26.4　实际问题与二次函数（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4实际问题与二次函数（第1课时）教学目标教学目标1．通过探究跳水运动、矩形面积等实际情境，能够分析并写出实际问题中变量之间的二次函数关系式，掌握利用二次函数的顶点坐标求解实际问题最值的方法．2．结合实际情境确定自变量的取值范围，理解实际问题中的函数图象只是抛物线的一部分，初步体会自变量取值范围对最值的约束作用．3．经历建立二次函数模型解决最值问题的过程，感受数学建模思想，提升运用函数观点分析、解决实际问题的能力．教学重点教学重点建立二次函数模型，利用二次函数性质求解运动高度、几何面积类实际最值问题；确定实际问题中自变量的取值范围．教学难点教学难点结合实际意义确定自变量取值范围，理解自变量范围会对最值结果产生约束．教学过程教学过程知识回顾1．二次函数y＝2(x－3)2＋5的对称轴是x＝3，顶点坐标是(3，5)．当x＝3时，函数有最小值，是5．2．二次函数y＝－3(x＋4)2－1的对称轴是x＝－4，顶点坐标是(－4，－1)．当x＝－4时，函数有最大值，是－1．3．二次函数y＝2x2－8x＋9的对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)．当x＝2时，函数有最小值，是1．4．当自变量的取值是全体实数时，若a＞0，当x＝时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值；若a＜0，当x＝时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值．追问：在实际问题中，自变量还能取全体实数吗？此时顶点处一定能取得最值吗？【设计意图】复习二次函数顶点与最值相关知识；通过设问制造认知冲突，引出新课重点：实际问题受自变量取值范围限制，图象只是抛物线一部分，最值不一定在顶点，为新课研究运动高度、矩形面积最值问题作铺垫．新知探究一、探究学习对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究．探究1跳水运动高度最值【例1】在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h＝－4.9t²＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位．）【师生活动】教师出示例题，引导学生独立读题、分析题意．分层提问：①这个函数是什么函数？a的正负对图象有什么影响？预设：二次函数；a＝－4.9＜0，抛物线开口向下，顶点位置为最高点，对应重心最大高度．②题目要求“何时达到最高点、最大高度”，本质是求二次函数的什么？预设：求顶点对应的自变量取值以及函数的最大值．③思考：这里时间t可以取全体实数吗？为什么？预设：不可以，t代表运动时间，t≥0；当运动员入水后解析式不再成立，自变量存在实际取值范围．学生独立尝试列式计算，两名学生板演解题过程；教师巡视，关注学生公式书写、小数保留规范．【分析】运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题．【答案】解：∵a＝－4.9＜0，∴抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值．对于二次函数h＝－4.9t²＋2.8t＋11，当t＝＝≈0.3时，h有最大值＝＝11.4．因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m．【教师出示函数图象】【教师追问】追问1：我们求出顶点横坐标t≈0.3，这个数值在自变量实际取值范围内吗？此时顶点对应的最值就是实际问题的最大高度吗？追问2：结合图象想一想，这个函数完整图象是整条抛物线，但实际运动对应的图象是什么？预设小结：实际情境下，函数图象只是抛物线的一部分；本题顶点落在自变量取值范围内，因此顶点处可以取得实际最大值．【阶段性小结】利用二次函数解决实际最值问题：①建立函数解析式；②求出顶点坐标；③检验顶点横坐标是否落在自变量取值范围内，判断顶点处能否取得实际最值．【思考】函数h＝－4.9t²＋2.8t＋11的图象直观地反映了运动员跳水过程重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？预设学生回答：运动员起跳后，重心先不断升高，大约0.3s到达最高点；随后重心开始下降，直至入水．教师小结升华（关键，扣本节课重点）：完整抛物线是这个函数在全体实数范围内的图象，但运动员实际运动只对应其中一段曲线．由此可见，研究实际问题中的二次函数，一定要重视自变量的实际取值范围．【设计意图】选用教材开篇跳水情境作为第一个探究例题，模型带有初始高度，区别于从原点抛出的运动模型，贴合新版教材编排．通过问题串引导学生识别最值问题本质，强化意识：实际问题自变量不再是全体实数，函数图象只是抛物线的一段，初步建立“取值范围约束最值”的认知，为后续靠墙矩形例题深度探究做好铺垫，初步渗透数学建模思想．【过渡】刚才我们借助二次函数模型，解决了运动轨迹里的高度最值问题．生活中还有很多类似的最值情境，比如用篱笆围菜园，怎样围才能使面积最大？接下来我们继续探究几何图形中的面积最值问题．