2027年高考数学一轮复习：函数的概念及其表示

第二章函数

§2.1函数的概念及其表示

【课标要求】1.了解函数的含义2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解

析法）表示函数3了解简单的分段函数，并会简单的应用.

--------------------------落实主干知识--------------------------

1.函数的概念

一般地，设人8是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系工在集合8

中都有唯•确定的数V和它对应,那么就称1A-B为从集合4到集合B的一个函数，记作），=«r）,x£A.

2.函数的三要素

（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

（2）如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同.那么这两

个函数是同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法为解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函

数.

3自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“X”）

（1）若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数是同一个函数.（X）

（2）任何一个函数都可以用图象法表示.（X）

（3）直线y=a与函数y=/U）的图象可以有多个交点.（7）

°’的定义域为R・（、）

2.以下图形中，不是函数图象的是（）

答案A

解析根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存在一个自变量对应

两个函数值，所以A不是函数图象.

3.（多选）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（）

A尸辐与产层

与y=（.L1产

C.y=\/^与y=x

D.y=l与y=x°

答案BCD

解析对于A选项,），=偿的定义域是［—3,3）,y=层的定义域是［—3,3）,并且送=后|,所以两个函数

的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；

对于B选项，两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数；

对于C选项j=m=|x|,所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数;

对于D选项.y=l的定义域是&），=/的定义域是{HrWO},两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数.

4.已知函数以尸编:耳”则加2））=

答案1

解析因为八-2)=(一2尸=4,所以火/(-2))=/(4)=k)g44=l.

日微点提醒

防范四个易错点

(1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.

(2)用来元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变帚的范围.

(3加9(文))的定义域是指x的取值范围而不是以幻的取值范围.

(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.

---------------------------探究核心题型----------------------------

题型一函数的概念

例1(1)(多选)下列选项中正确的是()

A.函数./u)=±-y的定义域为|。,+8)

B.函数,/U)的图象与y轴最多有一个交点

c.函数＞=?言与函数y=x-1表示同一个函数

D.对于任何一个函数，如果因变量)，的值不同，则自变量x的值一定不同

答案ABD

解析对于A,由题意卜+1工°，解得x20,A正确；

对于B,由函数的定义知，函数图象至多与,，轴有一个交点,B正确；

对于©,函数产常的定义域为(-8,-1)5—1,+8),函数产工一1的定义域为R,故这两个函数不是同一

个函数C错误；

对于D,函数中一个x值只能对应一个y值.如果y值不同，则x的直一定不同,D正确.

⑵若求［数/U)的定义域为(1,3),则函数12工)的定义域为.

答案(然)

解析若函数府)的定义域为(1,3),

则在式2丫)中2x£(l,3).解得

思维升华函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法

(I)函数概念中有两个要求：①41是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合8中有且

只有一个元素与之对应.

(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.

跟踪训练1(1)函数«[)=卜坨。一1)的定义域为()

X-2

A.(l,+8)B.(I,2)U(2,+OO)

C.(-00,I)D.(0,2)U(2,4-00)

答案B

解析因为_/U)=」、+In(x—l),

X—2

解得。1且x#2,

所以危)的定义域为(l,2)U(2,+8).

(2)(多选)下列命题中是假命题的是()

A.函数y=2x(x£N)的图象是一条直线

B./(.¥)=Vx-3+42-x是函数

C.若函数於)的定义域为(一1,2),贝J函数於+1)的定义域为(0,3)

DJ(x)=x+1和g⑺=/+3是同一个函数

答案ABC

解析对于A,因为函数)，=2x(x£N)的定义域为N,所以其图象是由离散的点(整点.横坐标和纵坐标都是整

数)组成的,A错误；

对于B,因为要使后耳与^^有意义，则｛：二，不等式组无解，所以由函数的定义可得负%)=7^1+

不是函数,B错误；

对于C,由於)的定义域为(-1,2)可得一V+1V2,即一24<1、故人「H)的定义域为(-2,1),C错误；

对于D,两函数的定义域都是(一8,o)u(O,+8).且对应关系相同.故这两个函数是同一个函数,D正确.

