25.3 实际问题与一元二次方程 （第1课时）

25.3实际问题与一元二次方程（第1课时）人教版数学九年级上册传染病，一传十,

十传百……

【想一想】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？导入新知素养目标1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.

2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?探究新知列一元二次方程解决实际问题知识点1分析：（1）若存在这样的三角形，设其一条边长为x，则其他两条边长因为是连续正整数，所以为x＋1，x＋2，其中x为正整数.（2）因为是直角三角形，所以可以根据勾股定理列方程求解.探究新知

探究新知例1用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一?解:设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为96m2，得x（20-x）=96.

解得x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:可以围成且矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.列一元二次方程解几何问题素养考点探究新知分析：假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度．设矩形一边长为xm，由周长为40m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳】探究新知巩固练习小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（）A．2B．2或4C．2或-4D．-2或4C

某种传染病传染速度很快，如果开始有1人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？你能解决这个问题吗？探究新知列一元二次方程解决传播问题知识点2第2轮•••小明12x第1轮第1轮传染后人数x+1.小明第2轮传染后人数x(x+1)+x+1.【思考】不要忽视小明的二次传染探究新知【分析】设每轮传染中平均1个人传染了x个人.传染源记作小明，其传染示意图如下：根据示意图，列表如下：

解:设每轮传染中平均1个人传染了x个人.传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数

1

1+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2列方程x+1+x(x+1)=121.化简得x2+2x-120=0(x-10)(x+12)=0

x1=10,x2=-12(舍).列方程x+1+x(x+1)=121.提取公因式(x+1)(x+1)=121(x+1)2=121

x+1=±11一定要进行检验

x1=10,x2=-12(舍)有更简单的方法解这个方程吗？答:平均一个人传染了________个人.10注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.探究新知第2种做法

以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.【想一想】如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数(1+x)1(1+x)2

【分析】第1种做法

以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331(人).(1+x)3探究新知传染源新增患者人数本轮结束患者总人数第一轮11∙x=x1+x第二轮

1+x(1+x)x1+x+(1+x)x=第三轮

第n轮............【思考】如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？(1+x)2(1+x)n(1+x)3经过n轮传染后共有(1+x)n

人患流感.(1+x)2(1+x)2∙x(1+x)2+(1+x)2∙x=探究新知例2

某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x2=91.即x2+x-90=0.解得

x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.列一元二次方程解传播问题素养考点探究新知1.在分析引例和例2中的数量关系时它们有何区别？每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.2.解决这类传播问题有什么经验和方法？（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.【思考】探究新知电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染.

每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.

依题意得6+6x+6x(1+x)=2400.6(1+x)²=2400巩固练习1.（通辽中考）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（）A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3mC链接中考2.（衢州中考）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（）A．x+（1+x）=36B．2（1+x）=36C．1+x+x（1+x）=36D．1+x+x2=36C链接中考

C课堂检测基础巩固题2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）

A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)²=73B课堂检测3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）？A.10B.9C.8D.7D课堂检测1.如图，小球悬浮于液体中(F浮=G)，若F浮=20N，小球质量为(x²+x)kg,g=10N/kg，则x的值为()A.1 B.4C.-2或1D.-5或4

C课堂检测能力提升题2.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.10课堂检测传染源本轮分裂成有益菌数目本轮结束有益菌总数第一轮第二轮第三轮分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌6060x60(1+x)60(1+x)60(1+x)x3.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？课堂检测解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌60+60x+60(1+x)x=24000x1=19，x2=-21（舍去）.因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.三轮后有益菌总数为24000×(1+19)=480000.课堂检测列一元二次方程解应题与列一元一次方程解决实际问题基本相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地方是要检验根