证明 同步练习【苏科】七年级下册数学一课一练

第12章证明

12.2证明

基础过关全练

知识点1推理的必要性

1.如图，己知四条线段a,b,c,d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺判断该

线段是（）

挡板

"/b[«、/\fl

A.aB.bC.cD.d

2.（2022湖南长沙雨花调研）甲：“我没有钱.”乙：“丙有钱.”丙：“丁有钱.”丁：“我没有钱.”若四

个人里面只有一个人说了真话且只有一个人有钱，则有钱.

知识点2证明与定理

3.两平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线（）

A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交但不垂直

4.小力说：“对于代数式X2-4X+4.5,无论x取何实数，该代数式恒大于0.”小力的说法正确吗?

为什么？

5.图1、图2是两个大小相同的大圆，图1的大圆内有10个小圆，图2的大圆内有2个小圆，

你认为图1中大圆内的1（）个小圆的周长之和与图2中大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大?

请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想.

知识点3二角形内角和定理及其推论

6.（2023山东日照中考）在数学活动课上，小明同学将含30。角的直角三角板的一个顶点按如图

D.67°

7.如图，ZA,Zl,N2的大小关系是（）

A.ZA>Z1>Z2B.Z2>Z1>ZAC.ZA>Z2>Z1D.Z2>ZA>Z1

&如图，ZADC=117°,则NA+NB+NC的度数为

9.如图，在△ABC中，BP平分NABC,CP平分NACB.求证：ZP=90°+^ZA.

［变式1•内外型］如图，在△ABC中，BP平分NABC,CP平分△ABC的外角NACE.猜想NP

和NA有何数量关系，并证明你的结论.

［变式2外外型］如图,BP平分△ABC的外角NCBF.CP平分△ABC的外角/BCE.猜想/P

和NA有何数量关系，请写出结论并证明.

能力提升全练

10.（2021江苏盐城中考）将一副三角板按如图所示的方式重叠，则/I的度数为（）

A.45°B.60°D.105°

11.（2023广东深圳中考）如图所示的为商场某品牌椅子及其侧面示意图，ZDEF=120°,DE与

地面平行，ZABD=50°,则NACB=（）

A.70°B.65°C.60°D.50°

12.（2022福建中考）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错

误.

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0"，并证明如下：

设任意一个实数为x,令x=m,

等式两边都乘x,得x?二mx.①

等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m?.②

等式两边分别分解因式，得（x+m）（x・m尸m（x・m）.③

等式两边都除以x-m,得x+m=m.④

等式两边都减m,得x=0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是.

13.（2023江苏扬州江都期中）如图,在△ABC中，ZACB=60°,ZABC=40°,AE平分AABC

的外角NBAD.若射线CF将NACB分成1：2两部分，且AE、CF交于点G,则

NAGO.

素养探究全练

14.（2022江苏无锡宜兴月考）我们将一组内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例

如，在图1中，△AOB的内角/AOB与△COD的内角ZCOD互为对顶角，则△AOB与△COD

为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：NA+NB=NC+ND.

⑴

如图2,在“对顶三角形”△AOB与^COD中，ND=2NB,且NEAO=NC,求证：ZEAB=ZB：

⑵

如图3,在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，ZBOD=ZA,若NECD比NDBE

大20。，求NBDO的度数.

15.已知NABC,画一个角NDEF,使DE〃AB,EF〃BC,且DE交BC于点P.探究NABC与

NDEF的数量关系.

⑴我们发现NABC与NDEF存在某种数量关系，如图1所示，那么图1中NABC与NDEF

有什么数量关系?请说明理由.

⑵你认为NABC与NDEF还有其他数量关系吗?若有，请写出这个数量关系并在图2中画出

一个满足这个数量关系的NDEF.若没有，请说明理由.

⑶若两个角的两边互相平行，旦一个角比另一个角的2倍少15。，请求出这两个角的度数.

第12章证明

12.2证明

答案全解全析

基础过关全练

1.C利用直尺画出图形如下:

可以看出线段c与m平行.故选C.

2.答案甲

解析他们4人中只有一人说了真话，由于丙与丁两人说的话相互矛盾，所以丙与丁两个人

必有一人说真话，一人说假话.如果丙说的是真话，那么「说的就是假话，「就有钱，这样甲

说的就是真话，与题意不符；如果丁说的是真话，那么丙说的就是假话，丁没有钱，甲和乙

说的是假话，甲就有钱，符合题意，所以可以判定甲有钱.故答案为甲.

