2027年高考数学一轮复习（压轴题）-圆锥曲线的定义及性质（原卷+解析）

圆锥曲线定义及性质的4大核心题型

1.圆锥曲线的定义及性质是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为

1（M2分.

2.一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用：二是圆锥曲线

的几何性质，主要考查离心率.、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考资弦长与

三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.

A题型01圆锥曲线的定义及标准方程

1.圆锥曲线的定义

（I）椭圆：|PQ|+|PB|=2a（2a>|E五2|）.

⑵双曲线:||PFi|-|PF2||=2a（0<2a<|Fif2|）.

（3）抛物线：\PF^\PM\,/为抛物线的准线，点厂不在定直线/上，于点

2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴；

“计算”：利用待定系数法求出方程中的标,按，〃的值.

22

1.（2020•全国III卷TH）设双曲线G£-_21=|（^>0,方>0）的左、右焦点分别为打，F?,离心率为

a"b~

是C上一点，且BPJ_B尸.若的面积为4,则a=（）

A.1B.2C.4D.8

2.（2022•全国甲卷T11）已知椭圆C：W+与=15>〃>0）的离心率为!，4,4分别为C的左、右顶点，B

a-b~3

为C的上顶点.若虱砥=7,则。的方程为（）

xyi

A-?8+16=1B+=1C.—+—=iD.y+r=1

-vi32

A题型02桶圆、双曲线的几何性质及应用

技法指导

1.椭圆、双曲线中4,b,C之间的关系

（1）在椭圆中：a2=b2-Vc1,离心率为6=[=j]—1；

（2）在双曲线中：cl=d1-\-h2,离心率为e='=J1+）

2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标

（1）双曲线忘一5=1（。>（）,心0）的渐近线方程为尸白，焦点坐标为巾（-c,（））,Fi（c,0）；

（2）双曲线1一]=1Q>0,b>0）的渐近线方程为y=±%,焦点坐标为Q（0,-c）,Fi（0,c）.

3.（2023•新课标I卷T5）设椭圆C|：1+/=i（a>i）c：士+V=1的离心率分别为，〜.若6=，则。=

a~4

（）

A.aB.72C.也D.76

3

4.（2024•新课标I卷T12）设双曲线。：£-£=1（〃>0力>0）的左右焦点分别为耳、工，过居作平行于N轴

a~b~

的直线交C于4,8两点，若|大川=13,|481=10,则。的离心率为.

22

5.（2025•天津河西•二模）已知双曲线C：「-4=1（4>0力>0、）的左、右焦点分别为片，K,过月作直线

crb-

分别交双曲线的左、右两支于N两点，满足丽=2而，且砺•（丽-丽）=0,小叫二三,则双

曲线。的渐近线方程为（）

A.y=±RxB.y=±\JlxC.y=±2>/2xD.y=±3x

►题型03抛物线的几何性质及应用

技法指导

1.抛物线的焦点坐标与准线方程

⑴抛物线V=±2px(p>0)的焦点坐标为(号0),准线方程为x=M；

(2)抛物线^=±2〃)，(p>0)的焦点坐标为(0,由，准线方程为尸千多

2.抛物线的焦点弦的几个常见结论：

谀43是过抛物线产=2px(p>0)的焦点Z7的弦，若/(乃，y\),8(x2,yi),a是直线44的倾斜角，则

2

(l)xix2=q-,y\y2=-p.

(2)|J5|=xi+X2+p=^.

(3)1+1-2.

Vf\FA\\FB\p

(4)以线段48为直径的圆与准线x=4相切.

6.12025新高考2卷T6)设抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为“，点4在。上，过力作C的正线的垂线，

垂足为反若直线8b的方程为7=-2.丫+2,则|力b|=()

A.3B.4C.5D.6

7.(多选)(2023•新课标II卷T10)设O为坐标原点，直线y=-过抛物线C：/=2px(p>0)的焦点,

且与C交于"，N两点，/为C的准线，则().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MV为直径的圆与/相切D.△QWN为等腰三角形

A题型04圆锥曲线的切线问题

技法指导

圈锥曲线的切线和切点弦的相关结论

(1)过椭圆5+5=1上一点PG。,。)的切线方程为等+督=1;

(2)过楠圆「+r=1外一点P(xo,y())的切点弦方程为竽+管=1:

(3)过双曲线£-《=1上一点P(xo,y0)的切线方程为孝-翁=1；

(4)过双曲线£=1外一点P(xo，y。)的切点弦方程为竽-箸=1.

