浙江省宁波某中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷（解析版）

浙江省宁波十五中2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，符合题意；

B,C,D选项不是轴对称图形，不符合题意.

故选：A.

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.

2.下列选项中，可以用来证明命题“若a?〉］,则a>l”是假命题的反例是（）

A.a=-2B.a=-lC.a=1D.a=2

【答案】A

【解析】【解答】用来证明命题“若对>1,则是假命题的反例可以是：a=-2,

V（-2）2>1,但是a=-2Vl,

・・・A符合题意；

故答案为：A.

【分析】此题实际上是用举例子的方法来证明结论的错误性，只要举出的例子满足a2>l,但又不满足a>1

即可。

3.已知aVb,下列不等式中，成立的是（）

A.a+2>b+2B.C.-2a>-2bD.a-2>b-2

【答案】C

【解析】【解答】解：A.在不等式a<b两边同时加上2,不等号方向不变，则a+2Vb+2,故A选项错误，不

符合题意；

B.在不等式a<b两边同时除以2（正数），不等号方向不变，则多只，故B选项错误，不符合题意；

C.在不等式a<b两边同时乘以-2（负数），不等号方向改变，则-2a>-2b,故C选项正确，符合题意；

D.在不等式avb两边同时减去2,不等号方向不变，则a-2Vb-2,故D选项错误，不符合题意；

故选：C.

【分析】根据小等式的性质：小等式两边都加上（或都减去）同一个数，所得的小等式仍然成立（小等号小

变）；不等式两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍然成立（不等号不变）；不等式两边都乘

（或都除以）同一个负数，必须改变不等号方向，所得的不等式仍然成立.据此分析各选项.

4.等腰二角形的一个角为7（）。，则它的底角为（）

A.70°B.55°C.55。或70。D.35。或70。

【答案】C

【解析】【解答】解：已知一个角的度数是70。,

当顶角的度数是70。时,底角是（180°-70°）+2=55°；

当底角的度数是70。时，两个底角的度数都是70。.

则它的底角是55。或70°.

故选：C.

【分析】等腰三角形有一个顶角，两个相等的底角，已知度数的这个角有可能是顶角，也有可能是底角，分

类讨论求出底角即可.

5.若关于x的不等式x<4+m的解集如图所示，则m的值为（）

-10）234

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】【解答】解：由数轴可得不等式的解集是烂3,则4+m=3,则

故选：B.

【分析】根据数轴上表示x的范围可得不等式的解集，根据解集求出m的值即可.

6.如图，在△ABC中，NACB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使NADC=2NB,则符合要

【答案】B

【解析】【解答】解：A、由作图可知AC的垂直平分线交AB于点D,

AAD=DC,

AZA=ZACD

，/CDB=/A+/ACD=2/A./ADC=/B+/BCD,故A不符合题意;

B、由作图可知BC的垂直平分线交AB于点D,

.\BD=DC,

r.ZB=ZBCD,

ZADC=ZB+ZBCD=2ZB,故B符合题意；

C、ZADC=ZB+ZBCD,故C不符合题意；

D、由作图可知BD=BC

.\ZBDC=ZBCD,

VZADC=ZB+ZBCD,故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】观察各选项，可知选项A,B分别作AC,BC的垂直平分线，再根据垂宜平分线上的点到线段两

端点的距离相等，易证线段相等，再利用等边对等角，可证得相关的角相等，然后利用三角形的外角的性

质，可得到NCDB=NA+/ACD,就可对A,B作出判断；而C,D只能证得NCDB=NA+NACD,由此可

对C,D作出判断。

7.我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形48co的边48在x轴

上，48的中点是坐标原点0,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点0,处，则

点C的对应点C,的坐标为（）

A.(V3,1)B.(2,1)C.(1,V3)D.(2,V3)

【答案】D

【解析】【解答】解：-AD,=AD=2,

AO=^AB=1,

0D'=JAD'2-0A2=百'

•:C'D'=2,CD//AB^

V3).

故答案为：D.

【分析】由题意可得AD，=AD=2,AO=|AB=1,利用勾股定理可得O>,据此不难得到点C，的坐标.

