沪科八年级数学上册 命题与证 同步练习

第13章三角形中的边角关系,命题与证明

13.2命题与证明

基础过关全练

知识点1命题及其分类

1.下列语句属于命题的是（）

A.你今天打卡了吗？B.请戴好口罩！

C.画出两条相等的线段D.同位角相等

2.下列命题中，为真命题的是（）

A.两个锐角之和一定为钝角B.相等的两个角是对顶角

C同位角相等D.垂线段最短

知识点2命题的结构

3.洛下列命题改写成“如果……，那么……的形式，并分别指出命题的条件与结论.

⑴直角都相等；

⑵末位数字是5的整数能被5整除;

⑶三角形的内角和是180°；

（4）同角的余角相等;

⑸不相等的角不是对顶角.

知识点3互逆命题

4.请写出命题“如果a>b,那么b-a〈0”的逆命题：.

知识点4反例

5.对于命题“如果Nl+N2=90。，那么N1,N2,能说明它是假命题的反例是（）

A.Z1=Z2=45°B.ZI=50°,Z2=50°

C.Z1=50°,Z2=40°D.Z1=4O°,Z2=40°

知识点5定理与证明

6.佳伊在学习中遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中，ZOZB,AE平分NBAC,

AD_LBC于D.

猜想NB、NC、NEAD的数量关系，并证明你的结论.

BEDC

图I

⑴佳伊阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入NB、NC的度数求

NEAD的度数，得到下面几组对应值：

NB/度

NC/度

NEAD/度

上表中a=；

⑵猜想/B、NC、NEAD的数量关系，并说明理由；

⑶佳伊突发奇想，将B、C两个字母的位置交换，如图2,过EA的延长线上一点F作

FD_LBC交CB的延长线于D,当NABC=80。，NC=20。时，ZF=°.

知识点6三角形的外角及三角形内角和定理的推论

7.如图，将二角板的直角顶点放在直尺的一边上，Zl=30u,Z2=5（r,则N3的度数是（）

A.50。B.3O0C.20°D.15°

8.如图，在△ABC中，D为BC上一点，Z1=Z2,Z3=Z4,ZBAC=108°,则NDAC的度

数为（）

八43、

DC

A.78°B.80°C.82°D.84°

9.瘠一副直用三角板按如图所示的方式放置，使含30。角的三角板的一条直角边和含45。角的

三角板的一条直角边重合，则N1的度数为.

10.补充下列证明过程，并填上推理的依据.

己知：如图，ZBEC=ZB+ZC.

求证：AB〃CD.

证明：延长BE交DC于点F,则NBEC=NEFC+NC（）,

VZBEC=ZB+ZC,

AZB=,（等量代换）

:.AB//CD（）.

能力提升全练

11.下列命题中，是假命题的是（）

A.-2的绝对值是・2B.对顶角相等

C.三角形的内角和是180。D.如果直线2〃6b〃c,那么直线a〃b

12.能说明“锐角a,锐角p的和是锐角”是假命题的例证组是（）

ABCD

13.下列四个命题中，真命题枸（）

①内错角一定相等；②如果/I和N2是对顶角，那么/1=N2；

③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；④若M=b2,则a=b.

A.1个B.2个C.3个D.4个

14.已知命题：”三角形三条高线所在直线的交点••定不在三角形的外部”.小冉想举•反例说

明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

15.用三个不等式a＞b,ab＞（）,工＜］中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题,

ab

则组成真命题的个数为（）

A.OB.lC.2D.3

16.命题“两个连续整数的平方差必是奇数”是命题.（填“真''或"假”）

17.如图,AB〃CD,EF分别与AB,CD交于点B,F.若NE=30。,ZEFC=130°,则NA=

18.如图，三角形ABC中，AC1BC,F是边AC上的点，连接BF,作EF〃BC交AB于点

E,过点E作DE_LEF,交BF于点D.

求证：Zl+Z2=180°.

完成以下证明.

证明：・・・ACJ_BC（已知），

・•・NACB=90。（垂直的定义）.

・・・EF〃BC（已知），

・•・ZAFE==90°（）.

•••DEJLEF（己知）,

・•・NDEF=90。（垂直的定义）.

・•・NAFE=NDEF（等量代换）.

・•・//（）.

AZ2=ZEDF（）.

又・・・NEDF+N1=18（）。（邻补角互补），

/.Zl+Z2=l80。（等量代换）.

19.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.

⑴若NA=50。，ZBOD=70°,ZC=30°,求NB的度数；

（2）试猜想NBOC与NA+NB+NC之间的关系，并说明理由.

B

素养探究全练

20.概念学习：已知△ABC,点P为其内部一点，连接PA、PB、PC,在aPAB、△PBC、

△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为

△ABC的等角点.

理解应用:

⑴判断以下两个命题是不是真命题，若为真命题，则在相应横线上写“真命题”；若不是真命

题，则写“假命题”.

①内角分别为3()。、6()。、9()。的三角形存在等角点,

②任意的三角形都存在等角点,

⑵如图a,点P是锐角△ABC的等角点，若NBAONPBC,探究图a中，ZBPC>NABC、

NACP之间的数量关系，并说明理由.

解决问题:

⑶如图b,在△ABC中，ZBAC<ZABC<ZACB,若△ABC的三个内角的平分线的交点P

是该三角形的等角点，求△ABC三个内角的度数.

