三角形全等的判定一（讲义）-人教版八年级数学上册（原卷）

2三角形全等的判

考点1边角边（SAS）判定三角形全等

知识点1基本事实“边角边"（SAS）

1.两边及其来生分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”.

(AB=DE,

2.数学语言表达：如下图，在△48C与△OEF中,Z.A=Z.D,

kAC=DF,

△/1/?C^ADFF(SAS).

【题型1直接应用SAS证明全等】

【例1】（25-26八年级上•河南周口・期末）如图，已知48=710,Z.BAC=/.DAC,则△48。三△/1OC的依据

是（）

【变式1-1］（25-26八年级上•山西朔州•期末）几何中有著名的“蝴蝶定理〃，小华受此启发画了两个如图所

示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀〃的图形.若NR4C=N04E=90。，AB=AD,

【变式1-2］（24-25八年级上•湖北黄石•期中）在如图所示的正方形网格中，Z1+Z2+Z3=

【变式1-3］（25-26八年级上•江西新余•期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，己

知43=4。，AC=AE.求证：XAB(*XADE.

【题型2添加条件利用SAS使三角形全等】

【例2】（25-26八年级上•广西崇左•阶段检测）如图,已知4c=DC,zl=z2,如果添加一个条件用“SAS”

使三△OEC,则添力n的条件是（）

,1

D

A.4A=乙DB.乙B=ZEC.BC=ECD.AB=DE

【变式2・1】如图,线段4C、8。相交于点O,且AO=OC,请添加一个条件使△AB。三△COO,且以“SAS”

为依据，则应添加的条件为

【变式2・2】如图，平行四边形4BCO中，E、尸是对角线8。上的两点，在不添加任何辅助线的情况下,

如果添加一个条件使△月BfwZXCOR则添加的条件是

【变式2-3］如图，已知L4B=4GAE=AD,要使△4BE三△4CD,可添加的条件是（）

C.Z-B=Z-ED.Z.BAC=Z-DAE

【题型3利用SAS解决线段或角的计算问题】

【例3】（25-26八年级上•安徽合肥•期末）小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点。是跷

跷板CD的中点（C,0,。三点位于同一水平线上），已知点。到水平地面的距离是50cm,当点。到达点G的

位置时，跷跷板在竖直方向下降了20cm,此时点C到达点F,则点F到地面的距离为cm.

【变式3-1］（25-26八年级上•江苏淮安・期末）如图，点小D、C、?在一条直线上，且=

AB=DE,Z.BAC=乙EDF.

⑴求证：△48。三2\。片尸；

（2）若乙力=40。，AB=AC,求々F的度数.

【变式3-2］（25-26八年级上•河南周口・期末）如图，在△A8C和△4DE中，AB=AC,AD=AE,

^BAC=£.DAE,连接BD、CE交于点F.

⑴求证：△7180三△4CE

（2）若乙艮4c=60°,求乙的度数.

【变式3-3］（25-26八年级上•四川凉山・期末）如图，已知△48C中，AB=AC=12cm,BC=10cm,点。

为MB的中点，如果点〃在线段BC上以2cm/s的速度由点8向点C运动，同时，点。在线段4c上由点力向

点C以4cm/s的速度运动.若点尸、0两点分别从点5、4同时出发.经过2秒后，求证：

⑴△800三△CQP；

(2)LDPQ=ZB；

【题型4挖掘隐含条件的SAS证明】

【例4】(25-26七年级下•辽宁锦州•期中)如图，点上在CD上，BC与AE交于点F,AB=CB,BE=BD,

⑴求证：&ABE三ACBD；

(2)求乙3的度数.

【变式4-1](25-26七年级下•陕西西安・期中)如图，己知点。是△力BC的边AC上•点,RAD-AB,在AC

上方作乙CDE,满足乙=180。，DE=BC,连接4E.

⑴求证：△£7九4三4。84.

(2)当4E=6,4B=2,求CD的长.

【变式4-2](25-26八年级上•贵州黔东南♦期中)如图，以△48C的边力3、AC分别向外作等腰直角△48。

与等腰直角△力CE,^BAD=LCAE=90°,连接BE和C。相交于点O,AB交CD于点、F,AC交BE于点G.

⑴求证：△ZMCmZXZME：

(2)试判断Z)C与8E的位置关系，并说明理由.