8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且

使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）

【答案】C

【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：

①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；

@AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰

三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可

以作为点C,然后相加即可得解.

9.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4,射线CD_LBC,垂足为点C,点P是射线CD上一动点，

点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5,则AB的长为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】【解答】解：作E点关于CD的对称点E,过E作EF_LAB交于点F,交CD于点P,连接PE,

D

・・・PE;PE,

.♦・EP+FP=PE'+PF^E'F,

此时EP+FP的值最小,

•・・△ABC是正三角形,

r.ZB=60°,

VE'FIAB,

・•・ZFE'B=30°,

.\BE'=2BF,

VBF=5,BEM,

.\E'B=10,

VCE=CE',

10=2CE+BE=2CE+4,

.\CE=3,

.*.BC=7,

故答案为：A.

【分析】作E点关于CD的对称点E,过E作E'FIAB交于点F,交CD于点P,连接PE,此时EP+FP的

值最小，由题意得出NFEB=30。,则BE'=2BF,再由BF=5,BE=4,得出10=2CE+BE=2CE+4,解出CE=3,

即可得出BC=7o

10.如图，8D是△A8C的角平分线，BA=BC=10,AC=12,DE//BC,P,。分别是8。和8c上的任意一

点；连接外,PC,PQ,AQ,给出下列结论：®PC+PQ>AQ；®AE+DE=BC；③PC+P0的最小值是答

④若朋平分N8AC,则4APO的面积为9.其中正确的是（）

A

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】【解答】解：:笈4=8C=10,A。是△A8C的角平分线，

LAC,AD=CD,

・,・BD垂直平分AC,

・"P=PC,

，PC+PQ5P+PQ,

;AP+PQ>AQ,

APC+PQ>AQf则①正确；

•：DE||BC,

，乙EDB=LDBC,乙ADE=LACB,

,•,8D是△A〃C的角平分线，

，乙EBD=乙DBC,

:.乙EDB=乙EBD,

:,EB=ED,

AB=AC,

：-LBAC=Z.ACB,

LADE=4AC8,

：-Z-ADE=乙BAC,

-9-EA=ED,

11

：.AE=DE=BE=^AB=；BC,

・・・AE+DE=BC,则②正确；

TPC+PQ=AP+PQ,

：.当AP+PQ最小时，PC+PQ最小,

过点A作AM_LBC于M,如图：

当点P在AM和BD的交点上时，此时AP+PQ=AM,此时AP+PQ最小，且最小值为AM,

YBD平分NABC,

LAC,

:・BD=>JAB2-AD2=8,

11

:S&ABC=^AC-AB=^BC-AM,

RM二生泮=竽，则③错误；

过点P作PN_LAB于点N,如图：

「PA平分NBAC,PD1AC,

:・PN=PD,

.S/PD_AD_3

,,S^APB=AB=5,

•••S/PO+S„APB=S„ABD=24,

・・・SA4PO=9,则④正确；

综上所述，止确的有：①②④，

故答案为：B.

【分析】根据等腰二角形的性质可存到BD垂直平分AC,进而得到AP=PC,再根据二角形二边关系定理即

可判断①；根据角平分线的定义、平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断②；过点A作AMJ_BC于

M,当点P在AM和BD的交点上时，此时AP+PQ最小，最后根据等面积法即可判断③；过点P作

PNJ_AB于点N,得至IJPN=PD,根据普瑞=器，即可判断④.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.

11.若直角三角形的一个锐角为15。，则另一个锐角等于.

【答案】75。

【解析】【解答】解：•・•直角三角形的两个锐角互余，

.••另一个锐角等于90°-15°=75°.

故填：75°.

【分析】由直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”可求得另外一个锐角的度数.

12.用不等式表示“5。与6b的差大于2".

【答案】5a-6b>2

【解析】【解答】解：由题意得：5a-6b>2,

故答案为：5a-6b>2.

【分析】由题意列不等式即可求解.

13.如图，在△ABC中，CDJ_AB于点D,CE是NACB的平分线，交AB于点E,ZA=30°,ZB=52°,则

ZDCE的度数为_________.

