专项05 平行线的性质-专项训练

平行线的性质-专题训练

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（铁西区期末）如图，AB_LAE于点A,AB//CD,ZCAE=42°,则NACO=（）

A.112°B.122,C.132°D.142°

2.（长春期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若Nl=60°15',则N2的大小为（）

3.（道外区期末）如图，若直线八〃/2,则下列各式成立的是（）

A.Z1=Z2B.Z4=Z5C.N2+N5=180°D.Z1+Z3=I8O°

4.（大连一模）将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点小C分别落在直线a、b上,若

a//b,Zl=62°,则N2的度数为（）

5.（涕阳市期末）如图，〃〃儿c〃力则图中与/I互补的角有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（汉阳区期末）如图，已知A8〃C。,Zl=113°,N2=63‘,则NC的度数是（）

C.50°D.60°

7.（肇州县期末）如果NA和N3的两边分别平行,那么/A和N8的关系是（）

A.相等B.互余或互补C.互补D.相等或互补

8.（江汉区月考）沿某一方向行驶的汽车经过两次拐穹后与开始行驶的方向正好相反，若汽车第一次是右

拐40°,则第二次应该是（）

A.左拐40°B.左拐50°C.左拐140°D.右拐140°

9.（万州区校级期中）如图，直线AB〃CQ,ZC=40°,NE为直角，则N1等于（）

130’C.135°D.120°

10.（诸暨市期中）如图，已知直线/交直线。于4,8两点，且。〃乩E是。上的点，/是〃上的点,

满足NDBFqNABF,则N4Q8的度数罡（）

C.60°D.无法确定

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分,共24分）请把答案直接填写在横线上

口.（道里区期末）如图,。〃〃，直角三角板直角顶点在直线〃上.已知Nl=50°,则/2的度数为度.

b

1

12.（道外区期末）在同一平面内，N4与N8的两边分别平行，若NA=50°,则N8的度数为.

13.（肇州县期末）如图，一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系

没有发生变化，若Nl=75°,则N2的大小是,

已知4B〃CO,Zl：Z2：Z3=l：2：3,则NE8A的度数为

15.（曹县二模）如图，将一个矩形纸片沿折叠，若N/1BC=24°,则NACO的度数为

16.（安徽一模）如图，a//b,Z2=95°,Z3=15O°,则N1的度数是

17.（上虞区期末）如图，已知4B〃C。，ZAFC=\20°,/EAF=g/EAB,ZECF=^ZECD,则N4EC

=度.

18.（长春期末）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知48〃

CD,ZBAE=92°,ZDCE=115°,则NE的度数是°.

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（市北区期末）按逻辑填写步骤和理由

如图，。〃力，点A在直线。上，点B、C在直线力上，且84_LC4,点。在线段8c上，连接A。，且

*：BA±CA（已知）

AZBAC=Z2+Z3=90°（①）

VZ1+ZBAC+Z4=18O°（立角的定义）

/.Zl+Z4=180o-ZBAC=180°-90°=90°

〈AC平分（已知）

:.N1=@（③）

・・・N3=N4（®）

*：a//b（已知）

AZ4=Z5（⑤）

/.Z3=Z5（®）

20.（肇州县期末）如图，将一张上、下两边平行（即A8〃C。）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕.

（1）试说明N1=N2；

（2）已知N2=40°,求/BE/的度数.

21.（灵山县期中）如图，A。平分NCAE,AD//BC,AB=2.求AC的长.

ZA+ZACD+ZD=360°.（请你至少使用两种方法证明）

23.（海淀区校级期末）如图1,AB//CD,在AB、内有一条折线EPF.

(1)求证：NAEP+NCFP=NEPF；

<2）在图2中，画N8勿的三分线与N。尸。的平分线，两条角平分线交于点Q,请你补全图形，试探

索NEP”与NEQ/之间的关系，并证明你的结论;

（3）在（2）的条件下，已知NBEP和/。尸尸均为钝角，点G在直线A8、C。之间，目.满足/

1

BEP，NDFG=兀NDFP,（其中〃为常数且〃>I）,直接写出NEG产与N律产的数量关系.

图1图2

24.（道里区期末）已知，AB〃CD,点E在。。上，点G,广在A8上，点”在A8,CO之间，连接尸E,

EH,HG,ZAGH=ZFED,FELHE,垂足为E.

（1）如图1,求证：HG1HE；

（2）如图2,GM平分/"GE,EM平分NHED,GM,EM交于点M,求证：NGHE=2NGME；

(3)如图3,在(2)的条件下，FK平分NAFE交CD于点K,若NKFE；ZMG//=13：5,求N"ED

的度数.