【变式4-3］（24-25七年级下•江苏南京•期末）已知力B=4C,AE=AD,^.BAC=^EAD.

（2）如图2,乙8AC=90。，点D,E分别在AC,AB上，连接BD,过点A作力月IBC,连接8F,E凡恰好满足84

平分4FBD.请猜想线段B凡EF,BD间的数量关系，并进行证明.

考点2角边角（ASA）与角角边（AAS）判定三角形全等

知识点2基本事实“角边角”（ASA）

1.两边及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角''或"ASA”.

（LA=乙D,

2.数学语言表达：如下图，在△/1BC与中，人8=°邑

（匕8=4E,

^ABC=^DEF（ASAL）.

知识点3“角边角”的推论“角角边"（AAS）

1.两角分别相等且具中一组等角的双边相等的两个二角形全等.简写成''角角边”或“AAS”.

Zo,

E,

2.数学语言表达：如下图，在△/1BC与△OEF中,IDCF

IoZE.,

△/15C=ADFF（AAS）.

【题型5直接应用ASA或AAS证明全等】

【例5】（25-26八年级上•天津滨海新区•期末）如图，点”是A/IBC的高力D和BE所在直线的交点，且

AD=BD,求证：=AC.

【变式5-1］（25-26八年级上•安徽合肥・期末）如图，四边形4BCD的对角线力C,BD相交于点

E,Z.ACB=^ADB,^BAC=^BDC.AC=AD,点/在EO上，Z-AFB=/-ADC.

⑴求证：△力BCw△力9D；

（2）若BE=FE,求证：C尸平分"AD.

【变式5-2］（2025•河北邯郸•一模）有一张三角形纸片已知乙8=NC=a,按如下两种方案用剪刀沿

着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“V”,若不一定全等打"X".则下列判断正确的

是（）

A.方案一：V、方案二：VB.方案一：X、方案二：x

C.方案一：x、方案二：VD.方案一：V、方案二：x

【变式5-3］（25-26八年级下•江苏苏州•期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角

形面积公式的出入相补法，如图所示，在△ABC、分别取48、AC的中点。、E,连接DE,过点4作

AF1.DE,垂足为凡将分割后拼接成矩形8C”G.若DE=3,AF=2,则图中梯形8CED的面积是

【题型6辨析与选择ASA与AAS判定方法】

【例6】（25-26七年级下•陕西西安・期中）如图,太阳光线AC与，4'C’是平行的,在同一时刻将两根高度相同

的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，

其中判断△ABC三△，夕C’的依据是（）

C.SSSD.AAS

【变式6-1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分,他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书

上完全一样的三角形，小明画图的依据是（）

C.AASD.ASA

【变式6・2】（25-26八年级上•浙江台州•期末）如图，己知，C=AC=AD,增加一个条件，使

△ABC=△AED.（不添加辅助线且仅用图中已有字母表示）

【变式6-3］（25-26八年级上•广西崇左•期末）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“ASA”判定和△ABC

全等的是（)

A.只有甲B.C.甲和乙D.都不是

【题型7利用平行线或角平分线构造角相等（ASA与AAS）］

【例7】如图，在△48。中，Z,C=90°,AC=BCfID平分NB4C交于点0,过点。作0EJ.4B,垂足为E.

A

⑴求证：AC=AE；

⑵若ABDE的周长为20,求的长.

【变式7-1]如图，△4BC中，乙4cB=90。，4E平分NB力C,于0.

(2)求证：AELCD.

【变式7-2](25-26七年级下•广东深圳•期中)如图，点E在△48C的边4C上，且=N/18C.

(1)求证：Z-ABE=zf；

(2)若乙8AE的平分线4尸交BE于点凡FO||BC交4c于点。，求证：△力8尸三△ADF；

⑶在(2)的条件下，若48=6,AC=8,则。C的长为.

【变式7-3](25-26七年级下•吉松长春・期中)如图，△DOE的角平分线。八EF相交于点立若

/-DOE=60",EF交OD于A,DF交OE于B.

(1)若4。=5,DE=8,则BE=(直接写山答案).

⑵线段DE与4。、BE有怎样的数量关系？写出说明理由.

