高一数学 第三章 函数概念与性质 综合检测培优B卷（解析版）

高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章综合检测卷(培优B卷)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.下列四组函数中，表示同一函数的是()

A./(x)=x与g")=W

B./('=+2尸与g(x)=

C..f(X)=\fxg(X)=~^=

D-==

【答案】D

【分析】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案.

【详解】对选项A,因为,/(x)=x定义域为R,g(x)=N定义域为R，定义域相同，

但/(加g。),所以/(力，g(1)不是同一函数,故A错误;

对选项B,因为/(力=J(x+2)2定义域为R,g(x)=(x/m『定义域为｛x|x2-2｝,

定义域不同，所以“X)，g(x)不是同一函数，故B错误；

对选项C因为〃力=&定义域为｛小20｝,g(%)=京定义域为3不>。｝,

定义域不同，所以“"，g(x)不是同一函数，故C错误；

对选项D,因为/(x)=x定义域为R,=定义域为R,

又g(x)=#7=x=/(x),所以/('),g(x)是同一函数,故D正确.

故选：D

/(x+l),x<0//

2.已知函数/。)=匕，/C，则/(/H)=()

x-3X-4,JI>0'〃

A.-6B.0C.4D.6

【答案】A

【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得f(-4)=f(l)=Y,进而求目标函数侑.

【详解】由分段函数知：当xWO时，周期7=1,

所以〃-4)=/(T+5)=〃l)=l—3-4=-6,

所以/(/(T))=〃-6)=/(-6+7)=/(1)=-6.

故选：A

3.已知函数/3=(〃"2〃L2”-2是呆函数，且在((),+⑹上递增，则实数〃?=()

A.-1B.-1或3C.3D.2

【答案】C

【分析】根据呆函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.

【详解】由题意知：M-2〃L2=1,即("Z+1)(〃2—3)=O,解得巾=T或〃?=3,

自当机=一1时，，〃-2=-3,则/(%)=犷3在(0,+8)上单调递减，不合题意；

当加=3时，/n-2=l,则/(工)="在(0,转)上单调递增，符合题意，

回/〃=3,

故选：C

4.函数)，=，？+21—3的单调递减区间是()

A.(YO,-3]B.[l,+oo)C.(Y0，TD.[-I,4-co)

【答案】A

【分析】首先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性写出单调区间即可.

【详解】由f+2x-3?0,得xW-3或让1,

•••定义域为(e,-3]“l,+oo),

/.j=&+2x—3的单调递减区间为(-8,一司.

故选A

【点睛】本题考查函数的单调区间，函数的单调区间是函数定义域的子集，所以求解函数的单调区间时,

必须先求出函数的定义域.

av,x>1

5.已知/(x)=「,〃是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()

'4——\x+2,x<\

<2；

A.[4,8)B.(0,8)C.(4,8)D.(0,8]

【答案】A

【分析】根据分段函数的单调性，即可解出.

ax,x>l

【详解】因为吟，=是R上的单调递增函数，

4--x+2,.r<1

I2)

a>0

则4-3>。解得，4<«<8

axl>/(1)=4-^+2

故选:A.

6.已知哥函数/(力=/1若八"+1)</(10-2”)，则〃的取值范围为()

A.(—3,5)B.(-5,3)C.(-5,-3)D.(3,5)

【答案】D

【分析】根据基函数=的单调性与定义域可解不等式勿).

【详解】因为密函数“x)=xT的定义域为(0,+力)，且/(x)是定义域上的减函数，

所以若/(。+1)<”】。-2“)，则"0-2。>0,解得3<a<5.

。+1>10-2a,

故选：D.

7.已知函数〃x)=43-x)+警的图象过点(0,1)与卜则函数/(X)在区间[1,4]上的最大值为()

3758

A.-B.-C.-D.-

2345

【答案】B

【分析】由条件列方程求。力，由此可得函数/(x)的解析式，再由基本不等式求其最大值.

【详解】因为函数/(x)=a(3-.r)+*的图象过点(0,1)与卜向，

9但，

所以"0)=1，"3)=1则44,

434=1

解得b=3,

故函数/(x)的解析式为：/(x)=-^--^+I.

人I1J

而“加舍后山小令=\33X+1J31I3x+\7

"T77T3Vx+133

当且仅当x=2时取等号,

函数/(X)在区间［1,4］上的最大值为压.

故选：B.