平行线的性质-专题训练（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（铁西区期末）如图，AB_LAE于点A,AB//CD,ZCAE=42°,则NACO=（）

A.112°B.122,C.132°D.142°

【分析】直接利用平行线的性质结合垂直定义得出N8AC度数以及NACO的度数.

【解析】,：ABLAE,ZCAE=42°,

・・・N84C=90°-42°=48°,

•:AB"CD,

・・・N84C+NACO=180°,

••・NACQ=132°.

故选：C.

2.（长春期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若Nl=6（）°15',则N2的大小为（）

A.60°\5'B.39°45'C.29°85'D.29°45'

【分析】根据平行线的性质得出/3,进而利用互余解答即可.

【解析】如图,

由直尺两边平行，可得：Zl=Z3=60°15,,

・・・N2=90°-Z3=90°-60°15'=29°45',

故选：D.

3.（道外区期末）如图，若直线人〃/2,则下列各式成立的是（）

A.Z1=Z2B.Z4=Z5C.N2+N5=180°D,Zl+Z3=180t>

【分析】根据平行线的性质判断即可.

【解析】•・•直线八〃3

.,.Zl+Z3=180°,Z2+Z4=180°,

故选：D.

4.（大连一模）将一块直角三角尺4BC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线队。上，若

a"b,Zl=62°,则N2的度数为（）

【分析】根据平行线的性质得出N3=N1,进而利用互余解答即可.

【解析】如图，

.-.Z1=Z3=62O,

VZ2+Z3=90°,

.\Z2=90°-Z3=90°-62°=28°,

故选：A.

5.（滦阳市期末）如图,a//b,c//d,则图中与N1互补的角有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据平行线的性质解答即可.

【解析】

'：a//b,c//d,

AZ2=Z3,Zl+Z2=180°,

.•.Zl+Z3=180n,

VZ3=Z4,Z2=Z5,

.*.Zl+Z4=180°,Zl+Z5=180°,

故选：D.

6.（汉阳区期末）如图，已知N1=U3°,N2=63‘则NC的度数是（）

C.50°D.60°

【分析】根据平•行线的性质和三角形外角性质解答即可.

【解析】t：AB//CDt

：.Z\=ZFGD=\\y,

：.ZC=ZFGD-Z2=113°-63°=50°,

故选：C.

7.（肇州县期末）如果NA和N8的两边分别平行，那么/A和N3的关系是（）

A.相等B.互余或互补C.互补D.相等或互补

【分析】本题主要利用两宜线平行，同位角相等以及同旁内用互补作答.

t解析】如图知/A和的关系是相等或互补.

相等互补

故选：D.

8.（江汉区月考）沿某一方向行驶的汽车经过两次拐弯后与开始行驶的方向正好相反，若汽车第一次是右

拐40°,则第二次应该是（）

A.左拐40°B.左拐50°C.左拐140°D.右拐140°

【分析】由直线八〃直线3利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出N2的度数，再结合对顶角相

等可得出N3的度数，进而可得出第二次是右拐140°.

【解析】依照题意画出图形，如图所示.

•・•直线/】〃直线/2,

.e.Z1+Z2=180o,

.\Z2=180°-Zl=180°-40°=140°,

.\Z3=Z2=l40o,

・•・第二次是右拐140°.

故选：D.

9.（万州区校级期中）如图，直线AB〃C7）,ZC=40°,NE为直角，则N1等于（）

C.135°D.120°

【分析】根据平行线的性质，可以得到N2的度数，再根据三角形的外角和内角的关系，即可得到N1

的度数，本题得以解决.

【解析】延长CE交4B于点凡如右图所示,

*：AB//CD,ZC=40°,

.*.ZC=Z2=40°,

VZAEF=90°,

.,.Zl=ZAEF+Z2=90°+40°=130°,

10.（诸暨市期中）如图，己知直线/交直线a,于A,8两点，且。〃4E是。上的点，”是〃上的点,

满足ND4E="NB4E,ZDBF=^ZABF,则NAOB的度数是()

C.60°D.无法确定

【分析】根据平行线的性质求出NE4B+NABF=180°,根据ND4E=和/。8尸=；乙钻尸求出

ND48+NABO=135°,根据三角形内角和定理求出即可.

【解析】•:a"b,

・・・/£48+乙郎=180°,

11

-ZDAE=^BAE,NDBF=*ABF,

AZDAB+ZA13D=x!80°=135°,

••・NAQ8=180°-(ZDAB+ZABD)=180°-135°=45°,

故选:A.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（道里区期末）如图，a//b,直角三角板直角顶点在直线”上.已知Nl=50°,则N2的度数为40

度.

b

【分析】先由余角的定义求出N3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论.

VZ1+Z3=9O°,

・・・N3=90°-Zl=90°-50°=40°,

'：a//b,

/.Z2=Z3=40°,

故答案为：40.

