.[1,3]B.[2,3]C」l,+oo）D.[2,+oo）

9.已知直线的斜率分别为均,也，倾斜角分别为的,。2,则“cosSi-。2）＜0"是"也＜0"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线为2+于=2围成的平面区域的直

径为（）

A.V32B.3C.2VID.4

二、填空题：本大题共5小题，共25分。

11.如图，直线上x—2y+2=0过椭圆的左焦点Fi和一个顶点8,该椭圆的离心率为

12.圆d+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a的值为

4a

13.设(2%—I)=+。3炉+G2%2+a^x+a0,则由+a2+。3+4=.

14.双曲线M:%2一1=1的渐近线方程为；若M与圆0:炉+产=/(厂＞0)交于48,&。四点，且这

四个点恰为正方形的四个顶点，则r=.

15.如图，在棱长为2的正方体力BCD-431GD1中，点£为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，且满

足平面0JL平面给出下列四个结论：

①△44』的面积的最大值为港：

②满足△/M1P的面积为2的点P有且仅有4个；

③点p可能为eg的中点；

⑷线段力P的最大值为3.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名.

(1)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？

(2)从6名中选出3人参加某公益活动.

⑴共有多少种不同的选择方法？

(〃)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？

17.己知4(2,4),。为坐标原点，圆C为“08的外接圆.

(1)求圆C的标准方程：

(2)过原点的直线Z被圆C截得的弦长为3V7,求直线，的方程.

18.如图，在三棱柱ABC-481cl中,S1平面AB&4C18C,AC=8C=2,Cg=3,点D,E分别在棱

和棱eg上，且力。=1,CE=2,M为棱4%的中点.

(2)求二面角Q-B1E-。的余弦值.

19.已知椭圆各《=1(。>6>0)的右焦点为r(1,0),离心率为苧，直线/过点F且不平行于坐标轴，I与C

有两个交点48,线段48的中点为M.

(1)求椭圆C的方程；

(2)延长线段0M与椭圆C交于点P,若四边形0AP8为平行四边形，求此时直线1的斜率.

20.如图，正方体48co-为当。1%的棱长为2,E为BC的中点点M在上.再从下列三个条件中选择一个

作为已知，使点M唯一确定，并解答问题.

条件②：EMLAD,

条件③：EM〃平面CDDiC「

(1)求证：M为的中点；

(2)求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离.

21.已知椭圆E:各餐=Ka>b>0)的离心率为尚以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设A为椭圆E的右顶点，8为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于C,。两点(C在第三象限)，P是椭圆

上的动点(不与顶点重合)，直线AP,BP分别交直线I于点E,F,记丽=4记;而=〃无，求证：入+〃为定值.

参考答案

一、单选题：本大题共10小题，共50分。

1.D

2.D

3.B

4.C

5.A

6.D

1.B

8.C

9/

10.8

二、填空题：本大题共5小题，共25分。

11二

12-士

13.0

14.y=±\l~3x\[3

15.①④

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(1)男生先排有川种，女生插空有展种，

所以共有川展=480种不同排法.

(2)(i)6名中选出3人共有底=20种方法；

(")6名中选出3名男生有以=4种方法，

所以至少有1位女生入选，共有20-4=16种不同的选择方法.

17.解：(1)设4/108的外接圆的方程为好+y2+ox++尸二0,

-A,B,0均在圆C上，

(44-16+2D+4E+F=0

1+1-D+E+F=O,

(F=0

(D=-2

解得k=—4,

(F=0

所以圆C的方程为%2+y2-2x-4y=0,

所以圆C的标准方程为(x-l)2+(y-2)2=5；

(H)由(1)知圆心C(l,2),半径为6,

因为直线，被圆C截得的弦长为3方，

所以点C到直线/的距离为d=J5—(当)2=母，

当直线I的斜率存在时，设直线［的方程为y=kx,即kx-y=O,

则上*=苧，两边同时平方得与第1=］解得攵=1或上=7,

V1+k221+M2

当直线，的斜率不存在时，不满足条件，

所以直线］的方程为％—y=0或7%一y=0.

18.(1)由于eg1CA,CC11CB,AC1BC,故建立如图所示的空间直角坐标系，则

4(2,0,3),Bi(0,2,3),g(0,0,3),。(2,0,1),E(0,0,2),,

C[M=(1,1,0),=(2,-2,-2),

故亦-B[D=(1,1,0)­(2,-2,-2)=2-2+0=0,

故用71瓦方，因此GM_LB】D

(2)由于4cJ•平面BCg4,故平面Ci/E的一个法向量为沅=(1,0,0),

设平面&ED的一个法向量为元={x,y,z),

率=(0,-2,-1),第=(2,-2,-2),

他.元=一2丫一z=0

令z=2,则)=(1,-1,2),

{B1D-n=2x—2y—2z=0

设二面角G-BiE—D的平面角为氏由图可知8为钝角,

故cos0=-|cosm,n|,a=一平

19.(1)由题意可知，c=l,。=(=竽，

•••a2=/j2+c2,

•••a=V'2,b=1,

二椎圆的方程为S+y2=i.

(2)设直线1的方程为y=k(x—l)(kH0),力(打,力)，F(x2,y2),

(y=k(x-1)

联立,消去y得，(2k2+l)x2-4k2x+2k2-2=0,

匕+y?=i

则勺+冷=%，

若四边形。4P8为平行四边形，则砺+砺=而，设P(%3，y3)

4kzX-2fc

修=勺+小=而行丫3=yi+力=kQi+x2)-2k=翦T

•••点P在椭圆上，

解得必=)即k=±苧,

乙乙

・•.当四边形。力P8为平行四边形时，直线总勺斜率为k=±苧.

20.(1)选条件①：由=

根据正方体4BCD—&BiCWi的对称性，此时点M为8Di上的任意一点，所以不成立;

选条件②：EMLAD,

连接CD1，在正方体力BCD-&B1GD1中，由BC1平面CDDiCi，

因为CD】u平面CDD[C],所以BClCDi，

又因为EM_L/O,AD//BC,所以EM_LAC,

因为EM,。6u平面BCD〉所以EM〃CD>

又因为E为8c的中点，所以M为3D1的中点.

选择条件③：EM〃平面CDDiG，

连接CDi，因为EM〃平面COD]%,EMu平面8CDi，

且平面BCD]n平面COOig=CDV月『以EM//C01，

因为E为8C的中点，所以M为BD]的中点.

AB

(2)在正方体/IBCD-AiBigDi中，DAfDC,/)/两两互相垂直，建立空间直角坐标系,

如图所示，则0(0,0,0),C(0,2,0),仇L2,0),M(l,l,l),

所以方二(0,2,0),DM=(1,1,1),0?=(0,-1,1),

设平面MCD的法向量为沅=(%y,z),则.?£='二°,

令％=1,则y=0,z=—1.于是沅=(1,0,—1),

设直线EM与平面MC。所成的角为。，则sinO=\cosm,EM\=■^高=

所以直线EM与平面MCD所成角的大小为30。，

点E到平面MCD的距离为d=\EMsin。=<2xsin30°=苧.

21.(1)由椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4,得^2。-2匕=2必=4,则助=2,

由F的高•心率为苧，得打~研—¥，则a=2b,解得a=2,b=1,

a

所以椭圆E的标准方程为?+V=1.

(2)由(1)知,4(2,0),8(0,1),

9+y2=i

x=—>/-2X{2/n2

由,解得4或77,则c(一V"!,一9),。(*/7,宁),