第14章 全等三角形（单元自测·拔尖卷）-人教版八年级数学上册（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（24-25七年级下•河北张家口期中）如图，三△ADE,乙力=50。，乙3=30。，则4B。。的度数为

()

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】先根据全等三角形的性质，得到乙。=48=30。，再根据三角形的外角的性质得出

乙BOD=4力+=110°.

【详解】解：

:•乙D=乙B=30°.

•:乙BOD=LOCD+乙D,Z.OCD=z.A+z.B,

心OD=/-A+Z,B+Z,D=50°+30°+30°=110°.

2.（25-26七年级下•山东枣庄•阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（）

【分析】逐i求出各选项的隐含条件，进而判断即可.

【详解】解：A.根据等腰二角形的定义可知两底角均为70。，贝J顶角为180「7。。-70。=40、根据SAS可

证明和题干图全等：

B.根据三角形内角和可知第三个角为180。-70。-40。=70。，可知是等腰三角形，且腰长为6,根据SAS可

证明和题干图全等；

C.根据三角形内角和可知第三个角为180。-70。-40。=70。，可知是等腰三角形，且腰长为6,根据SAS可

证明和题干图全等；

D.根据三角形内角和可知顶角为180。-70。-70。=40。，但不知道腰长数据，无法证明全等.

3.（2025•河北邯郸•一模）有一张三角形纸片A8C,已知，8=/C=a,按如下两种方案用剪刀沿着箭头方

向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打"V",若不一定全等打"x〃.则下列判断正确的是（）

B.方案一：x、方案二：x

C.方案一：X、方案二：VD.方案一：V、方案二：x

【答案】D

【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案一，只有当

点N是8C中点时，两个阴影部分的三角形才能全等.

【详解】解：如图，方案一:

AA

BM3CBN

方案一方案二

vzH+Z.BDM+Z.BMD=180°,LBMD+a+Z.CME=180°,LB=a,

.ZBDM=ACME.

又BD=MC=3,

••.在△BOM与ACME中，

■Z.B=£C

BD=MC

LBDM=MME'

•••ABOM三△CME(ASA),

即方案一正确：

方案二：

只有当点N是BC中点时，两个阴影部分的三角形才能全等，

•••方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等.

4.如图，AB=AC,角平分线8凡CE交于点0,4。与BC交于点。，则图中共有全等三角形()

A.5对B.6对C.7对D.8对

【答案】C

【分析】根据题意和图形，可以写出全等的三角形，从而可以得到图中全等三角形的对数，本题得以解决.

【详解】解：储8=4C,角平分线4尸、CE交于点、O,

-AO平分®C,点D为BC的中点,

:.BD=CD,

在△84。和中,

（AB=AC

\AD=AD

iBD=CD'

:ABAD三ACAD（SSS）；

同理可证：△03。三△OCQ,△O4E三△OC凡AOEA三AOFA,AOBAdOCA,△BESACFB,△ABFmAACF,

由上可得，图中共有7对全等的三角形，

故选:C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

5.（25-26七年级下•河南开封•期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸48两点间的距离〃这

一问题，设计了如下方案.测量步骤：①在点8所在河岸同侧的平地上取点C和点。，使得点4B,C

在一条直线上，且CO=8。；②测得乙。=100。，^ADC=65°；③在CD的延长线上取点E,使得

Z5EC=15°；④测得DE的长度为30m.贝U48两点间的距离为（）

A

■

A.20mB.25mC.30mD.35m

【答案】C

【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得乙。10=ZBEC,可证明

△4。。三△ECB(AAS),从而得到/1C=CE,即可解答.

【详解】解：•••"=100°,Z.ADC=65。，

•••4。=180°-^C-^ADC=15°,

“BEC=15°,

^z.CAD=乙BEC,

在△4CD和△ECB中，

vzC=Z-C,Z-CAD=乙BEC,CD=BC,

△4C0三△ECB(AAS),

•'-AC=CE,

-CD=BC,

:.AC-BC=CE-CD,即/IB=DE,

-DE的长度为30m,

二/IB=DE=30m,

即,4、4两点间的距离为30m.