12.（道外区期末）在同一平面内，/A与的两边分别平行，若4=50°，则NN的度数为50或130°.

【分析】由与的两边分别平行，可得NA=N8或N4+N4=180。，继而求得答案.

【解析】TN八与Nb的两边分别平行，

・・・NA=NB或NA+N8=180°,

VZA=50°,

.\ZB=50o，或NB=1800-NA=180°-50°=130°.

故答案为：50或130.

13.（肇州县期末）如图，一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系

没有发生变化，若Nl=75°,则N2的大小是105°.

【分析】先根据AO〃8C求出N3的度数，再根据A8〃C。即可得出结论.

【解析】如图，・・・AO〃BC,Zl=75°,

.\Z3=Z1=75O,

・；AB〃CD,

・・・N2=180°-Z3=180°-75°=105°.

14.（松北区期末）如图，己知人O〃C。，ZhZ2tZ3=l：2：3,则NER4的度数为72'

【分析】设Nl=£,N2=2Z,/3=3x°,根据平行线的性质得出/2+N3=180°,推出方程2x+3x

=180,求出x即可.

【解析】VZ1：Z2：Z3=l：2：3,

，设Nl=£,Z2=2x°,Z3=3x°,

'：AB//CD,

，N2+N3=180°,

/.2AM-3X-180,

・・・x=36,

即Nl=36°,Z2=72°,N3=108°,

•••/£BA=180°-Z1-Z2=180°-36°-72°=72°,

故答案为：72°.

15.（曹县二模）如图，将一个矩形纸片沿BC折叠，若NABC=24。，则NACO的度数为」2^.

【分析】根据平行线的性质可得NABC=N1=24°,根据折叠可得N2=24°,然后再算/ACO的度

数即可.

【解析】•:AB//CD,

AZABC=Z\=24°,

由折叠得：Z1=Z2=24°,

AZACD=180°-24°-24°=132°,

故答案为：132°.

16.（安徽一模）如图，a"b,N2=95°,N3=150°,则N1的度数是一115°

【分析】过点。作CO〃a,it而利用平行线的性质解答即可.

【解析】过点C作CD"a.

：.CD//a//b,

.'.Zl+ZECD=180°,Z3+ZDCF=180°,

VZ2=95°,Z3=150°,

.*.Zl+Z2+Z3=360°,

AZ1=360°-Z2-Z3=360°-150°-95°=115°,

故答案为：115°.

17.（上虞区期末）如图，已知AB〃CD,ZAFC=120°,/EAF=3/EAB,/ECF=g/ECD,则NAEC

=90度.

B

【分析】过点E作EM〃A8,过点尸作月V〃4B,利用平行线的性质可得出NAEM=NE48,/CEM=

112

NECD,NAFN=NFAB,/CFN=NFCD,由NE4尸NECF=与NECD可得出N£A8=

oo1

0Q

FAB,ZECD=^ZFCD,结合N4EC=N4EM+NCEM可得出NAEC二宗/从F。，代入NA/；C=120°即

可求出NA£C的度数.

【解析】过点E作£M〃A8,过点F作FN//AB,如图所示.

,:EM〃AB,AB//CD,

:.EM//CD,

：.ZAEM=/EAB,ZCEM=ZECD.

同理，可得：ZAFN=ZFAB,NCFN=NFCD.

又,：/EAF=^/EAB,ZECF=^ZECD,

33

/.ZEAB=*以8,ZECD=^ZFCD.

777

AZAEC=ZAEM+ZCEM=^EAB+ZECD=(NFAB+NFCD)=充(ZAFN+ZCFN)=^ZAFC=

90°.

故答案为：90.

18.（长春期末）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知44〃

CD,ZBAE=92°,ZDCE=115°,则NE的度数是，L_°.

A

【分析】延长DC交AE于F,依据A8〃CD,NB4E=92°,可得/CFE=92°,再根据三角形外角性

质，即可得到/£=NOC£ZCFE.

【解析】如图，延长。。交AE于凡

*：AB//CD,NBAE=92°,

・・・NCFE=92°,

又・・・NDCE=U5°,

AZE=ZDCE-ZCFE=\\5°-92°=23°.

故答案为：23.

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（市北区期末）按逻辑填写步骤和理由

如图，。〃4点A在直线。上，点8、C在直线。上，且BA_LC4,点。在线段BC上，连接A。，且

*：BA.LCA（已知）

••・ZBAC=Z2+Z3=90°（①垂直的性质）

VZ14-ZBAC+Z4=180°（"角的定义）

工/1+/4=180°-NBAC=180°-90°=90°

•・YC平分ND4/（已知）

N1=⑵N2（⑶角平分线的定义）

・・・N3=N4（④等角的余隹相等）

'：a//b（已知）

AZ4=Z5（⑸两直线平行，内错角相等）

AZ3=Z5（⑥等量代换）

【分析】根据题意和图形可以将题目中的证明过程补充完整，从而可以解答本题.