【例2】如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？【师生活动】教师出示例题与几何示意图，引导学生独立审题，随后开展小组交流．分层探究提问：①篱笆总长20m，有一面靠墙，篱笆只围几条边？预设：篱笆围3条边，两条垂直墙、一条平行墙．②若设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长如何表示？预设：(20－2x)m．③根据边长为正数这一实际条件，你能写出自变量x的取值范围吗？预设：边长大于0，，解得0＜x＜10．④面积S和x是什么函数关系？要求面积最大，本质求什么？预设：二次函数；求二次函数在取值范围内的最大值．学生独立尝试列式，教师巡视；挑选学生口头汇报解析式与自变量范围，安排学生板演完整求解过程．【分析】菜园面积是一边长的函数，设一边长为xm，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题．【答案】解：设垂直于墙的边长为xm．则平行于墙的边长为(20－2x)m．矩形菜园的面积S＝x(20－2x)，即S＝－2x²＋20x(0＜x＜10)．当x＝＝＝5时，S有最大值＝＝50．因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m²．【教师追问】追问1：我们求出顶点横坐标x＝5，它在自变量范围0<x<10内吗？此时顶点可以取得最大值吗？预设：x＝5在取值范围内，因此顶点处取得实际最大面积．追问2（拓展铺垫，呼应本节课核心难点）：变式思考：如果墙只有4m长，平行于墙的边长不能超过4m．原来x＝5时，平行墙边长20－2x＝10>4，无法实现．想一想这种情况下，最值还能在顶点处取得吗？说明：课堂只启发思考，不用完整计算；目的强化认知：一旦顶点横坐标不在取值区间，最值要在区间端点寻找，深化本节课重点．【阶段性小结】不论是运动高度最值，还是几何面积最值，解题思路一致：①分析数量关系，建立二次函数模型；②结合实际意义，确定自变量取值范围；③求出顶点坐标，检验顶点横坐标是否在取值范围内，由此判断能否在顶点处取得实际最值．【设计意图】选用新版教材靠墙篱笆模型，区别于四面封闭矩形，天然存在自变量取值限制，进一步巩固例1建立的认知．通过问题串引导学生自主建立函数、确定自变量范围；增设墙长有限的变式追问，制造认知冲突，突出本节课核心：实际问题中，必须结合自变量取值范围判断最值能否在顶点取得，持续渗透数学建模思想．【过渡】刚才我们研究了墙长不受限制时的矩形面积最值．倘若墙存在最大长度限制，自变量的取值范围会随之发生改变，最值情况也会不一样．接下来我们借助例题变式进一步巩固今天所学知识．二、典例精讲【例题】如图，利用一面墙（墙的长度为8m），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？【师生活动】教师出示题目与示意图，引导学生独立思考，小组交流．分层提问：①若设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长怎么表示？预设：平行于墙的边长为(20－2x)m．②根据墙的最大可用长度为8m，结合边长大于0，写出自变量x的取值范围．预设：列不等式组解得6≤x＜10．③写出面积的函数解析式，判断抛物线开口方向，并求出它的对称轴．预设：S＝x(20－2x)＝－2x²＋20x，a＝－2＜0，开口向下，对称轴为直线x＝5．④观察对称轴对应的自变量数值，是否落在我们求得的取值范围内？此时还能在顶点处取得最大值吗？这种情况下应当在哪里寻找函数最值？预设：x＝5不在区间6≤x＜10内，无法在顶点取最值；结合增减性，在区间端点寻找最大值．学生分析思路，教师板书关键步骤，共同求出端点处最大面积．【答案】解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长(20－2x)m．由题意列不等式组，得解得6≤x＜10．矩形面积S＝x(20－2x)＝－2x²＋20x．∵a＝－2＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝5．∵x＝5不在取值范围6≤x＜10内，∴在区间6≤x＜10内，S随x增大而减小．因此x＝6时，S取得最大值，S最大值＝6×(20－12)＝48．此时垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为8m，最大面积为48m²．【设计意图】作为同源变式典例，巩固建立二次函数模型、确定自变量取值范围的方法；通过增加墙长限制，让学生认识到：当顶点横坐标不在自变量取值区间时，最值需要在区间端点处寻找，深化本节课核心难点，完善学生对实际情境下二次函数最值问题的完整认知．课堂小结板书设计实际问题与二次函数——最值问题一、二次函数求解实际最值问题的基本思路二、二次函数求解实际最值问题的一般步骤1．建立函数解析式2．确定自变量取值范围3．判断顶点是否在取值范围内4．结合增减性，在取值范围内求最值课后任务课后任务完成教材第55页习题26.4第1，4题．教学反思教学反思_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________