图a图b

21.△ABC中，NC=8()。，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，点P是一动点，令

ZPDA=Z1,ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

⑴若点P在边AR上，且/a=5O。，如图I.贝IJ/1+/2三

⑵若点P在边AB上运动，如图2所示，则Na、Nl、N2之间的关系为

⑶当点P运动到边AB的延长线上时，如图3,Na、/I、N2之间有何关系?猜想并说明理

由.

第13章三角形中的边角关系,命题与证明

13.2命题与证明

答案全解全析

基础过关全练

1.D选项A,是问句，未做判断，故本选项错误；选项B,是祈使句，不符合命题的概念,

故本选项错误；选项C,是描述性语句，未做判断，故本选项错误；选项D,符合命题的概

念，故木选项正确.

2.D选项A,,・・40。角,40。角是锐角,40°+40°=80°,80。角也是锐角，，两个锐角之和一定

为钝角是假命题；选项B,相等的两个角不一定是对顶角，故是假命题；选项C,两直线平

行，同位角相等，故是假命题；选项D,垂线段最短，是真命题.

3.解析(1)改写成：如果儿个角是直角，那么这儿个角相等.这里的条件是“几个角是直角”，

结论是“这几个角相等

⑵改写成：如果一个整数的末位数字是5,那么该整数能被5整除.这里的条件是“一个整数

的末位数字是5”，结论是“该整数能被5整除”.

⑶改写成：如果一个图形是三角形，那么它的内角和是180。.这里的条件是“一个图形是三角

形”，结论是”它的内角和是180。”.

⑷改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.这里的条件是“两个角是同一

个角的余角“，结论是“这两个角相等

⑸改写成：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.这里的条件是“两个角不相等”，

结论是“这两个角不是对顶角”.

4.答案如果b-avO,那么a〉b

解析命题“如果a>b,那么b-a<0”的逆命题是“如果b-a<0,那么a>b”.

5.A选项A,满足条件，不满足结论，故本选项符合题意；选项B,不满足条件，也不满

足结论，故本选项不符合题意；选项C,满足条件Nl+N2=90。，也满足结论/厚/2,故本

选项不符合题意；选项D,不满足条件，也不满足结论，故本选项不符合题意.

6.解析(1)20.

⑵猜想：NEAD弓(NC-NB).

理由：VAD1BC,AZADC=90°,

.•.ZDAC=90°-ZC.

•••AE平分NBAC,ZBAC=180°-ZB-ZC,

・・・ZEAC--ZBAC-90n--ZB--ZC,

222

・•・ZEAD=ZEAC-ZDAC=90°-1ZB-|ZC-(90°-ZC)=1(ZC-ZB).

(3)如图，过点A作AH，CD于H.

VAHICD,FD1CD,AAH/7DF,

・・・/F=NEAH,由(2)可知NEAHW(NABC-NC),ZF=1(ZABC-ZC)=ix(80°-20°)=30°.

故填30.

7.C如图，•・•直尺的上、下两边平行，Z2=50°,AZ4=Z2=50°.VZ4=Z1+Z3,Zl=30°,

・・・Z3=Z4-Z1=50°-30°=20°.

8.D设N1=N2=x,/.Z3=Z4=Z1+Z2=2x.

VZDAC+Z3+Z4=180°,AZDAC=I80°-4x.VZBAC=108°,.*.x+180°-4x=108°,.e.x=24°,

ZDAC=180°-4x24°=84°.

9.答案75。

解析如图，易知NDMO30。，・・・NAMF=30。，

AZ1=ZA+ZAMF=45°+30o=75°.

10.答案三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；NEFC；内错角相等，两直线

平行

能力提升全练

11.A・2的绝对值是2,故选项A是假命题，符合题意；对顶角相等，故选项B是真命题，

不符合题意；三角形的内角和是180。，故选项C是真命题，不符合题意；如果直线2〃5

b〃c,那么直线@〃＞故选项D是真命题，不符合题意.

12.CC选项中Na、Np都为锐角.n.Na+/»90。，可以证明题中的命题为假命题.

13.B两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①是假命题；如果N1和N2是

对顶角，那么Nl=/2,所以②是真命题；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内

角，所以③是真命题；若a?二b2,则户土b,所以④是假命题.故真命题有2个.

14.D根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，可知选项D符合题意.

15.D命题①，如果a>b,ab>0,那么L?.

ab

Va>b,.\a-b>0,又,.,ab>(),・,•早>(),整理得—J，命题①是真命题.

abab

命题②，如果a>b,Y，那么ab>0.

ab

.・・上卜0,・,•浮<O.・・・a>b,・,・b-avO,・・.ab>0..••命题②是真命题.

ababab

命题③，如果ab>(),汽,那么a>b.

A^<0.Vab>0,Ab-a<0.

ababab

・,•命题③是真命题.综上，真命题的个数为3.

16.答案真

解析设两个连续整数分别为n,n+1,(n+l)2・n2=n2+2n+l-n2=2n+l.；2n+l是奇数，，命题

“两个连续整数的平方差必是奇数”是真命题.

17.答案20°

解析VAB/7CD,

AZABF+ZEFC=180°,

AZABF=180°-ZEFC=50°,

VZABF=ZA+ZE,ZE=30°,

AZA=20°.

18.答案ZACB；两直线平行，同位角相等；DE；AC；内错角相等，两直线平行；两直线

平行，内错角相等

19.解析(1)VZA=50°,ZC=30°,

.,.ZBDO=ZA+ZC=8()°.

VZBOD=70°,・•・ZB=180°-ZBDO-ZBOD=30°.

(2)ZBOC=ZA+ZB+ZC.

理由：VZBEC=ZA+ZB,

JZBOC=ZBEC+ZC=ZA+ZB+ZC.

素养探究全练