3.C如图，・・・BC〃DE,・・・/CBD+NADE=180。（两直线平行，同旁内角互补），

,・，BF平分NCBD,DF平分NADE,

.\ZDBF=-ZCBD,NADF」NADE（角平分线的定义），

22

.*.ZDBF+ZADF=^ZCBD+^ZADE=^（ZCBD+ZADE）^xl80o=90o

（等式的性质），

・・・ZF=180°-（ZDBF+NADF尸18（）。-90。=9（）。（三角形内角和定理），

.♦.BF_LDF（垂直的定义）.故选C.

4.解析正确.理由如下：

X2-4X+4.5=X2-4X+4+0.5=(X-2)2+0.5,

V(X-2)2>0,A(X-2)2+0.5>0.5.

；・无论x取何实数,x?-4x+4.5恒大于0.

・・・小力的说法正确.

5.解析相等.理由如下；

设大圆的直径为d,则题图1中大圆内的10个小圆的直径均为一，题图2中大圆内的2个小

10

圆的直径均为一.

2

则题图1中大圆内的10个小圆的周长之和为10x兀x-Fd,

io

题图2中大圆内的2个小圆的周长之和为2xnx-=7id,

所以，题图1中大圆内的10个小圆的周长之和与题图2中大圆内的2个小圆的周长之和相等.

6.B如图：

VABZ/CD,AZ2=ZFHG.

又・・・N1+NE=NFHG,

・•・Z2=ZI+ZE=23°+3O°=53C.

故选B.

7.B由N1是三角形ABD的一个外角，得N1>NA,由N2是三角形DBC的一个外角，得

Z2>Z1,故N2>N1>NA.

8.答案117°

解析如图，延长AD交BC于E,

VZAEC=ZA+ZB,NADC=NAEC+NC,

/.ZADC=ZA+ZB+ZC,

VZADC=117°,

.•.ZA+ZB+ZC=117°.

9.证明△ABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA.

「BP平分NABC,CP平分NACB,

.\ZPBC="ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

.*.ZPBC+ZPCB=^(ZABC+ZACB)=^(180o-ZA)=90o-；ZA,

ZP=18()u-(NPBC+ZPCB)=9()Q+-ZA.

［变式1］解析NP=；NA.证明如下：

：BP平分NABC,CP平分NACE,

.\ZPBC=-ZABC,ZPCE=-ZACE.

22

ZACE是^ABC的外角，ZPCE是仆BPC的外角，

.,.ZACE=ZABC+ZA,ZPCE=ZPBC+ZP,

ZACE=ZPCE=-ZABC+-ZA,

222

/.-ZABC+-ZA=ZPBC+ZP,

22

A-ZA=ZP,即NP」NA.

22

［变式2］解析NP=90O-；NA.证明如下：

TBP平分NCBF,CP平分/BCE,ZP+ZPBC+ZPCB=180°,

・•・ZF=180°-(ZPBC+ZPCB)

=180°-^(ZFBC+ZECB)

二180。-3NA+NACB+ZA+ZABC)

=180°^(ZA+180°)

二90。」NA.

2

能力提升全练

10.C根据题图得，ZACB=45°,ZDBC=30°,

・・・Nl=NDBC+NACB=300+45°=75。.故选C.

ll.A,.・DE〃AB,NABD=50。，

.*.ZD=ZABD=50°.

IZDEF=120°，且ZDEF是&DCE的外角,

・・・ZDCE=ZDEF-ZD=70°,

・•・NACB=NDCE=70。.故选A.

12.答案④

解析④当x-m=0时，不能直接除，而题干中给出的条件是*=01,故x-m=0,故比处不能直

接除.

故答案为④.

13.答案10。或30。

解析VZACB=60°,ZABC=40°,

・•・ZBAD=ZACB+ZABC=liX)°.

TAE平分NBAD,

.*.ZDAE=-ZBAD=50o.

2

①如图所示，当CF靠近AC时，

•・•射线CF将NACB分成1：2两部分,

.•.ZACF=-ZACB=20°,

3

・・・ZAGC=ZDAE-ZACF=30°.

②如图所示，当CF靠近BC时，

同理可得NAGOIO。.

综上所述，ZAGC的度数为10。或30°.

故答案为10。或30°.

素养探究全练

14.解析(1)证明：由“对顶三角形”的性质可得

NO