DB

【答案】11°

【解析】【解答】解：・・・NA=30。，ZB=52°,

.・・ZACB=180°-ZA-ZB=180o-30°-52o=98°,

•；CE是NACB的平分线,

・•・NACE=NBCE节〃CB=49°,

VCD1AB于点D,

.\ZBCD=90°-ZB=38°,

・•・ZDCE=ZBCE-ZBCD=49°-38°=11°.

故填：11°.

【分析】求NDCE,可由NDCE=/ACD-NACE或/DCE=/BCE-NBCD求得，已知CE是/ACB的角平

分线，则NACE=NBCE弓N/ICB,由三角形的内角和定理可求得NACB,由直角三角形的性质可求得

NACD和NBCD,选一种思路解答即可.

14.如图，BD是AABC的中线，CE是^BCD的中线，DF是aCDE的中线，若△ABC的面积为4,则

△DEF的面积为.

【答案】；

【解析】【解答】解：・・・BD是△ABC的中线,

,・SABCD=3sA4BC=；x4=2,

・・口是4BCD的中线,

**•^ACDE=ASRBCD=}x2=1,

•・・DF是ZkCDE的中线,

•♦SADEF=^S^cDE=3X1=；•

故填：i.

【分析】由三角形中线的定义，可知中线把三角形分成两部分，两部分的面积相等，依此推理解答即可.

15.如图，在长方形ABCD中，AB=10,AD=12,点E为边AD上的一个动点，把△ABE沿BE折叠，若点

A的对应点A，刚好落在边AD的垂直平分线MN上，则AE的长为.

【答案】学

【解析】【解答】解：•••△ABE沿BE折叠，点A的对应点A，刚好落在边AD的垂直平分线MN上,

.*.AE=AT,A,B=AB=10,MNDAD,AM=|AD=6,

•・•四边形ABCD是长方形,

.\ZA=ZABN=90°,

・•・NA'NB-90。，

・•・四边形ABNM是长方形，

ABN=AM=6,MN=AB=10.

在RtAA'BN中，A，N=JA，B2-BN?=V102-62=8，

・・.A'M=MN-A'N=10-8=2.

在RsA，ME中，设A'E=AE=x,则ME=6-x,

VM^+^M2=^E2,

A(6-X)2+22=X2,解得x筌.

故填：竽.

【分析】由折叠的性质可得AE=A，E,A,B=AB=10,由MN是AD的垂直平分线和四边形ABCD是长方形，

可证得四边形ABNM是长方形，则BN二AMJAD=6,MN=AB=IO,根据勾股定理先求出A，N,再由勾股定

理构造方程解答即可.

16.如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与

中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,连接AC,交BE于点P,若正方形ABCD的面积为

28,AE+BE=7,则△CFP与△AEP的面积差是.

【答案】\

【解析】【解答】解：•・•正方形ABCD的面积为28,

・"解=28，

在RsABE中，由勾股定理得/IE?+=A]=28，

VAE+BE=7,

・•・2AE•BE=(42+BE?-(AE2+BE2)=72-28=21,

.\AEBE=今

1121

'S正方形EFGH=S正方形ABCD—4.S.BE=28=28-4,2,T=7,

如图.

•・•四边形EFGH是正方形，

AEH//FG,EF//GH,ZFEH=ZFGH=90°,EH=FG=EF=GH,

.\ZPAE=ZQCG,ZAEP=ZCGQ=90°,

VAH=CG,

.\AE=AH-EH,CG=CF-FG,

AAE=CG,

△AEP=ACGQ,

，S"EP=S^CGQ，EP=GQ，

...SACFP-S^AEP=S梯形GFPQ，

VEF=GH,PF=EF-EP,HQ=GH-GQ,

.*.PF=HQ,

.17

,.S梯形GFPQ=S梯形EHQP=2s正方形EFGH=2'

・•・△CFP与^AEP的面积差是

故填：J

【分析】观察图形，根据题意可证明^AEP^ACGQ,则^CFP与AAEP的面积差等于梯形G“Q的面积，

也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7,根据勾股定理和完全平方和变形公

式2ab=（Q+匕）2-（於+炉），求得AE-BE的值，从而求出正方形EFGH的面积.

三、解答题：本题共7小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐

标系.