【题型8利用ASA或AAS解决生活中的实际测量问题】

【例8】（25-26七年级下•四川成都•期中）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏,跷跷板的支点O（即跷跷板的

中点）到地面的距离是65cm,当淇淇从水平位置CD垂直上升20cm时，嘉嘉离地面的高度是（）

A.20cmB.45cmC.35cmD.50cm

【变式8-1］（25-26七年级下•四川成都・期中）如图,为测量信号塔AB（垂直于地面8。）的高度，小明首先

在信号塔48前的地面8D上选一点P,使BP=2.5m,并测得乙4PB=70°,然后把竖直的竿子=2.5m）

在BP的延长线上移动，使乙DPC=20。时竿子停止移动，此时测得8。=12m,则信号塔力8的高度为

m.

力、信号塔

\..............

8b__『-----dD

【变式8-2］（25-26八年级上•河南许昌•期末）如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，己知砌墙所用的

每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为5cm,则两面墙之间的距离EF的长为cm.

【变式8-3］（25-26七年级下•陕西西安•期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的

相关知识.在如图所示的风筝“龙骨”图案中，AB=AD,乙B=£D、BC=DE.则不一定能得到以下哪个结

论（）

A

A.△ABC三△%/)£1B.△ABF^△ADG

C.FC=GED.Z.AGD=Z.GAF

考点3边边边（SSS）判定三角形全等

知识点4基本事实“边边边"（SSS）

1.三边分别相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”.

（AB=DE,

2.数学语言表达：如下图,在ZkABC与中,\BC=EFf

UC=DF,

△/1FC=ADEF（AAS）.

知识点5三角形的稳定性

生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形

的这个性质叫做三角形的稳定性.

三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用.例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，

利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用.

【题型9直接应用SSS证明全等】

【例9】（25-26八年级下•全国•期中）如下图，已知力8=4。，BD=CD,0E垂直力8的延长线于点E,。尸垂

直WC的延长线于点尸.求证：DE=DF.

【变式9-1］（25-26八年级上•西藏日喀则•期末）如图，点。是88的中点，AD=CE,CD=BE.

A

（2）求证:BEWCD.

【变式9-2］如图，在△力BC中，AB=AC,AD上BC于点、D,点E,F在BC上，且BE=C凡则图中共有

对全等三角形.

【变式9-3］如图，在AABC中，已知AD=DE,AB=BE,4A=85°,ZC=45°,则NCDE=度.

【题型10通过线段的和差计算得出边相等（SSS）】

【例10】（25-26八年级上•江苏南京•期中）如图，AB=DE,AC=DF,BF=EC,4C与OF相交于点O.求证:

(l)A4BCwZkDEF；

{2}0F=OC.

【变式10-1］（25-26八年级上•江苏南通•阶段检测）如图，点小C、D、8在同一条直线上，点、E、E分别

在直线力8的两侧，AE=BF,CE=DF,AD=BC.

E

(1)求证：AACEwABDF.

⑵若“OF=50°,求44CE的度数.

【变式10-2](25-26八年级上•陕西榆林•阶段检测)如图，在四边形4BCD中，连接BD,点E尸是BD上的两

点，连接/E,CF,AB=CD,AE=CF,BF=DE.

求证:

(1)^ABE=^CDF；

[2}AD=BC.

【变式10-31(25-26八年级上•河南周口•期中)油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术

性，被多省列入非物质文化遗产名录.油布伞的截面如图所示，伞骨48=4。=60cm,支撑杆

OE=OF,AE=^AB,AF=\AC.当点。沿伞杆力。滑动时，可使雨伞开闭.

⑴问雨伞开闭过程中，4B40与乙二40有何关系？说明理由.

(2)若OE=AE,OF=AFf当雨伞由闭合撑开到=120。时，点O沿40滑动的距离是多少？

【题型11利用三角形的稳定性解决实际问题】

【例11】(25-26七年级下•四川成都•阶段检测)如图，一扇窗户打开后，用窗钩力8可将其固定，其理论依

据是

【变式11-1】下列图形中不具有稳定性的是（）

【变式11-2］（25-26八年级下•辽宁鞍山•开学考试）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过

增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固根木条.

【变式11-3］（25-26八年级上•全国•课后作业）如图1,在四边形木条框架中，任意添加1根M角线木条,

就能使框架的形状稳定.