题型二函数的解析式

例2⑴已知川一sinx)=cos%,求於)的解析式；

(2)已知/(/+*)=_?+*求於)的解析式；

(3)已知是一次函数且3/U+1)—4U-1)=2%+17,求/U)的解析式；

(4)若对任意实数x,均有./U)—2八一处=94+2,求儿1)的解析式.

解⑴(换元法)设1—sinx=rje[0,2],

贝Us\nx=\—t.

,.*7(1—sinx)=cos2x=1—sin2x,

••・M=1—(I)2=2f00,2].

即fix)=2x—x2(0^：x^：2).

(2)(配凑法)f(一+点)=个+2=(x2+或)2-2,

又/+白》2lx2--T=2,

X2\]X2

当且仅当即时等号成立.

X2x=±\

设+妥则设2,・••川)=1一2(22),

，./U)=f—2。22).

(3)(待定系数法)=/1)是一次函数，

可设jV)=如+伙aW0),

.・・3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+/=2x+17,

即ax+(5a+Z?)=2x4-17,

a=2,E」Q=2,

・•・解得

.5a+b=17,16=7.

・；/(x)=2x+7(x£R).

(4)(解方程组法),.7U)—纽—x)=9叶2,©

・•・丁一丁一兆)=9(一外+2,②

由①+2X②得-3/U)=-9x+6,

•\ZW=3x—2(x£R).

思维升华函数解析式的求法

(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.

跟踪训练2(多选)下列命题中正确的有()

A.若一次函数於)满足欢外)=4汇+3,则函数於)的解析式为Xx)=2x4-1

B.若八3v)=x2+4x,则函数於)的定义域为(0,+8)

C.若f(%-£)=/一/，则函数於)的解析式为J(x)=V+3x

D.若函数满足关系式/U)+?/(J=3x,则、/U)=：一工

答案BCD

解析对于A,设火.丫)=丘+6,

则AA-r))=k(kx+b)+h=lcx+kb+b,

因为J"U))=4X+3,

%2=4,

所以

、kb+b=3,

I，或［仁-2,

解得

(b=lU=-3,

故函数7U）的解析式为7U）=2x+l或凡1）二一左一3人错误；

对于B,令f=31则X=log3«/>0),

则刖=（log3+41og3”>0,

故函数的定义域为（0,+8）,B正确；

对于C/x-5）=丁一点=&T）&+1+专）=（x-即1-丁+4

且x工的取值范围是R,

X

所以80="/+3）=丁+3入<正确；

对于D,由危）+40=3》,

得花）+2於）W，

联立解得«T）=：-KD正确.

题型三分段函数

X2—2VXV1

例3（1）（多选）已知函数/u）=Ze一一’则下列关于函数yu）的结论正确的是（）

-x+2,x>1,

A.yU）的定义域为R

BJ（x）的值域为（―8,4］

C.若曲）=2,则工的值是一企

D./x）<l的解集为（一1,1）

答案BC

解析函数氏0=/2'［：，"：1'的定义域是［-2,+8）,故人错误；

l-x+2,x>1

当一2Wx<l时1Ax）=f,值域为［0,4］,当工21时十］）=一4+2,值域为（一81］,故人处的值域为（一8川,故B正确；

当时，令人幻=-x+2=2,无解，当一2<x<l时，令/（x）=『=2,解得x=一近,故C正确；

当一20<1时，令解得工£(一1」),当心1时令")=一1+2<1,解得x£(l,+8),故心)<1的解集

为(一l,l)U(l,+8),故D错误.

(2)定义max{a,6}=:?设函数,人工)=X+l,g(x)=(x+1R记函数F(x)=max伏外状(工)},旦函数F(x)在

区间［〃?,〃］内的值域为［0,1］,则〃一”2的最大值为()

37

A.lB.-C.-D.2

24

答案D

解析令於)2g(x),即x+11)2.解得一1WxWO；

令府)<以幻,即x+I<(x+1)2,解得X<-\或x>0,

所以尸(x)=max伏x),g(x)}=(x+l,-l<%<0,

l(x+l)2,x>0,

内(X)的图象如图所示，

又F(O)=F(-2)=1,F(-I)=o,

要使函数月(用在区间阿，川内的值域为［0.1］,

当〃=0时,一—1；

当m=-2时,一1W/TWO,

则当n=0,m=—2时,〃一/〃取得最大值2.

