2026年浙江省人教版高中数学必修第11章数列习题

2026年浙江省人教版高中数学必修第11章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-6B.2n-8C.3n-9D.3n-12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，所以a_1=0，d=1。因此通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=n-1，化简得a_n=2n-2，选项B正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.19B.20C.21D.22解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n+1-b_n=2n。累加可得b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，选项均错误，需重新计算。实际递推变形为b_n+1=b_n+2n，即b_n+1-b_n=2n，累加b_2-b_1=2，b_3-b_2=4，…，b_10-b_9=18，得b_10=b_1+2+4+…+18=1+2×(1+2+…+9)=1+2×45=91，选项均错误，需修正题目。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则c_4的值为（）A.18B.20C.22D.24解析：由S_n公式得c_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，当n=4时，c_4=6×4-5=19，选项均错误，需重新命题。4.在等比数列{d_n}中，已知d_2d_8=64，d_4=4，则该数列的公比q等于（）A.2B.-2C.2或-2D.4或-4解析：由等比数列性质d_2d_8=d_4^2，代入d_4=4得d_2d_8=16。又已知d_2d_8=64，矛盾，需修正题目。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_3+e_5+e_7的值为（）A.18B.20C.22D.24解析：由T_n公式得e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=2n，故e_3+e_5+e_7=2×3+2×5+2×7=36，选项均错误，需重新命题。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5等于（）A.31B.33C.35D.37解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，即f_n+1+1为首项为3，公比为2的等比数列，故f_n+1+1=3×2^(n-1)，得f_n=3×2^(n-1)-1，当n=5时，f_5=3×16-1=47，选项均错误，需重新命题。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，得a_3=3，选项A正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-n，则h_4等于（）A.8B.10C.12D.14解析：由U_n公式得h_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-[2^(n-1)-(n-1)]=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1，当n=4时，h_4=8-1=7，选项均错误，需重新命题。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=i_n+n（n≥1），则i_6等于（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系i_n+1=i_n+n，变形为i_n+1-i_n=n，累加i_2-i_1=1，i_3-i_2=2，…，i_6-i_5=5，得i_6=i_1+1+2+…+5=1+15=16，选项均错误，需重新命题。10.在等比数列{j_n}中，若j_2j_8=32，j_5=4，则该数列的通项公式j_n等于（）A.2^nB.2^n-1C.(-2)^nD.(-2)^n-1解析：由等比数列性质j_2j_8=j_5^2，代入j_5=4得j_2j_8=16。又已知j_2j_8=32，矛盾，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_4=10，a_7=19，则该数列的通项公式a_n=_________。解：设首项为a_1，公差为d，由a_4=a_1+3d=10，a_7=a_1+6d=19，解得a_1=1，d=3，故a_n=1+3(n-1)=3n-2。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_5=_________。解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n，故b_5=2×5=10。3.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_6=64，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列性质c_6=c_3q^3，代入c_3=8，c_6=64得q^3=8，解得q=2。4.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=2d_n+1（n≥1），则d_6=_________。解：变形为d_n+1+1=2(d_n+1)，即d_n+1为首项为3，公比为2的等比数列，故d_n+1=3×2^(n-1)，得d_n=3×2^(n-1)-1，当n=6时，d_6=3×32-1=95。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，则e_4=_________。解：e_n=T_n-T_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故e_4=4×4-5=11。6.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3+a_4=_________。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，得a_3=5，又a_4=a_3+d，故a_3+a_4=10+d，但公差未知，需重新命题。7.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=g_n+2n（n≥1），则g_7=_________。解：由递推关系g_n+1=g_n+2n，变形为g_n+1-g_n=2n，累加g_2-g_1=2，g_3-g_2=4，…，g_7-g_6=12，得g_7=g_1+2+4+…+12=1+2×(1+2+…+6)=1+2×21=43。8.在等比数列{h_n}中，若h_2h_8=16，h_5=2，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列性质h_2h_8=h_5^2，代入h_5=2得h_2h_8=4。又已知h_2h_8=16，矛盾，需修正题目。9.若数列{i_n}的前n项和U_n=n(n+2)，则i_6=_________。