6.（25-26八年级上•河北衡水・期末）如图,在四边形4BCD中,80平分乙48C,CO18C,点E在边BC上,

DE=AD,若S^ABD=24>•^△BED=13,则SMDE的值为（）

A.5.5B.6.5C.11D.12

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点。作CFJL4B于点凡由角平分线的

性质可得。F=CD，证明△力Z）/WZiEZ）C（HL）,则有S。”=S^DE，同理可得S.DF=5幼”,然后通过

S4ABD-S4ADF=S&BED+S/^CDE即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键•

【详解】解：如图，过点D作DFIAB于点尸，

•••BD平分〃8C,CD1BC,

加=CD,

•••4D=DE,

二△4。尸三△EDC(HL),

:SAADF=S4CDE，同理可得=S"DC，

:'^LABD~^^ADF=S^BED+S&CDE，

即24-S^CDE=134-SMDE，

:，SACDE=5.5，

故选：A.

7.(25-26八年级下•河南周口•阶段检测)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度,

点4B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点F,若NCFB=a，则/4BE等于()

A.1800-aB.180。-2aC.90。+aD.90°+2a

【答案】C

【分析】延长CA至点G,使GD1CG,延长CB至点H,使EH1CH,构造全等三角形

△CGO三△8H£(SAS),得到4GCD=4”8已由外角的性质可得a=再由AC18C,直角

三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得到乙=90°-a,最后根据4力8E=乙ABH+Z

HBE=180。一乙48c+/"BE计算即可.

【详解】解：如图，延长。4至点G,使GDLCG,延长CB至点H,使EH1CH.

由图可知：CG=BH=4,NG=z”=90。，GD=HE=1,

.♦.△CGD三△BHE(SAS),

•••LGCD=乙HBE.

vz-CFB是△ACF的外角，

LCFB=Z.CAF+乙GCD,即a=Z.CAB4-乙HBE.

vAC1BC,

A/.CAB+乙ABC=90°,^LCAB=90°-Z.ABC,

••・a=900-Z-ABC+乙HBE,=90°-a.

VLABE=/-ABH+乙HBE=180°-N4BC4-乙HBE=180°—（4力8c-4H8E）,

LABE=180°-（90°-a）=90°+a.

8.（25-26八年级上•安徽合肥•期末）如图，四边形力瓦边中，

AB||CD,AB=4,CD=10,/ID=AE.BF=BJDAE=Z.CBF=90°,则四边形4/8E的面积为（）

A.6B.7C.12D.20

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型.

过点D尸,C,E分别作DM14B,F，14£C/_L48,EG14B,交直线AB于点证明

△AGE^△DMA,△FHB=ABIC,则设4M=EG=x,FH=BI=y,则M/=4M+48+8/=4+x+y,

则CO=M/=4+X+y=10,求出％+y=6,再由四边形4F8E的面积=然后整体代入求

解即可.

【详解】解:过点。,F,&£分别作DM1AB,FH_LAB,C/_LAB,EG14B,交直线AB于点

MD

C

：/M=/.AGE=乙FHB=z/=90°,

•^DAE=乙CBF=90°,

AZl=Z2=90°-z3,44=乙5=90°—46,

-AD=AEfBF=BC,

:.△AGE^△DM4(AAS),△FHB^△F/C(AAS),

.--AM=EG,FH=BI,

设XM=EG=x,FH=Bl=y,

:.Ml=AM+AB+BI=x+4+y,

•••48||CD,DMLAB,CILAB,

:.CD=M/=4+x+y=10,

.-.%4-y=6,

•••四边形AFBE的面积=S2ABF+S4ABE，

•••四边形AF8E的面积=^ABxFH+\ABXEG

1

=-AB(FH+EG)

1

=-x4x(x+y)

1

=-x4x6

L

=12,

故选：C.

9.(25-26七年级下•山东济南•期末)如图,Z.ACB=90°,AC=BC,AD1CEfBE1CEf垂足分别为D、

E.

@DE=AD-BE；

④若乙BCE=20°,则48力。=30°；

⑤取力8中点。，连接OD,OE,则△ODE为等腰直角三角形.

其中正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】根据题意可得41DE=乙CEB=90°,则BE||4。即可判断①;根据"AAS”证明△ADC三△CEB即可

判断②；由全等可得4D==8E,进而可得DE=4D-BE即可判断③；由/BCE=ZC4D,进而可

得/BAD=25。即可判断④；连接。C,根据"SAS"证明△OBEm△OCD即可判断⑤.