【解析】证明：・・・BAJLCA（已知），

・・・NZMC=N2iN3=9（T（①垂直的性质），

VZ1+ZBAC+Z4=18O°（立角的定义），

/.Zl+Z4=180°・NR4C=180°-90°=90°,

VAC平分ND4产（已知），

AZ1=@Z2（③角平分线的定义），

・・・N3=N4（④等角的余角相等），

'：a//b（已知），

・・・N4=N5（⑤两直线平行，内错角相等），

・・・N3=N5（⑥等量代换）.

故答案为：垂直的性质；Z2；角平分线的定义：等角的余角相等；两直线平行，内错角相等；等量代

换.

20.（肇州县期末）如图，将一张上、下两边平行（BPAB//CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕.

（1）试说明N1=N2；

（2）已知N2=40°,求/BE/的度数.

【分析】（1）根据平行线的性质得到NME8=NNFQ,NNEA'=/MFC,根据角的和差即可得到结

论；

（2）由折叠知，ZC'网=国产=70°,根据平行线的性质得到NA，EN=NCFN=70。，即

可得到结论.

【解析】（1）：.NMEB=NMFD,

TA'E//CF,

AZMEAf=4MFC,

-/MEB=/MFC・/MFD,

即N1=N2；

180f2

（2）由折叠知，NC'FN==70°，

2

•・・A'E//C'F,

AZA'EN=ZC'FN=7S.

VZ1=Z2,

AZBEF=70°+40°=110°.

21.（灵山县期中）如图，AD平分NCAE,AD//BC,AB=2.求AC的长.

【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可.

【解析】••'A。平分NC4E,

・・・NE4O=NOAC,

•：AD//BC,

••・NE4O=NB,NOAC=NC,

:・/B=NC,

：.AB=AC=2.

22.（安徽期中）如图，已知AB〃。区求证：/A+NACD+ND=360°.（请你至少使用两种方法证明）

c<A^B

DE

【分析】根据平行线的性质解答即可.

AB

c<^--.....................F

DE

【解析】证明：方法一，如图1,过点iCCF//AB,图1

：.CF//DE,

/.ZA+ZACF=\S0c,ZD+ZDCF=;180°,

AZA+ZACF+ZDCF+ZD=360°,

即NA+NACO+NO=360°；

AB

方法二,如图2,连接AO,

\'AB//DE,

・・・NBAO+/4DE=I80°，

•・・NC4O+/ACO+NADC=180°,

••・ZBAD+ZCAD+ZACD+ZADE+ZADC=360°,

即NA+NACO+NQ=360°.

23.(海淀区校级期末)如图1,A8〃C。，在46、CO内有一条折线EPF.

(1)求证：/AEP+NCFP=/EPF；

（2）在图2中，画NBE0的三分线与NOF0的平分线，两条角平分线交于点Q,请你补全图形，试探

索NEP/与NE。尸之间的关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，已知NBEP和NO/P均为钝角，点G在直线人从CQ之间，且满足

IV

BEP,NDFG=3NDFP,（其中〃为常数且〃>1）,直接写出NEGr与NEPr的数量关系.

【分析】（1）首先过点P作PG〃AB,然后根据48〃C£）,PG//CD,可得NAEP=N1,ZCFP=Z2,

据此判断出/4EP+NCO=/EPF即可；

（2）首先由（1）可得NEPF=NAEP+CFP,NEQF=/BEQ+NDFQ；然后根据的平分线与/

尸的平分线相交于点Q,推得（360-NEP/D,即可判断出N£PF+2NEQF=360''.

（3）首先由（1）可得NEGF=NAEG+/CFG,/EPF=NBEP+/DFP；然后根据N8£P=：N8EG,

/DFP=^NDFG,推得NEPF=^X（360°-/EGF）,即可判断出/£：6尸+〃/b”=360°.

【解析】证明：（1）如图1,过点P作PG〃A8,

•:AB"CD,

:.PG〃CD,

：,ZAEP=Z1,ZCFP=Z2,

又・・・/l+N2=/EP”，

NAEP+NCFP=NEPF；

由(1)可得：ZEPF=ZAEP+CFP,NEQF=/BEQ+NDFQ,

•:NBEP的平分线与NOFP的平分线相交于点Q,

・•・ZEQF=NBEQ+/DFQ=1(ZBEP+ZDFP)=扣60°-(ZAEP+ZCFP)]=1(363-/EPF),

：・NEPF+2NEQF-360°；

(3)由(1)可得：图3

NEGF=NAEG+NCFG,NEPF=NBEP+NDFP,

•・•/BEP=-ZBEG,ZDFP=-ZDFG,

nn

/.ZEPF