判断下列说法是否正确.（正确的打“V〃，错误的打"x"）

⑴在图2中任意添加2根对角线木条，都能使框架的形状稳定.（）

⑵在图3中任意添加3根对角线木条，都能使框架的形状稳定.（）

⑶图4是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.（）

考点4直角三角形全等的判定（HL）

知识点6斜边、直角边定理（IIL）

1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

（AD—4'夕

2.数学语言表达:如图，在与n△小夕。'中（4C与NC'为直角），［BC=B'C>

:.RtZS/lBC三Rt△/'B'C'(HL).

【题型12直接应用HL证明直角三角形全等】

【例12】（25-26八年级下•陕西西安•期中）如图，在△48。中，4D12C于点D,若要根据"HL”直接判定Rt

△,480三口△AC。，还需要添加条件：.

【变式12-1］（25-26八年级下•山西晋中•期中）在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图:

在/40B的两边上分别取点M、N,使0M=0N；再分别过点M,N作。40B的垂线，交点为P,连接

0P.通过证明AOMP三△0NP得到0P平分乙4。氏则证明AOMP三AONP最直接的依据是（）

A.SSSB.SASC.AASD.HL

【变式12-2］（25-26八年级上•安徽滁州•期木）如图，已知，在RtZ\A8（；中，418（7=45°,D是8c上一点,

且WZ）=8D,E为AC上的一点，BE交4。于匕BF=AC.

⑴求证：△ADCwaBDH；

（2）求证：BEA.AC.

【变式12-3］（25-26八年级上•广东东莞•期中）如图，在△力8c中，AC=BC,直线［经过顶点C,过力，8两

点分别作I的垂线AE，BF,垂足分别为E,F,AE=CF.求证：

（1）△力CE三△CBR

⑵当直线，不与底边48相交时，试探索EAAE,8/三条线段的大小关系，并说明理由.

【题型13灵活选用方法判定直角三角形全等】

【例13】（25-26八年级上•安徽合肥•阶段检测）如图，在△A8C中,CE是高，将△A8C沿力8所在直线翻转,

点C与点。重合，则图中有组全等三角形.

【变式13-1］（24-25八年级下•陕西宝鸡•期末）如图.在中，BC=5,4C=9,。是4c上一点，连

接8D,Z.ABD=Z/1,过点C作CEJ.8D于点E,此时CE平分NBC0,则0E的长为.

【变式13-2］（25-26七年级下•吉林长春•期中）如图，在△力8c中，AB=AC,BD14C于。，CElAB^E,

8。和CE交于。，力。的延长线交BC于凡则图中全等的直角三角形有（）

A.5对B.6对C.7对D.8对

【变式13-3］（25-26八年级下•辽宁辽阳・期中）已知：如图,BMLOA,ANLOB,垂足分别为M、N,

0M=ON,与4N相交于点P.求证：PA=PB.

【题型14尺规作图与全等的联系】

【例14】（24-25七年级下•山西太原•阶段检测）如图，用尺规作出了，NCB=41。。，其作图依据是（）

AASD.SAS

【变式14-11（24-25七年级下•山西太原・期末）课本第109页有一道习题:“先画一个△48C,然后选择△4BC

中适当的边和角,用尺规作出与△ABC全等的三角形〃，晋晋的作法如图.这一作法中，三△ABC"

的依据是（）

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【变式14-2］（24-25八年级上•河北石家庄•期中）如图1所示，已知线段a,Z1,求作△48C,使BC=a,

4ABe==41,小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（）

A

图1图2

A.作△A8C的依据为ASAB.弧4.是以OK长为半径画的

C.弧MN是以力为圆心，Q为半径画的D.弧G”是以0。长为半径画的

【变式14-3］（25-26七年级下•福建漳州•期中）中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节

日，节日时间为每年“秋分〃.该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感.工作人员小张在丰

收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（△ABC）.

⑴小张只要从两块碎片中选择第一块（填“①〃或"②〃）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台

（4ABC）的形状和大小完全相同的新展台（理由是（填“SSS〃或"AAS"或"ASA"或"SAS"）.

⑵求作△，夕C',使得三△48C（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

【题型15多次全等证明（二次证明）】

【例15】（25-26七年级下•上海青浦•期中）如图，已知：在△0相中，点D、8分别在边尸力、PC上,AB与CD

相交于点0，^ADC=/-ABC,AD=BC.

⑴求证：PA=PC；

⑵连接P。并延长交力C于点E,求证：PELAC.

【变式15・1］（25-26七年级下•山东青岛•期中）按要求完成下列各题:

A

A

E

⑴如图1,△4BC,为等边三角形，连接80