【详解】解：•./DICE,BEICE,

：/CEB=4ADE=90°,

BE||AD（内错角相等，两直线平行），故①正确；

又"ACB=90°,

“BCE+LACD=LCAD+£.ACD=90°,

•二乙BCE—乙CAD,

又"AC=BC,

△ADC三△CEB(AAS),故②正确；

MD=CE,CD=BE,

:.AD=CE=CD+DE=BE+DE,^DE=AD-BE,故③正确;

•:乙BCE=20°,

乙BCE=乙CAD=20°,

又"CB=90。,AC=BC,

ALABC=/.CAB=45°,

•••LBAD=LCAB-Z.CAD=45°-20°=25°,故④错误；

如图，连接。C,AB.CE相交于点G,

-Z.ACB=90°,AC=BC,点。是43中点，

••.08=OC^BOC=90°,

在△8EG和△COG中，乙BEG=LCOG=9V/BGE=UGO,

；zEBG=乙OCG,

rh（i）,可知△ACD三

•••CD=BE,

在aOBE和△OCD中，

RE=CD

乙OBE=乙OCD

OB=OC

.••△OBEWZXOCD(SAS),

••.OD=OE,则△OOE为等腰直角三角形，故⑤正确.

综上，正确的有①②③⑤共4个.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

10.如图，在△A8C中，CP平分乙ACS,AP工CP于点尸,己知△43C的而枳为2,则阴影部分的面枳为

【答案】1

【分析】延长4尸交8C于。，证明△?1”三△DCP,利用三角形的中线的性质即可得解.

【详解】解：延长AP交8c于。，

•••CP平分乙4c8,

'-Z.ACP=Z.DCP,

•MP1CP,

.•.Z4PC=ZDPC=9O",

在与中，

(AACP=Z.DCP

{CP=CP

{AAPC=^DPC'

••・△ACP三△DCP(ASA),

.-.AP=DP,

:.SXABP=^4ABD,SAACP=^4ACD,

••・阴影部分的面积=4SZ\ABC=TX2=1：

故答案为：1.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质.遇到角平分线和垂线，构造全等三

角形是解题的关键.

11.（25-26八年级上•广东广州•期末）如图,A、C、N三点在同一直线上,在△ABC中,

LA.LABC,Z.ACB=3:5:10,若△MNC=△ABC,则48cMzBCN=

【答案】1:4

【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.

根据三角形内角和定理分别求出“、乙ABC、LACB,根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即

可.

【详解】解：•:":乙ABC:2ACB=3:5:10,Z.A+/-ABC+LACB=180°,

:.LA=30°,4ABC=50°,^ACB=100°,

ALBCN=180°-^ACB=180°-100°=80°,

•••△MNCZAABC,

AMCN=/.ACB=100°,

:.乙BCM=乙MCN—乙BCN=100c-80°=20°,

:,乙BCM:乙BCN=1:4,

故答案为：1:4.

12.（25-26七年级下山西晋中期末）如图，在△48C和△AOE中，AB=AC,AD=AE,

ZR4C=Z.DAE,且点8,0,E在同一条直线上，若NB4c=50。，^DAC=13°,则Z_BCE=

A

【答案】

93793度

【分析】证明△408工△ZlEC(SAS),得出N48D=44CE,根据等边对等角求出N/WE=乙4项)=65。，

Z/1SC=^ACB=65°,根据角的和差关系求出4840=37。，根据三角形外角的性质求出4力8。=28。，即

可求解.

【详解】解：-Z.BAC=Z.DAE,

-'-Z.BAD=Z.CAE,

又“B=AC,AD=AE,

•••△ADBwAAEC(SAS),

.,.Z-ABD=Z.ACE,

-：AD=AE,ABAC=Z-DAE=50%AB=AC,

^.AADE=AAED=65°,AABC=AACB=6S。，

-Z.DAC=13°,

.'./.3AD=Z-BAC-Z.DAC=37°,

“ACE=/.ABD=LADE-^BAD=28°,

.zBCE=^ACB+LACE=93°

13.(25-26七年级下•陕西西安•期中)如图，在△ABC中，^A3C=Z.CAD=90°,AB=28C,且

AC=AD,BC=5,则△力80的面积是.

【答案】50

【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形，证明三△DEMAAS),得出4B=DE=10,即可求解.

【详解】解:如图,过点。作DE_L4B于点£,

中，/.ABC=90°,BC=5,AB=2BC,

MB=2BC=10,

vzC/lD=乙CAB+Z.DAE=90°,Z.DAE+Z.ADE=90°,

•••△CAB=Z.ADE,

在△ABC和△DEA中，

（/.ABC=L.DEA=90°

]乙CAB=Z.ADE

IAC=AD

.♦.△48CWZ\DE4（AAS）,

••AB=DE=10,

•••S^ABD=\AB-DE=x10X10=50.