思维升华分段函数求值问题的解题思路

(1)求函数值：当出现曲幻)的形式对，应从内到外依次求值.

⑵求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上.然后求出相应自变量的值.切记要代入检

验.

跟踪训练3(1)已知函数<

则伏r)=2”是“x=T”成立的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当府)=2时,若后0,则有2一*=2.解得尸一1;若心＞0,则有In尸2、解得x=e2.

即由式x)=2可得x=—1或x=e2,不一定能推出x=-l,故“人幻=2”不是。=一1”成立的充分条件；

反之.当x=-1时.代入解析式可得人-1)=2.即“贝x)=2”是“I=-1”成立的必要条件.

综上，“£丫)=2”是“x=-1”成立的必要不充分条件.

(2)(多选)(2024・朝阳模拟)函数I称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的

是()

A.D(D(2))=D(D(V2))

BQ(x)的值域与函数人x)=粤3的值域相同

c.oa)HQ(—x)

D.对任意实数苍都有D(x+l)=D(x)

答案ABD

解析对于A,根据狄利克雷函数定义可知。(。(2))=。(1)=1,。(。(&))=。(0)=1,所以A正碓；

对于B,易知。⑴的值域为｛0』｝,函数凡¥)=月三的定义域为(一8,0)U(0,+8),

当x£(—8,0)时次外=号产=0；当工£(0,+8)时,信)=要^=1.即函数府)的值域为｛0,1｝,所以B正

确；

对于C,若“EQ,则一则。(乃=。(一工)=1.若工£鼠(i,则一工£屋(^则。&)=。(一幻=(),综上可得。(\)=

。(一,0所以C错误；

对于D,当x(=Q时x+1在Q,此时O(x+l)=£)(x)=l；

当xG[RQ时J+1G[RQ,此时。*+l)=Q(x)=0,所以D正确.

课时精练

[分值：84分]

ID知识过关

一、单项选择趣(每小题5分，共40分)

1.(2025・西安模拟)已知函数段尸冷的定义域为A,函数g(x)=loggx4,4]的值域为B,则AM等于()

A.(0,2)B.(0,2]

C.(一巴4]D.(-1,4]

答案B

解析=柠，

则号20,「・x(x-4)W0且xWO,

可得A={x|0<xW4},g(x)的值域B={x\—1

・"「8={必)<启2}.

2•已知"啮M。则」(f(T)等于()

A.lB.2C.2V2D.4

答案B

解析由题意，得/(一为=V2sin(-Y)+3=V2sin：+3=&X曰+3=4,

故了(,(-^))=^4)=log24=2,

3.已知/U+l)=2x,且/%)=4,则川等于()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析由题意知y(x+l)=2r，且&〃)=4,

用x~\代换x厕/W=2(A—1),

即K"t)=2(zw—1)=4,m=3.

4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒

定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为〃，注水时间为/,则下面选项中最符

合〃关于，的函数图象的是()

答案A

解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加的由快变慢,

中间增加的最慢.最后增加的由慢变快,由图可知选项A符合.

5.记无理数e=2.7182…5904523536…小数点后第x位上的数字是乂则)，是x的函数，记作)=%),定义域

为M值域为M则下列说法正确的是()

A<4)=8

B.x不是y的函数

C.NGM

D.y=/(x)是周期函数

答案B

解析由题意可得M=N：N={0,L2,3,4,5,6,7,8,9}JjWN不是M的子集,C不正确；

无理数e小数点后第4位上的数字为2,故_/(4)=2,A不正确；

当)=2时.对应的x的值不是唯一确定的，根据函数的定义可知x不是)，的函数.B正确；

由于e为无理数，所以)，=/")不是周期函数,D不正确.

—2%%>0

6.己知'-'实数。满足儿/)勺(一〃),则。的取值范围是()

U2+2X,X<0,

A.(—8,-2)U(0,2)

B.(-3°,-2)U(2,+°°)

C.(-2,0)U(0,2)

D.(—2,0)U(2,+8)

答案D

解析由题意可知MW0.

当«<0时<4)=4+24十一0=一1一2〃，

所以由火〃)勺(一/可得a1-\-2a<—a1—2a,

即/+2。<0,解得一2<。<0,

当a>\)时J(a)=—/+2a次~a)=a~—2a,

所以由/«)</(—a)可得一a?+2a<a2—2a,

即且-2a>0,解得。>2,

所以“的取值范围是(一2,())口(2,+8).