(1)作出△ABC关于x轴对称的△AFiG,并写出点Bi的生标.

(2)宜接写出AB与AiB,之间的位置关系.

【答案】(1)解：如图△AIBIG即为所作，点&的坐标是(-1,-I)；

(2)解:AB±AiBi

【解析】【解答］解：(2)如图，分别延长AB,AIBI交于点D,

•・•每个小方格是正方形，

.\ZADC=ZAiDC=45°,

.,.ZADAi=90°,

AABlAiBu

【分析】(1)根据轴对称图形的性质，作出AAiBiG,再根据点&所在的格点和象限坐标特征，写出点B

的坐标即可；

(2)可分别延长AB和刚好交于一个格点，由小方格是正方形的特点可得NADAI的度数，即可得出

结论.

(3(x+2)>2x+50

18.解不等式组、1+3%c，结合题意完成本题的解答.

2x----2-V12

-6-5-4-3-2-10123456

(|)解不等式①，得；

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在如下的数轴上表示出来;

(4)原不等式组的解集为.

【答案】(1)x>-1

(2)x<3

(3)解：

(4)-l<x<3

【解析】【解答】(1)解：3(x+2)>2x+5,

去括号，得3X+6N2X+5,

移项，ft3x-2x>5-6,

合并同类项，得疟-1,

故填：x>-l；

(2)解：2%-上笠<1,

去分母，得4x-(l+3x)<l,

去括号，得4x-l-3x<2,

移项,得4x-3x<2+l

合并同类项，得x<3,

故填：x<3；

(4)由(3)所画的解集可得原不等式组的解集是-1WXV3,

故填：-l<x<3.

【分析】(1)按解一元一次不等式的一般步骤解答即可：

(2)按解一元一次不等式的一般步骤解答即可；

(3)利用数轴表示解集即可；

(4)取两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集.

19.如图，aABC与△OCB中，AC与8。交于点E,且NA=NO,AB=DC.

(I)求证：AABEWADCE；

(2)当NA£B=80。,求NEBC的度数.

【答案】（1）证明：在AABE和ADCE中,

Z.A=Z.D

Z.AEB=乙DEC,

AB=DE

/.△ABE^ADCE(AAS)：

(2)解：•・•△ABE^ADCE,

・・・BE=EC,

AZEBC=ZECB,

•・•ZEBC+ZECB=ZAEB=80°,

・・・NEBC=40。.

【解析】【分析】（1）结合对顶角相等，利用“AAS”即可证明△ABEgADCE；

（2）根据全等三角形的性质得到BE=CE,再根据等腰三角形的性质得到NEBC=NECB,最后根据三角形

外角性质即可求出NEBC的度数.

20.如图，在△力口。中，AB>AC.

（1）用直尺和圆规作的中垂线，交48于点。（要求保留作图痕迹）;

(2)连接CD,若48=8,AC=4,求△4CO的周长

直线MN即为所求;

（2）解：由（1）可知，直线MN是线段的垂直平分线,

：.DC=DB,

•••△4C0的周长：AC+CD+AD=AC+AD-^-BD=AC+AB,

'：AB=8,AC=4,

•••△4CD的周长为:8+4=12.

21.某电器超市销售4、"两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，8型号每台进价分别为150元，下

表是近两天的销售情况：

销售数量

销售时段销售收入

4种型号8种型号

第一天3台5台1620元

第二天4台10台2760元

(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)

(1)求A、8两种型号的电风扇的销售单价；

(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多

能采购多少台？

<3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标?若能，请给出相

应的采购方案；若不能，请说明理由.

【答案】(1)解：设A.B两种型号的电风扇的销售价分别为x、y元，由题意得

[3x+5y=1620

(4x+10y=2760

解得：1江徽

答：A型号电风扇的销售单价为240元，B型号电风扇的销售单价为180元.

(2)解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30-a)台

则200a+I50(30-a)<5400,

解得：a<18,

答：最多采购A种型号的电风扇18台.