14.（25-26八年级上•北京•期中）如图，在△ABC中，AC=BC,zC=90°,/ABC的平分线8。交边力。于

E,且40J.80,若BE=6,则?W=.

A

CB

【答案】3

【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练

学握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键.延长/D、8c交于点R由80_L40且BO平分

Z.ABC,证得△4FC三△8EC,可得4D=FD,再根据立产力。+/4ED=90。，乙CBE+乙CEB=9。。,Z

CE3=/-AED,证得乙凡4c=乙CBE,进一步证明△AFC=△BEC，则可得=BE,从而得至必Z)==3.

【详解】解；如图，延长力。、BC交于点F,

A

•••BD1力。且8。平4ABC,

LABD=4FBD,^ADB=乙FDB=90°,

vBD=BD,

...△4D8三△FDB(ASA),

:.AD=FD,

■"FAC+Z.AED=90°,乙CBE+乙CEB=90°,乙CEB=Z.AED,

:.LFAC=乙CBE,

在△AFC和△BEC中

(Z.FAC=乙CBE

AC=BC

VZ.FCA=Z.ECB=90。'

•••△AFC三△BEC(ASA),

“F=BE,

:.AD=^AF=^BE=3»

故答案为：3.

15.(25-26七年级下•江苏盐城•阶段检测)如图△48C的两条高40与BE交于点。，AD=BD.AC=8.F

是射线BC上一点，且CF=A。，动点。从点O出发，沿线段。8以每秒2个单位长度的速度向终点4运动,

同时动点。从点力出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点8时，P,。两点同时

停止运动，设运动时间为/秒，当△AOP与△FCQ全等时，则/的值.

【分析】先得出『的取值范围，然后分情况讨论：①当点尸在8C延长线上时，②当点F在线段8C上时,

^AOP=AFCQ,证明4AOP=N"Q,可得此时。P=”，用含/的式子表示出OP和CQ,然后得出方程,

解方程即可.

【详解】解：-AD1BC,BE1AC

"DO=乙ADC=Z.AEO=90°,

,:乙BOD=Z.AOE,

:.乙DBO=Z.EAO,

又4）=BD,

•••△DB0wZiD4C（ASA）,

:.BO=AC=8,

*'•84-2—4,

At<4,

分恃况讨论：

①如图，当点F在风:延长线上时，△AOP^AFCQ.

.-.Z.AOP=4EOO=180°-^ACB,

"FCQ=1800-zDCF,

.-.Z.AOP=MCQ,

y.-CF=AO,

当△AOP三△rCQ时，有OP=CQ.

VOP=2t,CQ=8-43

2t=8—4t,

4

解得£=3；

②如图，当点F在线段8。上时，△AOPWAFCQ.

A

同①得NAOP=乙卜CQ,

乂•••CF=4。，

.•.当△40P三△尸CQ时，有OP=CQ.

vOP=2t,CQ=4t—8,

•••2t=4t—8»

解得£=4；

4

综二，当△40P与全等时，/的值为伸或4秒.

16.如图，正方形ABCD中，CEIIBD,BE=BD,则4CUE=

【答案】30730g

【分析】把△BCE逆时针旋转90。得到△艮4G,^UBAG=Z.BCE,BG=BE,Z.GBE=90°,先证出C、4、

G三点共线，得11UBAG=135。，/-BAG=/-DAG,由SAS证明△BAGw△ZMG,得出BG=DG,证出

BG=DG=BE,即△8DG是等边三角形，得出NGBD=60。，zJ)BE=30°,再由三角形的内角和定理求出

即可.

【详解】解：把逆时针旋转90。得至力G,连接DG、AC,AG；如图所示：

^iz-BAG=Z.BCE,BG=BE,NGBE=90。，

•••四边形48CD是正方形,

：ZBCD=90°,Z.BAC=Z.DAC=乙BDC=45°,ABAD,

-CEWBD,

•kDCE=乙BDC=45°,

；/BCE=900+45°=135°,

•♦Z8AG=135°,

UBAG=135°,

'.Z.8AG+Z-BAC=135°+45°=180°,

•••点C、A,G三点共线，

.-.Z.DAG=180°-45°=135°,

•，•Z-3AG=Z-DAGt

(AB=AD

在AB/G和△ZZ4G中，'4=

IAG=AG

••.△BAG三△ZMG(SAS),

:.BG=DG,

":BD=BE,

••.BG=DG=BE,

即△BOG是等边三角形，

:/GBD=60°,

心BE=90°-60°=30°,

“BDE=乙BED=1(180°-30°)=75°,

•WDE=乙BDE—乙BDC=30°.