7.设函数朋={落1；：：上1,若/4)=/+1),则/0等于()

A.-B.-C.2D.6

42

答案D

解析易得府)在(0,1)和[1,+8)上单调递增.

，0<a<1,：.j{a}=Va,：.f[a+1)=2a,

由、火〃)=<。+1)得G=2〃，

解得"=(或。=0(舍去)，

则/&)=火4)=6.

工2+7XY>0

8.设函数yw=,'一’若以。))、3,则实数。的取值范围是()

(-X2+2X,X<0,

AjV2-l,4-oo)B.(-°°,-V2-i]

C.[-3,l]D.[l,+oo)

答案A

解析因为於)=1产，％NO,

(-X2+2X,X<0.

令人〃)=f,则欧。))23可化为加23,

当彦0时j+2后3,解得得1(负值舍去)，即火《)21；

当z<0时,一产+2/23,即»—2/+3或0,

而—Bna-a+ZX).故上述不等式无解.

综上式1,

若〃20,则4+2a21,解得白力企―1(负值舍去)；

若〃<0,则一/+2代1,解得。=1(舍去)，

综上，。力四一1.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.下列说法正确的是()

A：/U)=|x|®Q)=m表示同一个函数

B.y=Jl+x71-x与),=>/1一%2表示同一个函数

C.若函数;U)的定义域为［0,2］,则函数J(2r)的定义域为［0,2］

D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素

答案ABD

解析/)=/=/故/U)与e⑺有相同的定义域及对应关系.故表示同一个函数.故A正确；

y=J(l+x)(l-％)二"次的定义域需满足解得一1WXW1J=0匚淳的定义

域需满足1一丁小().解得一iWxWL故两函数有相同的定义域及对应关系.故表示同一个函数，故B正确；

函数汽力的定义域为［0,2］,由0W2.xW2.得OWxWl,则函数次〃)的定义域为［0,1］,故C错误；

由函数的定义知,若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确.

10.已知函数.*4+1)=4+2《，则()

A«r)=f-l(xWR)

BJU)的最小值为一1

。/(2*—3)的定义域为［2,+8)

DyQ)的值域为［0,+8)

答案CD

解析依题意次G+l)=(y)2+2我=(4+1)2—1,则次入)=/-错误；

当时<幻20,当且仅当x=1取等号,B错误；

在y（2v-3）中2K—321,解得因此,人左一3）的定义域为2+8）,C正确；

显然fQ）=9-1,O4W1,于是叠£[1,+8）,因此f（J的值域为Q+8）,D正确.

11.（2024・南阳模拟）黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定

化x=P,p,q6N"/为既约真分数，

义是：&x）=卜"q（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结

（o,x=o,l或（0,1）上的无理数

论正确的是（）

MD-i

B.黎曼函数的定义域为[0,1]

C.黎曼函数的最大值为

D.若危）是奇函数，且是周期为2的周期函数，当.go.l]时抬尸R（x）,则/僵）+./（原+6）三

答案BC

解析磴）=喔）=如错误；

因为pq£N丁是既约真分数.工=为』或（0』）上的无理数，所以黎曼函数的定义域为[0,1],B正确;

Qq

又〃,q£N*,胪既约真分数.所以押最大值为T，C正确；

因为式幻是奇函数、并且是以2为周期的周期函数/（?）=/（18-§=/（一3=一/（3=—/区原+6）=

心②=/（4匹-6）=一“6-4或）=0,所以/得）+小/豆+6）=—1,D错误.

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.函数7U）=需的定义域为.

答案（0,1）U（1,2]

解析要使函数./U）有意义，

2-x>0,

则Inx装0,解得0<x<2且xX],

x>0,

故函数段）的定义域为（0,l）U（l,2].

13.（2025•昆明模拟）已知函数次VT:1）=x+2,若火。）=4,则a=.

答案1

解析令—1=〃20,

则l(/20VW=»+3,

故仙)=/+3=4(420)解得a=\

14.已知函数/U)=2：+1,“<L则/(/(；))=______；若凡则〃的取值范围是________.

U,x>1,