(3)解：根据题意得:

(240-200)a+(l80-15O)(3O-a)>1060,

解得心16,

・・•在(2)的条件下下18,

.\16<a<18

Ta为正整数,

・・・a可取16,17,18,

・•・符合题意的方案为；

A型号16台，B型号14台;

A型号17台，B型号13台:

A型号18台，B型号12台;

答：在（2）条件下超市销售完这30台电风扇能实现利润不少于1050元的目标，方案为：

A型号16台，B型号14台；A型号17台，B型号13台；A型号18台，B型号12台.

【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据售价乘以销量等于销13收入列方程

组是解题的关键.

（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1620

元，4台A型号1。台B型号的电扇收入2760元，列方程组求解即可；

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多余5400元，列不等式

求解即可得出答案;

（3）根据利润大于等于1060元，列不等式求出a的取值范围，结合（2）中a的取值范围，即可确定方案.

22.对m、n定义一种新运算规定：^▽n=am-bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通

常的四则运算，例如：5V6=5a-6b+5.

（1）已知2^3=1,3V（-1）=10.

①求a、b的值；

②若关于x的不等式组亶一烧）；：有且只有两个整数解求字母t的取值范围；

IDxv{—b）sc

（2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n,结论都成立，试探究

a、b应满足的关系.

【答案】(1)解：①・.,2P3=1,37(-1)=10,

.(2a-3b+5=1

，，l3a+b+5=10，

解得：Q=1,b=2；

⑵..p,团Q-3)V9

⑷.(3x0(-6)<t，Q-L。一幺，

:.ax—(2x-3)b+5=-3x+11<9,

3ax—(—6)d4-5=3x+17<t,

即喘界7/

x>l

t-17'

X^—

•・•关于x的不等式组二6；）；j有且只有两个整数解，

t-17

2<<3,

解得：23Wt<26；

(2)解：VmVn=nVm,

/.ma-rb+5=na-mb+5,

ma-rb-na+mb=O,

Am(a+b)-n(a+b)=0,

/.(a+b)(m-n)=0,

VIIKn为任意数，

m-n不一定等于0,

a+b=0,

即a、b所应满足的关系式是a+b=().

【解析】【分析】(1)①新运算规定m^n=am-bn+5,等式右边有两个未知的系数a,b,由2V3=1,3V(-

1)=10两组值分别代入等式，可得二元一次方程组，解方程组即可；

②由①可得a,b的值，代入原不等式组，用t表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有两个整数解，

可得t的取值范围；

(2)由m^n=nVm可得ma-nb+5=na-mb+5,将等式进行移项、因式分解可得a,b的数量关系.

23.如图1,等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD,BE交于点ECD=AE.

AA

£

BDCBDC匕——

HDC

(图1)(图2)(图3)

(1)求NBFD的度数；

(2)如图2,连接CF,若CF_LBE,求证：BF=2AF；

(3)如图3,在(2)的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G,过点C作CF的垂线交直线FG于点

H,若BF=4.

①求证：BF=HF；

②求FG・GH的值.(请直接写出结果)

【答案】Q)解：..•△ABC是等边三角形，

AZC=ZABC=ZBAC=60°,AB=AC=BC.

在^ABE^OACAD中，

AB=CA

乙BAC=乙C,

AE=CE

・•・△ABE*CAD(SAS).

・・・NABE=NCAD,

.\ZBFD=ZABE+ZBAD=ZCAD+ZBAD=ZBAC=60o；

(2)解：如图，在BF上截取BQ二AF,连接AQ,

在^QBA^UAFAC中，

BQ=AF

/-QBA=乙FAC,

BA=AC

/.△QBA^AFAC(SAS),

.\ZBAQ=ZACF,

":NAQF=NQBA+NBAQ,ZDFC=ZFAC+ZACF,

:.ZAQF=ZDFC=ZBAQ+ZFAC,

VCF1BE,ZBFD=60°,

:.ZAQF=ZDFC=ZBAQ+ZFAC=30°,

AZQAF=ZBAC-(ZBAQ+ZFAC)=30°,

即NAQF=NQAF,

AAF=FQ.

VBF=FQ+BQ=2FQ,

・・・BF=2AF；

(3)解：①如图，延长BE到点N,使得FN=AF,连接AN,连接CN,交FH于点M,

VZBFD=ZAFN=60°,

・•・△AFN是等边三角形,

・・・A