15)抛物线/=2px(p>0)上一点P(x(),yo)的切线方程为y=p(x+x°)

i(6)抛物线)j=2px(p>0)外一点尸(鼻,为)的切线方程为^=〃(工+工0)

&已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为‘台小…），则椭圆在其上一点气⑴处的切线方程

为,+等=1,试运用该性质解决以下问题：椭圆G：l+f-Ma〉/）〉。），其焦距为2,且过点1,

点8为G在第一象限中的任意一点，过8作G的切线/,/分别与X轴和y轴的正半轴交于CO两点，则

△OC0面积的最小值为（）

A.当B.y[lC.6D.2

9.过双曲线C:二-2=1（4>0力>0）上一点尸作双曲线。的切线/,若直线OP与直线/的斜率均存在，且斜

a"b"

率之积为:2，则双曲线。的离心率为（）

V29730「底V30

八A・----1u5・------V•------nD•------

5355

1.（2021•新高考全国II卷T3）抛物线V=2pMp>0）的焦点到直线y=x+l的距离为则P=（）

A.1B.2C.2/D.4

2.12025•新高考1卷T3）若双曲线。的虚轴长为实轴长的"倍，则。的离心率为（）

A.V2B.2C.V7D.2及

3.（2022・仝国乙卷T6）设厂为抛物线。:/=心的焦点，点力在。上，点8（3,0）,若|.4日=忸.耳，则恒网=

（）

A.2B.2五C.3D.3及

4.（2023•全国甲卷T5）设斗鸟为椭圆C:二+/=1的两个焦点，点P在C上，若所.丽=0,则|尸用•「「J二

5

（）

A.1B.2C.4D.5

5.（2022•全国甲卷T10）椭圆C：4+《.=1（。>b>0）的左顶点为力，点P，O均在。上，且关于y轴对称.若

a'b~

直线彳P,NQ的斜率之积为;，则C的离心率为（）

A.—B.—C.yD.|

2223

22

6（2025•天津卷T9）双曲线5-七=1（4>0">0）的左、右焦点分别为用工,以右焦点不为焦点的抛物

线:尸=2*（〃>0）与双曲线交于另一象限点为尸，若|P£|+|P周=3内用，则双曲线的离心率e=（）

A.2B.5C.D.

22

7.柄圆上：£+工=1（〃”>0）的左、右焦点分别为小F2t若巴与抛物线V=8x的焦点重合，椭圆£与

a'b~

过点尸（9,3）的塞函数夕=J的图像交于点Q,且塞函数在点Q处的切线过点片，则椭圆的离心率为（）

A.yB•孝C•日D.x/3-l

8.（多选）（2025•湖南娄底•期末）已知双曲线C:寸-E=1（6>0）的右焦点为八直线/：%+勿=0是。

4b-

的一条渐近线，P是/上一点，则（）

A.C的虚轴长为2啦B.C的离心率为在

2

C.|尸尸|的最小值为2D.直线尸尸的斜率不等于-也

9.：多选）（2025•辽宁沈阳•三模）设椭圆C:（+，=l的左、右焦点分别为月，用/是。上的动点，则下列

说法正确的是（）

A.户制的最大值为8

4

B.椭圆。的离心率6=不

C.△叼石面积的最大值等于12

D.以线段6段为直径的圆与圆（a/+（尸3）2=4相切

10.（多选）（2022•新高考全国I卷TU）已知O为坐标原点，点力。』）在抛物线C:x2=20，（p>O）上，过点

仇。，-1）的直线交C于P,。两点，则（）

A.。的准线为y=-lB.直线48与。相切

C.|0「卜|。。|>|。力1D.18Pl加『

11.（2024•天津卷T12）己知圆住-1）2十/一25的圆心与抛物线/一2内的焦点尸重合，目两曲线在第一象

限的交点为A,则原点到直线AF的距离为

.+（=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的

12.（2021•全国甲卷T15）已知耳、鸟为椭圆卷

两点,且|尸。|=山周，则四边形冏。6的面积为.

