27.3　实际问题与反比例函数（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.3实际问题与反比例函数（第2课时）教学目标教学目标1．能根据“总量一定”的实际情境建立反比例函数模型；能结合反比例函数图象分析实际问题中的变化规律；能利用反比例函数解析式解决简单的最值问题和取值范围问题．2．经历“实际问题—建立模型—求解验证”的过程，提高数学建模能力；通过观察函数图象和分析实验数据，体会反比例函数在实际问题中的应用价值．3．在解决实际问题的过程中，体会数学与现实生活的联系，发展用数学眼光观察现实世界的意识．教学重点教学重点通过“做功问题”“行程问题”等实际问题，进一步理解反比例函数模型，掌握建立反比例函数解析式并解决实际问题的方法．教学难点教学难点结合反比例函数图象分析实际问题中的变化规律，以及根据实际意义确定自变量的取值范围．教学过程教学过程知识回顾1．反比例函数解析式的一般形式以及常见变形形式是什么？【答案】，，xy＝k．(k为常数，k≠0)2．反比例函数的图象是双曲线，请说一说它的性质和增减性．【答案】（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．3．反比例函数图象上的点有什么共同特征？【答案】横、纵坐标的乘积等于常数k，即xy＝k．【过渡】上一节课我们借助反比例函数模型解决了杠杆等总量固定的实际问题，今天我们继续运用反比例函数知识，解决更多生活情境中的实际问题，学习结合函数图象分析变量变化范围．【设计意图】回顾反比例函数解析式形式、图象与性质，夯实基础；为本课时借助反比例函数模型、结合图象分析生活实际问题做好知识铺垫，引导学生顺利完成从纯函数知识到实际应用的过渡．新知探究一、典例精讲【例1】在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示．（1）当力F为10N时，求F所做的功W；（2）写出s关于F的函数解析式；（3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m．求力的范围．【师生活动】教师出示例题与函数图象，学生独立审题思考，随后小组交流思路，邀请学生上台分享解题过程，教师适时追问引导，最后规范板书完整解答．【分层设问】（1）图象中点(10，50)的横、纵坐标分别对应题目中哪个物理量？结合实际情境，自变量F存在什么取值限制？（2）题目给出等量关系式W＝Fs，如何借助图象信息求出恒定的功W，建立函数模型？（3）第（3）小问要求位移满足s＜100，可以运用反比例函数的什么性质分析力F的取值范围？【答案】解：（1）由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W＝Fs＝10×50＝500(J)．（2）当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系．由（1）可知其解析式为(F＞0)．（3）将s＝100代入，可得F＝5(N)．因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m，力F要大于5N．追问1：我们得到解析式，为什么一定要标注F＞0？预设：力是现实物理量，不能取负数，实际问题函数图象仅在第一象限．追问2：解第（3）问时，为什么s＜100对应的结论是F＞5，不是F＜5？预设：第一象限内反比例函数k＞0，s随着F的增大而减小．【归纳】利用反比例函数解决实际问题的要点：（1）建模时结合实际意义确定自变量取值范围；（2）求解变量不等范围，既可以代数计算，也可以借助图象、增减性数形结合分析．【设计意图】本题结合物理做功情境，依托函数图象提取条件，巩固反比例函数建模方法；重点训练利用增减性求解变量取值范围，落实本课重难点，区分纯理论函数与实际应用函数，强化数形结合思想．【例2】一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位：km/h）与行驶全程所用时间t（单位：h）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．（1）写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围；（2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围．【师生活动】教师出示例题与函数图象，学生独立审题思考，随后小组交流思路，邀请学生上台分享解题过程，教师适时引导，最后规范板书完整解答．【分层设问】（1）路程不变，平均速度与行驶时间是什么函数关系？如何借助图象上的点求出甲乙两地总路程？（2）题目给出速度范围60≤v≤120，结合反比例函数增减性，怎样确定自变量时间t的取值范围？（3）如何根据到达时间段，先算出行驶时间范围，再反向求出对应的速度取值？【答案】解：（1）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系．由图可知，当t＝2时，v＝120．于是有．①当v＝60时，由①得t＝4．因为60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4．（2）客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t＝h，代入①，可得v＝90(km/h)；若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t＝3h，代入①，可得v＝80(km/h)．因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度v的范围是80≤v≤90．追问1：第（1）问为什么一定要配套求出t的取值范围？预设：实际行程问题，时间、速度都具备现实意义，自变量存在限制条件．追问2：时间越长，行驶速度越小，那当行驶时间为3≤t≤时，为什么最终速度是80≤v≤90？预设：k＞0，第一象限内y与t变化趋势相反，区间范围需要反向转换．追问3：解决这类范围问题除了代数计算，还有什么方法辅助验证？预设：可以借助反比例函数图象直观判断．【归纳】运用反比例函数解决行程类实际问题要点：（1）抓住“路程不变”建立反比例函数模型，结合实际情景确定自变量取值范围；（2）已知自变量范围求函数值范围、或是已知函数值范围求自变量范围，要注意反比例函数增减性带来的区间反向问题，不要直接照搬不等号方向．