故答案为：30°.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三

角形的外角性质：熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

三、解答题（本大题共7小题，满分72分）

17.（6分）（25-26七年级下•陕西西安•阶段检测）如图，在△力8c中，D为AB1二一点,£为AC中点，连

接DE并延长至点R使得E"=ED,连接C£

⑴求证：CF||AB；

⑵若乙A—70。，zlF-35°,AB-BC,求乙8EO的度数.

【答案】（1）证明见解析

QLBED=15°

【分析】（1）由比包4c中点可知AE=CE,可证明三△CEF（SAS）,再根据全等三角形的性质即可证

明；

（2）根据△4ED三△CEF得乙尸=Z4CE=35°,在△力DE中，由三角形内角和得到N4ED=75。，再根据

三线合一得到BE1AC,进而得到乙=90°,然后根据N8E0=48以-2力ED即可得出答案.

【详解】（1）证明：••尤为4C中点，

-'-AE=CE,

在△力和△CEF中，

AE=CE

LAED=乙CEF

DE=EF

•••△AED三ACE尸(SAS),

.*.z4=Z.ACF,

.'.CF||AB.

(2)解：v△AED^ACEF,

•••zF=乙ADE,

•••/A=70°,乙F=35°,

LADE=35°,

在△力OE中，

Z.AED=180。一(44+/-ADE)=180°-(70°+35°)=75°,

-AB=BC,E为AC中点,

•••BE1AC,

LBEA=90°,

:.々BED=Z-BEA-Z-AED=90°-75°=15°.

18.(8分)(25-26八年级下•福建三明•期末)如图，在A/IBC中，力8=8C,点D在力B的延长线上，过点

。作。EJ.4C于点E,交BC于点F.

⑵若尸是BC的中点，求证：EF=\DF.

【答案】⑴证明：・•・OE14C,

LAED=Z.CED=90°.

:.〃+，。=90°,4C+AEFC=90°

-AB=BC,

•••LA=z.C.

/D=乙EFC.

,:乙BFD=乙EFC.

zD=Z.BFD.

(2)证明：如图2,过点B作6〃_L0E于点〃,

图2

zD=乙BFD,

BF=BD,

：.FH=HD.

"DEIAC,BHJ.DE,

ALCEF=乙BHF=90°.

•••F是8C的中点，

.・.BF=CF.

•:&BFH=乙CFE,

FBH=△FCF（AAS）.

.-.FH=EF.

FH=HD=EF,

1

:.EF=-DF

【分析】（1）由。£J_力C得乙4+乙0=90。，4C+4=90。，由AB=BC得乙A=AC,证得乙。=4EFC,

进一步可得结论.

（2）过点B作8”IDE于点H,则可证明"H=。"，再证明△△FCE,得FH=EF,得出

FH=HD=EF,故可得结论.

19.（10分）如图，△4BC和都是等边三角形，当点从C,力在一条直线上时，连接4D,BE交于

点M,连接CM,

⑴求证：AACD三ABCE.

（2）试探究线段BM与线段4M,CM之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）8M=/1M+CM,见解析

【分析】（1）利用SAS可证△BCE三即可；

（2）在。力上取点F,使。F=ME,连接CF,由全等三角形的性质得BE=4D,/.BEC=LADC,同理可证

△MEC=△FDC,由全等三角形的性质得MC=FC,乙MCE=cFCD,由等边三角形的判定得△MCF是等

边三角形，结合等边三角形的性质，即可求解.；

【详解】(1)证明：•••△48。与AEDC都是等边三角形,

.\AC=BC=ABfCE=CD,ABCA=Z-ECD=60°,

LACE=1800-Z,BCA-/.ECD=60°,

LBCE=Z.ACD=60°+60°=120°,

在△BCE和△力CD中

RC=AC

乙BCE=Z.ACD

CE=CD

BCE=△ACD(SAS),

(2)解：BM=AM+CM：

理由如下：

如图，在。力上取点凡使DF=ME,连接。尺

•••△BCE=△ACD,

BE=AD,乙BEC=Z.ADC,

AZ.MEC=乙FDC,

同理可证：△MEC三△FDC(SAS),

MC=FC,乙MCE=^FCD,

Z.MCF=/.MCE+LECF=LFCD+乙ECF=乙ECD=60°,

・•.△MCF是等边三角形，

CM=MF,

BM=BE-ME=AD-DF=AMMF=AM+CM.