13.在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在N轴上，抛物线顶

点在坐标原点，已知抛物线方程是4y,圆的半径为「，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线

的顶点0,则圆的半径1的取值范围

14.(2025•广东揭阳•模拟)已知椭圆G，抛物线C?的焦点均在x轴上，G的中心和G的顶点均为坐标原点

O,从G，G上分别取两个点，将其坐标记录于下表中:

Xe

V1V22

且

yV202&

⑴求G和g的标准方程;

(2)若G和。2交于不同的两点48,求科•砺的值.

15.(2025•江西抚州一模)已知点石、乃为双曲线C:/=10>0)的左、右焦点，过用作垂直于x轴的

b2

直线，在x轴的上方交双曲线。于点M，且NA"；&=30。.

(1)求双曲线。的方程；

(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为小匕求困•砾的值.

圆锥曲线定义及性质的4大核心题型

1.圆锥曲线的定义及性质是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为

1(M2分.

2.一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线

的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解：三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与

三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.

A题型01圆锥曲线的定义及标准方程

1.圆锥曲线的定义

(I)椭圆：|PFi|+|PF2|=2a(2a>|FiF2|).

(2)双曲线:\PFi\-\PF2\\=2a(0<2a<\FiF2\).

(3)抛物线：\PF\=\PM\,/为抛物线的准线，点厂不在定直线/上，PMAJ于点、M.

2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴；

“计算”：利用待定系数法求出方程中的。2,b2tp的值.

L(2020•全国in卷T11)设双曲线C=—4=1(a>0・b>0)的左、右焦点分别为用.尸2,离心率为6.P

a~h~

是C上一点，且BPLF2P.若的面积为4,则。=(­

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解题指导】双曲线的定义一三角形面积公式一>勾股定理一离心率列方程求&

【解析】根据双曲线的定义可得归用-归周卜2%

S4PFR=1|P^|.|P^|=4,即|P£|・|P段=8,

・•・6P_L&P..•〃£/+］尸用2=(24，产用_|产用)2+2户曰.|尸引=而，

•••£=石，，。二石。，即一5。」+4=0,解得。=1,故选A.

a

法二：由题意得，Sg--^=4,得〃=4,

tan45

【技巧】椭圆上的点P(xo,与两焦点八，八构成的△PRE叫做焦点三角形，设NRPF2=o.赃AFm

=gIPF\IIPF)Isine=〃tang=cIyoI

又技且/=/+〃，所以“=].

a

221

2.(2022•全国甲卷TU)已知椭圆C:r++4v=l(心力>())的离心率为4,4分别为C的左、右顶点，B

a'b'3

为C的上顶点.若两位=-1,则。的方程为()

222

Ax2y2_

A・---卜—=1B.—4-—=1C.-----(---=1O.-----f-y*=1

181698322

【思维探究】

看到什么想到什么

椭圆的离心率为"联想椭圆离心率的定义，将文字语言转化为符号语言，

提取数量关系

&4分别为c的左、右将文字语言转化为图形语言，作出椭圆图形并标出各

顶点，8为。的上顶点个顶点的坐标

考虑数量积的坐标运算公式，实现几何条件代数化

~BA~BA2=-\

【答案】B

【解析】因为窝心率e=£=、11-=—»解得2=:，〃=''，

a\a23幻99

4,4分别为C的左右顶点，则4(-〃,0)，4(。，。)，8为上顶点，所以例0力).

所以瓦彳=(一°,一/)),既=(出一6),因为鬲国=一1

所以_/+〃=_],将〃代入，解得〃=94=8,故椭圆的方程为兰+广=1,故选B.

998

A题型02椭圆、双曲线的几何性质及应用

技法指导

L椭圆、双曲线中叫b,c之间的关系

(1)在椭圆中：a2=b2+c2,离心率为e=3=J1—授;

(2)在双曲线中：c2=a2+b2,离心率为e=；=Jl+=

2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标

(1)双曲线指一捺=1(<7>0,6>0)的渐近线方程为尸号，焦点坐标为E(—c,0),Fi(c,0);

(2)双曲线三一(=1(40,Q0)的渐近线方程为尸土%,焦点坐标为E(0,-c),Fi(0,c).