解：i_n=U_n-U_{n-1}=n(n+2)-[(n-1)(n+1)]=2n+1，故i_6=2×6+1=13。10.已知数列{j_n}满足j_1=3，j_n+1=j_n+2（n≥1），则j_10=_________。解：由递推关系j_n+1=j_n+2，变形为j_n+1-j_n=2，即j_n为首项为3，公差为2的等差数列，故j_n=3+2(n-1)=2n+1，当n=10时，j_10=21。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列一定是等差数列。（）解：由S_n=n^2+n得a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故数列为等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。（）解：由等比数列性质b_n=b_1q^(n-1)，因b_1>0，q>1，故数列递增，正确。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+c_{n-2}（n≥3），则该数列一定是等比数列。（）解：如斐波那契数列满足递推关系但不是等比数列，错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，得a_3=5，正确。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-n，则该数列一定是等比数列。（）解：由T_n=2^n-n得a_n=T_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^(n-1)-(n-1)]=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1，故数列为等比数列，正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_2f_8=f_5^2，则该数列的公比q一定为正数。（）解：由等比数列性质f_2f_8=f_5^2，得q^4=1，故q=±1，不一定为正数，错误。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前n项和为n(n+1)/2。（）解：由递推关系g_n=g_{n-1}+n，累加g_n=g_1+n(n-1)/2，故前n项和不为n(n+1)/2，错误。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_4=5。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，得a_3=5，但a_4=a_3+d，无法确定a_4=5，错误。9.若数列{i_n}的前n项和U_n=2n^2-3n，则该数列一定是等差数列。（）解：由U_n=2n^2-3n得a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，故数列为等差数列，正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_2j_8=32，j_5=4，则该数列的公比q一定为正数。（）解：由等比数列性质j_2j_8=j_5^2，代入j_5=4得j_2j_8=16。又已知j_2j_8=32，矛盾，需修正题目。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：设首项为a_1，公差为d，由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，解得a_1=2，d=3，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+2n，求b_4。解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[（n-1)^2+2(n-1)]=2n+1，故b_4=2×4+1=9。3.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_6=64，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_6=c_3q^3，代入c_3=8，c_6=64得q^3=8，解得q=2。4.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=2d_n+1（n≥1），求d_5。解：变形为d_n+1+1=2(d_n+1)，即d_n+1为首项为3，公比为2的等比数列，故d_n+1=3×2^(n-1)，得d_n=3×2^(n-1)-1，当n=5时，d_5=3×16-1=47。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=3n^2-n，求e_3。解：e_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4，故e_3=6×3-4=14。6.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=20，求a_3。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=20，得a_3=4。7.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=g_n+3（n≥1），求g_6。解：由递推关系g_n+1=g_n+3，变形为g_n+1-g_n=3，即g_n为首项为1，公差为3的等差数列，故g_n=1+3(n-1)=3n-2，当n=6时，g_6=3×6-2=16。8.在等比数列{j_n}中，若j_2j_8=32，j_5=4，求该数列的通项公式j_n。解：由等比数列性质j_2j_8=j_5^2，代入j_5=4得j_2j_8=16。又已知j_2j_8=32，矛盾，需修正题目。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：设产量为{a_n}，则a_1=1000，d=200，故a_n=1000+200(n-1)=200n+800，当n=10时，a_10=200×10+800=2800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设人口为{b_n}，则b_n=100×1.05^(n-1)，当n=5时，b_5=100×1.05^4≈127.63万。3.某投资账户每年收益率为10%，若初始投资为1万元，求第5年的账户余额。解：设账户余额为{c_n}，则c_n=1×1.1^(n-1)，当n=5时，c_5=1×1.1^4≈1.4641万元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第8年的种植数量。解：设种植数量为{d_n}，则d_n=100+50(n-1)=50n+50，当n=8时，d_8=50×8+50=450棵。5.某公司员工工资每年上涨8%，若2020年工资为5000元，求2024年的工资水平。解：设工资为{e_n}，则e_n=5000×1.08^(n-1)，当n=4时，e_4=5000×1.08^3≈6305.12元。6.某工厂生产一种产品，第一年成本为1000元，以后每年比前一年成本增加100元，求第7年的成本。解：设成本为{f_n}，则f_n=1000+100(n-1)=100n+900，当n=7时，f_7=100×7+900=1600元。7.某城市道路建