【设计意图】本题为行程情境的反比例函数应用，延续上一道例题的数形结合思路；重点训练利用反比例函数增减性进行区间转换，攻克学生容易写反取值范围这一高频易错点；巩固总量固定类应用题建模方法，和例1形成梯度，强化学生处理实际取值范围题型的解题规范．【归纳】常见的典型反比例函数数量关系：涉及的量反比例函数的解析式功W（定值）、力F、移动的距离s或路程s（定值）、速度v、时间t或压力F（定值）、压强p、受力面积S或电压U（定值）、电流I、电阻R或【设计意图】汇总总量固定类实际问题模型，结合跨学科情境，帮助学生归纳反比例函数建模的共同特征；体会数学在物理等学科中的应用，提升模型迁移能力．【跟踪训练】一辆汽车从甲地开往乙地，甲乙两地相距120km．设汽车行驶的平均速度为v(单位：km/h)，行驶时间为t(单位：h)．（1）写出v关于t的函数解析式；（2）若要求2.5h之内到达，求汽车平均速度的取值范围．【师生活动】学生独立完成，指名上台书写过程；教师巡视，重点观察学生是否忽略自变量取值范围、范围是否写反．【分层设问】（1）本题中不变的量是什么？v与t存在怎样的函数关系？（2）“2.5h之内到达”如何转化为自变量的取值限制？结合反比例函数增减性，怎样确定速度取值范围？【答案】解：（1）设v关于t的函数解析式为，路程为120km，即k＝120，所以(t＞0，v＞0)．（2）当t＝2.5时，＝48，要求2.5h之内到达，即行驶时间0＜t＜2.5．因为在第一象限内，v随t的增大而减小，所以当0＜t＜2.5时，可得v＞48．所以汽车平均速度大于48km/h．【追问】求解取值范围时，很容易把不等号方向写反，是什么原因？预设：反比例函数在第一象限，v随t的增大而减小；自变量变小，对应的函数值变大，不等号方向需要反向．【设计意图】巩固路程固定的反比例建模，强化利用增减性求解变量取值范围，突破本课易错点；运用表格归纳的路程模型完成建模，巩固利用增减性求解变量取值范围，突破本课易错点．二、探究学习【过渡】函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型．面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题．【探究】某物理实验小组研究气体的压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据．序号123456体积V/mL201816141210压强p/kPa100112123145163201气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）．【师生活动】教师出示实验数据表，引导学生先独立思考；组织学生在坐标系中描点，小组交流观察点的分布特征．学生尝试猜想函数类型、计算参数；全班共同梳理建模完整流程，教师板书关键步骤，最后完成预测求值．【分层设问】（1）观察表格，随着体积V不断减小，压强p如何变化？（2）仅凭表格数据，能直接判定是什么函数吗？可以用什么方式直观观察变化趋势？（3）描点之后，点的分布形状有什么特征？你猜想是什么函数模型？（4）每组数据计算出来的k＝pV不完全相等，为什么？我们该如何确定解析式中的k？（5）得到函数关系式后，直接代入计算就结束了吗？还需要做什么？【分析】由表可知，压强p是体积V的函数．由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型．【答案】解：（1）为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（如图）．观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点．可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系．（2）建立模型．设函数解析式为(V＞0)，根据表中的数据，分别求出k的值，列出下表．V201816141210p100112123145163201k200020161968203019562010计算所有k值的平均值，得k＝(2000＋2016＋1968＋2030＋1956＋2010)≈1997．我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型．①（3）检验模型．将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系．（4）求解问题．将p＝132代入①，得132＝．解得V＝≈15.13(mL)．因此，当压强为132kPa时，气体的体积约为15.13mL．追问1：对比前面例1、例2、跟踪训练，这道题建立反比例函数模型和之前题目最大区别是什么？预设：起重机、行程问题依据公式得到精确函数模型；本题是实验测量数据，存在测量误差，得到的是近似函数模型．追问2：如果描出来的散点完全不在双曲线附近，我们还能选用反比例函数模型吗？预设：不能，需要更换一次函数、二次函数等其他函数模型尝试拟合．【设计意图】本节课前面习题均为已知等量关系、直接写出反比例解析式；本探究升级难度，训练学生依托实验数据自主猜想、拟合函数．让学生体会现实实验存在误差，理解近似模型的意义，掌握完整数学建模流程；感受跨学科融合，提升数据分析与数学建模的核心素养．【问题】回顾“探究”，回答以下问题：（1）题目表中的有些数对只能近似满足函数解析式，即图（1）中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有何不同？（2）结合“探究”和问题（1）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤．【师生活动】学生独立思考后小组交流讨论；教师邀请多名学生发言展示，相互补充，最后师生共同整理规范结论．【分层提问】（1）前面例1、例2、跟踪训练得到的函数关系式，所有数据都严格符合解析式，本题为什么无法完全吻合？（2）本节课两种建模方式分别适用于什么场景？（3）如果以后拿到一组陌生实验数据，完整的分析流程应该是什么？【答案】解：（1）以往问题依托固定公式推导，可以得到精确函数模型；本题来源于实验测量，数据存在测量误差，只能构建近似函数模型，点不会全部落在函数图象上．（2）我们可以总结出利用函数解决实际问题的通用流程．【归纳】利用函数模型解决实验类实际问题的一般步骤：①收集实验数据；②描点画图，猜想函数类型；③根据数据建立函数解析式；④检验模型与数据的匹配程度；⑤利用模型进行预测、求解实际问题．【归纳】反比例函数实际应用两类建模：（1）依托公式、等量关系列式：解析式为精确表达式；（2）依托实验测量数据拟合：得到近似函数模型．【设计意图】对比区分精确模型与近似拟合模型，梳理数学建模标准化流程；升华