3.（2023•新课标I卷T5）设椭圆G:=+/=］（〃>i）,c,：£■+/=］的离心率分别为若当=百q,则〃=

a'4

（）

A.—B.y/2C.V3D.x/6

【思维探究】

看到什么想到什么

过月作平行于歹轴的直将文字语言转化为符号语言，联想离心率

线交C于力，8两点的定义表示qg

|4.41=13,|461=10建立参数的方程，实现几何条件代数化

双曲线C的离心率解关于参数a的方程

【答案】A

【解析】由02=百弓，得e；=3e；,因此今=3xg,而所以°=苧，故选A

【技巧】/>2=屋一02消去从转化为含有？的方程（不等式）求解

22

4.（2024•新课标I卷T12）设双曲线C:「-4=l（">0,力>。）的左右焦点分别为6、6,过月作平行于）'轴

a'b~

的直线交C于4,B两点,若|丹川二13,|/41=1（）,则C的离心率为.

【思维探究】

看到什么想到什么

过月作平行干歹轴的百将文字语言和符号语言翻译为图形语言，作出

线交C于48两点图形；将平行条件代数化

|6.41=13,|481=10由长度表示为定义的形式从而得到关系式

双曲线。的离心率根据所给a,b,c的值直接代入离心率公式

【答叫

【解析】由题可知4民工三点横坐标相等，设力在第一象限，将x=c代入£一《=1

a'"

/2（/,2\（L2\"2/2

得y=±—»Act—,Bc,一~—,故|力川==10，\AF^=—=5»

【技巧】二级结论：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为“

a

又|力凰—X名|=①,得|4用=恒用+2。=2。+5=13,

解得。=4,代入欧=5得〃=20,

「6?

故c，=/+〃=36,,即c=6,所以e=—二二二—

a42

5.（2025•天津河西•二模）己知双曲线C：£-£=1（"02>0）的左、右焦点分别为耳，F、,过片作直线

a~b-

分别交双曲线的左、右两支于N两点，满足无耳=2而，且加•（丽一丽）=0,/再，则双

曲线。的渐近线方程为（）

A.y=tRxB.y=+J1XC.y■»±2>/2xD.y=±3x

【答案】A

【解题指导】垂直关系向量表示f—△•明为等边三角形一>双曲线定义以及余弦定理f

c2=la\一求出渐近线方程.

【详解】由拓碇一丽）=0,得而丽=0,即A/P_LA%,

又丽=丽,得P为人写的中点，则的V|=|MK|,

又2F\NF】=60。,于是AWV鸟为等边三角形，设的边长为m,

由双曲线定义知，|*；|—|N周=2口，|"玛一|历用=2%

则网用=机+2〃，\MFy\=m-2a,

又I町町|=MM=m，则〃?+2。—（机一2。）=，〃，解得羽=4。,

在名中，由余弦定理得留用2=NE『+N周2-2W/NK|COS60。，

即（2c），=36/+16/-2-6。Zag,得c2=7〃，b2=6a2,b=&，

所以双曲线C的渐近线方程为y=±#r

【易错提醒】先双面线焦点的位荒，再求〃与8的比值，进而得出双曲线的渐近线方程，两条渐近线的倾

斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，歹轴对称.

故选A

A题型03抛物线的几何性质及应用

技法指导

1.抛物线的焦点坐标与准线方程

⑴抛物线V=±2px(p>0)的焦点坐标为(号0),准线方程为x=M；

(2)抛物线^=±2〃)，(p>0)的焦点坐标为(0,由，准线方程为尸千多

2.抛物线的焦点弦的几个常见结论：

谀43是过抛物线产=2px(p>0)的焦点Z7的弦，若/(乃，y\),8(x2,yi),a是直线44的倾斜角，则

(1冈噂吟y\y2=-p2.

(2)|J5|=xi+X2+p=^.

(3)1+1-2.

Vf\FA\\FB\p

(4)以线段48为直径的圆与准线x=4相切.

6.12025新高考2卷T6)设抛物线。:产=2px(〃>0)的焦点为凡点力在。上，过力作C的沿线的垂线,

垂足为4,若直线8尸的方程为歹=-2》+2,则|力尸卜()

A.3B.4C.5D.6

【解题指导】由直线8尸求出焦点尸和P->抛物线C的方程一抛物线的准线方程和点8f求出了」和3

由焦半径公式求解.

【答案】C

【解析】对/":y=-2工+2,令y=o,则x=l,

所以尸(1,0),p=2即抛物线C：「=4.j故抛物线的准线方程为X=-1,

故B(T4),则心二4,代入抛物线C:/=4x得a=4.

所以|力曰=恒司=4+]=4+1=5.故选：C

7.(多选)(2023•新课标II卷T10)设O为坐标原点，直线y=-G(x-l)过抛物线C：/=2px(p>0)的焦点,

且与。交于M,N两点，/为。的准线，则().