8.已知奇函数/(x)在区间(0,+?)单调递减，且"2)=0,则不等式“<0的解集为(

)

A.(-2,0)U(2,-^)B.(-oo,-2)U(0,2)C.(-00,-2)u(2,-bx>)D.(-2,O)U(O,2)

【答案】C

【分析】由题设易知J")在(-?,。)上递减且/(-2)=(),根据题设小等式讨论x>0、x<0结合区间单调

性求解集即可.

【详解】由题设，/(“在［？，。)上递减，且/(一2)=0,

由/”(“晔〈°,

XX

当工>0时，/(“)<(),可得x>2；

当xvO时，/(x)>0,可得xv—2；

综上，不等式解集为(-—2)52”).

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分.

9.设函数/%)=,：；：：：，，若〃1)=2/(0),则实数。可以为()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】BCD

【分析】根据题意，分。<0,0,,〃<1和三种情况讨论，验证/⑴=2/(0)是否成立，综合可得。的取值

范围，分析选项可得答案.

\-x,x<a

【详解】解：根据题意，函数/（工）=

x1+\,x>a

若。<0，/(1)=12+1=2,y(O)=O2+l=l,满足。。)=2〃0),

若/(0)=1-0=1,/(1)=1+1=2,满足/(l)=2/(o),

若/(0)=1-0=1,/(1)=1-1=0,不满足/(1)=2/(0),

故。的取值范围为（-81），分析选项：BCD符合,

故选：BCD.

10.已知函数则表达正确的是（）

x

A.函数/（x）的单调递减区间为（-8,0）,（0,1）B.（l,*c）为函数/（x）的单调递增区间

C.函数/（力有最小值,无最大值D.函数/（X）满足/（文）+/（-戈）二一2

【答案】BC

【分析】画出图形，利用函数图象进行判断.

【详解】作出/“）=主4=1-'的图象，

xx

所以/(1)+/(7)=2,故D错误.

故选：BC.

11.对于定义在R上的函数/（“，则下列判断正确的是（）.

A.若函数f（x）满足/（-2）=/⑵,则是偶函数

B.若函数/（M满足/（一2）*/（2）,则“X）不是偶函数

C.若函数/(X)满足/(2)>/(l),则/(x)是R上的单调增函数

D.若函数“X)满足〃2)>〃1),则/(力不是R上的单调减函数

【答案】BD

【分析】根据奇偶函数的定义及特例判断AB,由单调性的定义及特例判断CD.

【详解】A选项，若/(x)=x(x2—4),则〃-2)=0,/(2)=0,故/(-2)=/(2),又/(力的定义域为R,

关于原点对称，且/(r)=-x[(-疔-4]=-4/-4)=--3,所以/(1)为奇函数，故A错误；

B选项，依据偶函数的定义知：若/")为偶函数，则/(T)=/(X)，则可知满足/(2)工〃-2)的函数必然

不是偶函数，故B正确；

C选项，若〃")=-,则=⑵=4,/(1)=1,故/(2)>/(1),但函数了(力=X2在(一。⑼上为减函数,在

(。,2)上为增函数，故C错误；

D选项，因为2>1,/(2)>/(1),所以/(力不是R上的单调减函数，故D正确；

故选:BD

12.符号国表示不超过x的最大整数，如[-3.5]=T,[2.1]=2,定义函数，")=%一国,则下列结论正确

的是()

A.B.函数/(x)是增函数

C.方程/(X)-击=。有无数个实数根D.7(x)的最大值为1,最小值为0

【答案】AC

【分析[作出函数的图象，结合函数的图象对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可.

x,0<x<l

【详解】作出/(X)=X-[X]=XT1GY2的图象如图：

x-2,2<x<3

对FB,函数，(x)每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，函数八处在定义域R上是周期函数，不是

增函数，所以B错误；

对于C,函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程/(x)-焉=()有无数个根，所

以c正确；

对于D,由图可知八M=x.•.函数八*)无最大值，最小值为0,所以D错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是画出函数/0)的图象，意在考查学生数形结合的数学思想的运用.函

数的图象是研究函数的一个重要手段，要在解题中灵活运用.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数)=/(力是定义在R上的奇函数，且/(x)=V+x,则/(1)=

-x2+x,x<0

【答案】/("二•

x2+x,x>0

【分析】根据奇函数的定义/(r)=-/(x),求解函数的解析式.

【详解】团函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，0/(0)=0

Vx<0,-x>0,则/(-x)=x2-x

又f(-x)=-/(x),

团/(x)=——(—x)=-Y+x，将o代入可得，0也满足该式,

0f(x)=-f(-x)=-x2+x,x<0.