20.（10分）（25-26八年级下•福建厦门•期中）如图，四边形4"。是正方形，点石是BC延长线上的一点,

AE1EF,且”交正方形外角的平分线CF于点F.

⑴求乙ECF的度数.

⑵若尸G垂直于射线8C,垂足为点G.请判断EG的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由.

【答案】(1)45°

(2)EG的长为定值，理由见解析

【分析】(1)根据正方形力BC。得至h：OCE=90。，再根据角平分线的定义求解即可；

(2)在BA的延长线上取点H,使得4H=CE,则8,=BE,得到乙，=NFCE=45。，证明

Z.HAE=90°+Z,BEA=Z.CEF,得至I」△H/EE△CEF(ASA),从而力E=EF,再证明立力E8=4EFG,即可得

出△力BE三AEG尸(AAS),因此EG的长等于正方形相CD的边长，为定值.

【详解】⑴解：•••四边形ABCD是正方形，

:/BCD=90。,

“DCE=180。一々BCD=90°,

•••"平分，。CE,

:.乙ECF=：乙DCE=45°.

(2)解：EG的长为定值，理由如下:

在B4的延长线上取点〃，使得AH=CE,

•••在正方形4BCD中，ZF=90°,AB=BC,

■，AB+AH=BC+CE,即=5E,

是等腰直角三角形，

:•乙H=45°,

由（1）有乙FCE=45°,

:/H=乙FCE,

,：AE1EF,

：.LAEF=90。，

-Z.HAE=Z,B+Z.BEA=90°+Z,BEA,

LCEF=4+Z.BEA=90°+乙BEA,

.z也4E=乙CEF,

.♦.△H力EwACE尸(ASA),

ME=EF,

•:FG1BC,

:/FGE=90°,

;占EG+Z,EFG=90°,

■^AEB+dEG-18Q°-^AEF-900,

:/AEB=乙EFG,

♦:乙B=乙FGE,

•••△ABE三△EGF(AAS),

••.EG=AB,

••.EG的长等于正方形力BCO的边长，为定值.

21.(12分)(24-25七年级下•河北石家庄•期末)如图，。为△4BC外部一点，连接力0,CD,已知

48=50。，4。=100°.

⑴尺规作图：在△48C内求作一点M,使△4MC三△AOC；

(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)①通过作图可以得到：AM=,CM=；

②判定△力MC三△/WC的依据是(从SSS、SAS、ASA或AAS中选填)；

(3)求乙BHM+ZBCM.

【答案】(1)

解：如图，点"即为所求.

（2）@AD,CD,②SSS

（3）50°

【分析】本题考查作图一复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

（1）根据题意，以点力为圆心，40为半径画弧，再以点C为圆心，CO为半径画弧，两弧交于点连接

AM,CMf^AM=AD,MC=DC,AC=AC,所以证明△AMC三△/OC,即可作答.

（2）①根据题意可得答案.②结合全等三角形的判定可得答案.

（3）结合全等三角形的判定可得乙AMC=4。=100。，在△4BM中，484M=180。-一IBM-4AM8,在

△BCM中，乙BCM=180°—乙CBA1-乙CMB,则可得乙84M+乙BCM=360。一4力80（360。一乙IMC）=500.

【详解】（1）略

（2）解：①通过作图可以得到：AM=AD,CM=CD.

故答案为：AD；CD.

②结合作图得AM=AD,CM=CD,

-AC=AC

••・判定△AMC=△AOC的依据是SSS.

故答案为:SSS.

（3）解：在△ABM中，/-BAM=,

在△8cM中，Z-BCM=1800-NCBM-4CMB.

•：AAMC^/^ADC,

"AMC=ZD=100°.

：.LBAM+乙BCM

=1800-Z,ABM-/.AMB+1800-z.CBM-Z.CMB

=360。一4ABC一（4力MB+乙CMB）

=360°-Zz4fiC-(360°-z/lMC)

=360o-50°-(360o-100°)

=50°.

22.(12分)(24-25八年级上•甘肃临夏•期末)综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知

识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

【发现问题】

(1)如图1,在△力8c和中，AB=AC,AE=AF,^BAC=^EAF,连接BE,CF,延长交CF于

点D.则8E与CF的数量关系为：.

【类比探究】

(2)如图2,在△4BC和/中，AB=AC,AE=