Q

A.〃=2B.\MN\=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.△OMN为等腰三角形

【思维探究】

看到什么想到什么

直线y=-6(x-i)过抛物线将文字语言和符号语言转化为图形语言，整合已知信息

C:y2=2px(p>0)的焦点得焦点坐标，明晰抛物线方程

直线与。交于时，N,求|MN|为抛物线焦点弦，联想焦点弦的几何性质与结论

/为。的准线，以MN为直径结合抛物线的定义联想到与准线相关的几何性质，联想

的圆与/相切直线与圆位置关系判断方法

△OWN为等腰三角形联想到抛物线的对称性以及等腰三角形的等价条件

【答案】AC

【解析】A选项：直线y=-6(工-1)过点(1,0),所以抛物线Cj2=2px(p>0)的焦点"(1,0),

所以］=l,P=2,2p=4,则A选项正确，且抛物线。的方程为产=©.

B选项：设M(X”M),N(X2，H),

由上「一"(1)消去，并化简得3——=(%-3)(31)=0,

y'=4x

解得M=3，W=；，所以即|=为+吃+〃=3+；+2=号，B选项错误.

【技巧】焦点弦长：IABI=»+也+〃=鼻

sinu

C选项：设MN的中点为A,4到直线/的距离分别为4,49,

因为d=1(4+dJ=；(MH+WH)=与小”，

即A到直线/的距离等于MN的一半，所以以为直径的圆与直线/相切，C选项正确.

【技巧】以焦点弦48为直径的圆与准线/相切，以/尸或8/为直径的圆与y轴相切

D选项：直线y=-\/i(工一1),即+y-6=0,

O到直线小+尸石=0的距离为4。，

所以三角形。M/V的面积为正=辿，

2323

由上述分析可知必=—\回(3-1)=-2>/3,必=2.,

所以1叫=亚伞可=回阿=J（£]+律）=乎,

所以三角形OWN不是等腰三角形，D选项错误，故选AC

【解后反思】应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、

对称轴、开口方向等几何性质，依现了教形结合思想解题的直观性

A题型04圆锥曲线的切线问题

技法指导

01锥曲线的切线和切点弦的相关结论

•1）过椭圆5+g=l上一点P（xo,yo）的切线方程为竽+攀=1；

（2）过楠圆[+[=1外一点PG。％）的切点弦方程为写+晋=1;

（1Oab-

13）过双曲线营-5=1上一点P（xo，yo）的切线方程为苧-胃=1;

厂0广0

(4)过双曲线定一市=1外一点P（x0,yo）的切点弦方程为竽-耦=1.

[5）抛物线）J=2px（p>0）上一点P（x（）,yo）的切线方程jby=p（x+/）

（6）抛物线歹2=2px（p>0）外一点尸（.%,外）的切线方程为歹=p（x+%o）

8.己知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为\十与=1（。>。>0）,则椭圆在其」一一点题%丁。）处的切线方程

a~b~

为充爷=1,试运用该性质解决以下问题：椭圆C：,x十上-炉-=l（a>b>0）»其焦距为2,且过点

a2b1

点8为G在第一象限中的任意一点，过8作G的切线/,/分别与X轴和N轴的正半轴交于CD两点，则

△OCO面积的最小值为（）

A.辛B.72

C.SD.2

【答案】B

1

【解析】根据题意得c=l,根据待定系数法得।,2_1，解得〃2=1，

b2+\b2"

所以椭圆的方程为工+产=1,

2-

设点以小,先）,由题知过点8与椭圆相切的切线/的方程为：当+%y=i,

<2（\}1211

所以。—,0,D0—,所以AOC。的面积为5=彳乂一x—=—,

2

（%）Iy0JX。为XM

因为lj+ya2摩碣,。，当且仅当x°=j。时等号成立;

所以」一N五，所以AOCZ）面积的最小值为血，故选B.

xf）y（）

9.过双曲线。:「-二=1（4>0力>0）上一点尸作双曲线C的切线/,若直线OP与直线/的斜率均存在，且斜

a'b~

2

率之积为W，则双曲线。的离心率为（）

V29V30「底V30

AA•-----Ln5•-----lz♦-----n•-----

5355

【答案】C

【解析】设尸（x0/o）,由于双曲线C在点2（%,%））处的切线方程为华-皆=1，故切线/的斜率;

矿b~。20

因为女丸尸=.则毕1则4=2,即双曲线c的离心率叵，故选c.