-x2+x,x<0

故答案为：/（力=

x2+x,x>0

14.已知点（a0.5）在辕函数〃x）=（a-l）f的图像上，有以下4种说法:

①/（"为奇函数;

②/（“为偶函数；

③/"）在（。，+8）上单调递增:

④/"）在（。，+8）上单调递成

其中所有正确说法的序号是.

【答案】①④

【分析】根据品函数的定义，求出参数，再由函数的单调性和奇偶性即可判断.

【详解】解：由题可知，=故。=2,将点（2,0.5）代入得2=；,

解得：。=-1,故定义域为（口,0）11（0,内），

.1

又f（T）=」-=-'=-/（X），所以/（X）为奇函数，所以①对，②错.

一XX

|]x一x

任取。<西<々，则/（X）—/*2）=-----=--L>0,即/（再）>/«）,

再X2百彳2

故F（X）在（。，+8）上单调递减.所以④对，③错.

故答案为：①④.

15.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产••单位产品，成本增加100元，已知总收益R与

年产量大的关系式R*）=,00"-]'*"'"".,则总利润最大时，每年生产的产品数量是.

80000,J:>400

【答案】300

【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于x的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最

值，从而可得结果.

【详解】设总成本为C元，总利涧为尸元,则C=20000+100x,

300x---20000.0<x<400.,.,,300-x,0<x<400,

P=R-C=)2所以P'hri

-100,x>40€i,

60000-100x,.r>400,

令y=0,得x=300.当0<x<300时，P>0；当X>300时，P<0.所以当"=300时，〃取得最大值.

故答案为：300.

/\2

16.己知函数/（*）="+：）"：。，则关于X的方程一4（x）=o（a«o,3））的所有实数根的和为

%—Jkx＞0

【答案】3

【解析】由/2（x）-〃x）-o可得出/（可一。和/（"）一"々«0,3））,作出函数,，一/（力的图象，由图象可得

出方程〃x）=0的根，将方程/（刈=。（。£（0,3））的根视为直线产。与函数），=〃x）图象交点的横坐标，利

用对称性可得出方程/（x）=a（〃w（0,3））的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和.

【详解】•・"2（x）—4（力=（）（。＜。＜3）,••J（x）=0或/（司=。（（）＜。＜3）.

方程“力=。（0＜。＜3）的根可视为直线），=〃与函数y=/（x）图象交点的横坐标，

作出函数），=/（"和直线的图象如下图：

由图象可知，关于x的方程/（力二。的实数根为-2、3.

由于函数y=（x+2『的图象关于直线x=—2对称，函数），=卜一3|的图象关于直线工=3对称，

关于x的方程/（力=〃（0＜〃＜3）存在四个实数根小x»弓、/如图所示，

且A^_=_2,网产=3,.-.x,+x2+x3+x4=-4+6=2,

因此，所求方程的实数根的和为-2+3+2=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键,

考查数形结合思想的应用，属于中等题.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.⑴己知/(x+l)=f+4工+1,求f(x)的解析式;

⑵己知/(.r)+3/(r)=f—2x,求/(x)的解析式.

【答案】⑴/。)=/+2]—2；(2"(x)=；/+x

【分析】(1)通过换元，令z=x+l,从而得到/(x)的解析式；

⑵通过令x为7,从而得到/(r)+3/(x)=(-x)2+2x,列出关于/⑴和/(一幻的方程组，从而得到“力

的解析式.

【详解】(1)令f=x+l,则x="l

所以/(O=(r-1)2+4(r-l)+l=r2+2z-2

即F(X)=/+2X-2

(2)因为/a)+3/(—x)=f-2/

所以/(r)+3/3=(r)2+2K

I/(X)+3/(-X)=X2-2X

即〈，、，、*、，

/(-v)+3/(x)=(-x)-+2x

所以/(x)=；/+x

18.已知函数/(幻=鲁「是R上的偶函数.

1+x

⑴求实数，〃的值:

⑵判断并用定义法证明函数y=/(x)在(一双。)上的单调性

【答案】⑴〃2=0；

⑵函数在(-8,0)上为增函数,证明见解析.

【分析】(1)根据偶函数的定义可以求出实数〃，的值；

(2)根据函数的单调性的定义，通过之算可以证明出函数)，=/(%)在(-00,0)上是递增函数.

【洋解】⑴因为函数/*）=篙是R上的偶函数，所以/（一）=/（，）,即m(-x)+1mx+1

对任意实数x恒

l+(-x)2\+x

成立,解得小=0.