5ay0/5/5V55

1.12021•新高考全国II卷T3）抛物线产=2*（〃>0）的焦点到直线广x+1的距离为拉，则夕=（）

A.1B.2C.2及D.4

【答案】B

【解析】抛物线的焦点坐标为（l,。），其至U直线X―歹+1=。的距离：「.一”［石'

J1+1

解得：〃=2（。=-6舍去）.故选B.

2.（2025・新高考1卷T3）若双曲线C的虚轴长为实轴长的々倍，则。的离心率为（）

A.41B.2C.x/7D.2\/2

【答案】D

【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2”,242c,由题知，b=@a，

于是a?+〃=(?=/+7。?=8片，则c=2缶，即<?=£=2&.故选：D

a

3.(2022•全国乙卷T6)设产为抛物线C:/=4x的焦点，点X在。上，点8(3,0),若=则|"|=

()

A.2B.242C.3D.372

【答案】B

【解析】由题意得,尸(L0),则|4尸|=庐尸|=2,

即点A到准线x=T的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，力(1,2),所以|力耳=1(3—lf+(0—2)2=2&.故选B

2

4.(2023•全国甲卷T5)设耳行为椭圆C:工+/=]的两个焦点，点户在C上，若丽.丽=0,则讣|尸巴卜

5

()

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】方法一：因为丽•庵=0,所以玛=90°,

从而S“M=b2tan45o=l=；x|P£HP巴|,所以1MHp用=2.故选B.

方法二：因为西•电=0,所以//由尼=90',由椭圆方程可知，?=5-l=4=>c=2，

所以|「£(+归段2=国用2=42=]6,又归用+|尸勾=2°=2石，平方得：

|»f+|PK『+2|?/次|=16+2|?用E=20,所以|P£|・|P周=2,故选B.

5.(2022・全国甲卷1'10)椭圆。:£+与=1(4>6>0)的左顶点为4点P,。均在。上，且关于y轴对称.若

a"b’

直线4P,/Q的斜率之积为:，则C的离心率为()

1

A百R&cn1

A.B.C.vD•二

2223

【答案】A

【解析】设P(x"J,则。(fJ.)

则由3P4仅=；得：3P・3o=+.)r=T^1，

v

4x1+a-x]+a一芭+6f4

，2,2/22\（a，T：）

1

由冬+9=1,得必2,所以一滔—1b_\

,,：）即=

^4

所以椭圆C的离心率e=?=值J=当

故选A.

6.（2025•天津卷T9）双曲线二-二=1（。>0,〃>0）的左、右焦点分别为片,用，以右焦点8为焦点的抛物

crb~

线），2=2px（p>0）与双曲线交于另一象限点为P,若忸々"忸用=3忻可，则双曲线的离心率。=（）

A.2B.5C.D.

22

【答案】A

【解析】根据题意可设巴（§,0），双曲线的半焦距为％P（x。,.%）,则p=2c,

过6作x轴的垂线/,过。作/的垂线，垂足为儿显然直线力耳为抛物线的准线，则PH=|PFJ,

阀卜忙闾=2。|P£|=3c+a

由双曲线的定义及已知条件可知

同|+|P闾=6c|〃工|=女_。=|"力「

由勾股定理可知|4用2=y2=忸耳「_幽『='c.

易知y；=4cx(”:.Xo=3〃，即再一等=2^-----J、=],

整理得2c2-3ac-2/=0=(2c+a)(c-2a),：,c=2a,即离心率为2.故选A

7.椭圆£：5+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为片，F「若乃与抛物线=8x的焦点重合，椭圆石与

过点尸（9,3）的累函数y=x"的图像交于点。，且需函数在点。处的切线过点片，则椭圆的离心率为（）

A.yB.与C.4D.V3-1

【答案】B

【解析】由题意，抛物线/=8工的焦点为鸟（2,0）,则月（-2,0）,

又因为累函数歹=.丫“过点尸（9,3）,则3=9",则。二;，

所以幕函数为y=%=6,设。卜。,后），

则在点。处的切线斜率为〃二^^，

则可得切线方程为y-x。=），

由基函数在点。处的切线过点A（-2,0），可得-JW=工友（-2-%）,

解得%=2,即。（2,0）,又点。在椭圆上，

49

则—+—=1,11,a:=A:+4,解行矿=8,/>=4.

ab~

241

则a=241>所以e=£,故选B

a^=T

8.（多选）（2025•湖南娄底•期末）已知双曲线C：二一口=1（Z?>0）的右焦点为E,直线/"+"=0是C

4b‘

的一条渐近线，P是/上一点，则（）

B.C的离心率为诬

A.。的虚轴长为2应

2

C.|PF|的最小值为2D.直线P/的斜率不等于

【答案】ABD

【解析】因双曲线C：H-E=1的渐近线为y=±*,由题有g得到〃=2,

4b22b

对于A,因为虚轴长为26=2及，正确，

对于B,因为。的离心率为e=£=.+咚=/71=必，正确，

a\a2\22

对于C,因为直线/:x+回=0,4疝。），所以尸（而0）到直线的距离为

所以归日的最小值为应,错误,

对于D,因为过点尸（疯0）且斜率为-岑的直线方程为丁=-9卜叫,

即y=—¥x+百与直线/：'+际=0平行，又p是/上一点，

所以直线。户的斜率不等于-巫，正确，故选：ABD.

2

9.:多选）（2025•辽宁沈阳•三模）设椭圆C：E+己=1的左、右焦点分别为月,人/是。上的动点，则下列

2516

说法正确的是（）

A.忱司的最大值为8

4

B.椭圆C的离心率6=三

C.乃面积的最大值等于12

D.以线段£鸟为直径的圆与圆。-4）2+3-3）2=4相切

【答案】ACD

【解析】椭圆C:1+\=1的长半轴长。=5,短半轴长6=4,则半焦距。=而工7=3，

对于A,|尸用的最大值为a+c=8,A正确；

对「B,椭圆。的离心率e=£="B错误；

a5

对于C设点P&Jo）,则1%1nMx=4,而WC（=2c=6,

因此ASE面积的最大值等于;x6x4=12,C正确；

对于D,以线段66为直径的圆为/+_/=9的圆心。（0,0）,半径4=3,

圆（工一4）2+3-3）2=4的圆心。（4.3）,半径&=2,|OC|=5=/;+G，则圆。与圆C外切，D正确.

故选：ACD

10.（多选）（2022•新高考全国I卷TI1）已知。为坐标原点，点题1,1）在抛物线。=2抄（p>0）上，过点

8（0,-1）的直线交。于P,0两点，则（）

A.C的准线为y=TB.直线与C相切

C.\OP[^）Q\>\OA\D.18Pl胡『

【答案】BCD

【解析】将点A的代入抛物线方程得l=2p,所以抛物线方程为Y=j/,故准线方程为歹=-：,A错误；

38=噌2=2,所以直线48的方程为y=2x-l,

联可得X2-2X+1=0,解得工=1,故B正确；

[x-=y

设过6的直线为/,若直线/与V轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为），=米-1,2再，居）,。（.。,%），

联立{2，得/-公：+1=0，

[x~=y

△二公一4>0

所以,X]+x2=k,所以〃〉2或£<-2,必乂=(%占)2=1,

中2=1

又|。0|=)$2+M2=^必+必2,|O2|=J*+)=Jy2+y3

2

所以ICPI•ICQ1=而1「由律U=^cx^fcxz=\k\>2={OA\,故C正确：

因为|6尸|=Jl+公区I，\BQ|=VT+F|x2|»

所以|8尸|•|〃。|=(1+/)|卬:2|="X>5,而|8川2=5,故D正确.

故选：BCD

11.(2024•天津卷T12)已知圆(x-l)2+/=25的圆心与抛物线产=2川的焦点厂重合，且两曲线在第•象

限的交点为A,则原点到直线AF的距离为.

4

【答案】：

【解析】圆(4-1)2+/=25的圆心为尸(1,0),故5=1即〃=2,

由乂：-1)+'=25可得,+2》_24=0，故X=4或X=-6(舍)，

y-=4x

故，4(4,4),故直线―：1g(x-1)即4x-3y-4=0,

故原点到直线4b的距离为d=g=3，

12.(2021•全国甲卷T15)已知「鸟为椭圆C：鸟+《=1的两个焦点，P，。为。上关于坐标原点对称的

164

两点，且|尸。|二向周，则四边形尸石。用的面积为.

【答案】8

【解析】因为忆。为C上关于