⑵由⑴得〃加标，此函数在E。）上为增函数.

证明：任取0工2e（-8，。），且内＜工2,则

f(r\f(r1__!______1.>7：(X2+M)a27j

八“一”小训一三一。+引(1+用—(1+引(1+引

因为百,再e（-＜»,0）,且内＜£，所以（1+父）（1+石）＞。,工2+5＜°,占一玉＞。，

所以/（5）一/（毛）＜0,即〃5）＜/*（/），所以函数/。）=丁二在（一8,0）上为增函数.

1'人

【点睛】本题考查了偶函数的定义.考查了用定义判断和证明函数的单调性，考查了数学运算能力.

19.已知函数“x）=x/（〃为实常数），

（1）判断函数〃力的奇偶性并记明.

（2）若），=/（刈在（0』上是减函数，求。的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）（YOLI]

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断了（-x）与/（x）的关系，可得函数的奇偶性；（2）利用函数的

单调性，构建不等式即可得到结果.

【详解】（1）函数，（可为奇函数，证明如下：

函数的定义域为（-8,0）U（3,+OO）

/（-X）=-A：+-=-/（X）,

即“一"=一/（力

团函数/（可为奇函数:

(2)设0</口,则

/(x2)-/(x,)=X.--=仁一王）1+

又y=/W在（0』上是减函数，#2一%＞0

01+VO,即4<一中2

中2

又()V/[V%2K1，0-X]X2>-l

06/<-1

故。的取值范围是(-00,-1]

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生对函数的性质理解与掌握的情况，属于中档题.

20.某租赁公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1700元.根据调查发现，若

每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出去

的电动汽车就增加3辆.设每辆电动汽车的日租金为x元(6()WxW3(X),xeN*),用>(单位：元)表示出租

电动汽车的口净收入.(口净收入等于口出租电动汽车的总收入减去口管理费用)

(1)求了关于x的函数解析式：

(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时？才能使日净收入最多，并求出日净收入的最大值.

[750x-1700,xeV*

【答案】(1)y=\=，inon17nn浦*;(2)当每辆电动汽车的口租金为170元时，才能使口净收入最多，

为85000元

【分析】⑴分情况讨论，当600490与90。4300两种情况进厅计算即可

⑵分当600x490与90<x4300两种情况表达日净收入的表达式，再根据函数性质求解最值即可.

【详解】(1)当60KXK90时,y=750x-l700,x£N*;

当90<x<3(X)时，y=1750-3(x-90)]x-17(X)=-3x2+1020x-l7(X),xeN*

故y关于'的函.数.解析式为广f7仁50、.r-1。720。01,x7e^。*。,，，

(2)由(1)有当604XK90时y=75(k—1700为增函数，

故当户90时取最大值%间=750x907700=65800；

当90cx<3(X)时，一3/+10204一1700为二次函数，对称轴为工=一等二170.

2x3

故当x=170时取最大值工皿2=-3xl7O2+1020x170-1700=850CO>65800；

故当每辆电动汽车的日租金为"0元时,才能使日净收入最多，为85000元.

【点睛】本题主要考查函数的实际应用，需要根据题目条件分段列出关系式,再求解函数在每个区间段上的最

大值分析即可.属于中等题型.

21.已知函数“力是定义在区间卜1』上的奇函数，若当武y工0时，有(x+y)[/(©+/()，)]>().

（1）比较与的大小.

（2）判断“X）的单调性，并加以证明.

（3）解不等式/1+；）＜"1-2力.

【答案】⑴/0《）

（2）/0在区间［T1］上单调递增；证明见解析

⑶花）

【分析】（1）令x=；,y=-p由题意得＞0,从而得再

由/'（力为奇函数，可得（2）根据函数单调性的定义结合“X）为奇函数证明即可;⑶由“力

在因间上单调说增，列不等式组求解.

［详解］（1）令）’二一;，因为;工0,

25，IJ/

所以KT）吗卜/㈢］＞0,即出「一‘㈢’因为/（力为奇函数，所以吗卜—不£［,

所以吗卜包

⑵，⑺在区间［T1］上单调递增.

证明如下：在区间卜1』上任取与电，且王＜/，则

由题意得（毛-%）［〃9）+〃F）］＞0,

因为/（可为奇函数，所以（々一%）［/（々）一/（%）］＞0,

所以/（七）一/（不）＞0，即/（&）＞/（%），

所以/（0在区间上单调递增.

⑶由（