正弦定理课后试题及参考答案

正弦定理课后试题及参考答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在△ABC中，已知A=45°，B=60°，a=10，则边c的长度为（）。A.5√2B.5√3C.5√6D.10√22.在△ABC中，已知a=3，b=√7，C=60°，则sinA的值为（）。A.1/2B.√3/2C.1/√7D.√21/73.在△ABC中，若a/sinA=b/sinB，则△ABC一定是（）。A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4.在△ABC中，已知外接圆半径R=10，A=30°，B=45°，则边c的长度为（）。A.5√2B.5√3C.10√2D.10√35.在△ABC中，已知a=4，b=8，C=120°，则该三角形的面积等于（）。A.8√3B.16√3C.32√3D.64√36.已知在△ABC中，下列条件一定能确定该三角形的是（）。A.A=60°，a=5，b=4B.B=45°，C=75°，b=6C.a=6，b=8，c=10D.A=30°，C=45°，a=√27.在△ABC中，若满足a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则△ABC一定是（）。A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.任意三角形8.在△ABC中，若a/sinA=b/sinB=c/sinC=k（k>0），则下列式子正确的是（）。A.a=kcosAB.b=kcosBC.c=kcosCD.a=kcosC9.在△ABC中，已知B=45°，C=75°，b=√6，则边a的长度为（）。A.√3B.2√2C.√6D.2√310.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，则cosB的值为（）。A.3/8B.1/2C.13/14D.1/14二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应位置。）11.在△ABC中，若A=75°，C=45°，a=√6，则b=______。12.在△ABC中，已知B=120°，C=30°，a=4，则该三角形的外接圆半径R=______。13.在△ABC中，已知A=60°，B=45°，c=√2，则a=______，sinC=______。14.在△ABC中，已知a=2，b=√3，c=1，则cosA=______，B=______。15.在△ABC中，若a=3sinA，b=3sinB，且C=120°，则c=______。三、解答题（本大题共4小题，共35分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分8分）在△ABC中，已知A=60°，B=45°，a=√6。求边b的长度及三角形ABC的面积。17.（本小题满分9分）在△ABC中，已知a=7，b=5，c=8。求角A、角B、角C的度数。18.（本小题满分9分）在△ABC中，已知B=30°，C=45°，外接圆半径R=10。求边a、边b的长度。19.（本小题满分9分）在△ABC中，已知A=75°，a=2√3，b=2。求边c的长度。如果该三角形的面积最大，求其最大面积。试卷答案一、选择题1.C2.D3.A4.A5.A6.B7.A8.D9.B10.C二、填空题11.√312.413.√6,√6/414.1/2,60°15.3三、解答题16.解：由正弦定理，a/sinA=b/sinB，∴b=a*(sinB/sinA)=√6*(sin45°/sin60°)=√6*(√2/2)/(√3/2)=√6*√2/√3=2。三角形面积S=(1/2)*a*b*sinC=(1/2)*√6*2*sin(180°-60°-45°)=√6*sin75°=√6*(√6+√2)/4=(6+√12)/4=(3+√3)/2。答：边b的长度为2，三角形ABC的面积为(3+√3)/2。17.解：由余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(5²+8²-7²)/(2*5*8)=(25+64-49)/(80)=40/80=1/2。∴A=60°。由正弦定理，a/sinA=b/sinB，∴sinB=b*(sinA/a)=5*(sin60°/7)=5*(√3/2)/7=5√3/14。∴B=arcsin(5√3/14)或B=180°-arcsin(5√3/14)。由于a>b，A=60°，故B为锐角。∴B=arcsin(5√3/14)。C=180°-A-B=180°-60°-arcsin(5√3/14)=120°-arcsin(5√3/14)。答：角A=60°，角B=arcsin(5√3/14)，角C=120°-arcsin(5√3/14)。18.解：由正弦定理，a/sinA=2RsinA，∴a=2RsinA。∴sinA=a/(2R)=√3/(2*10)=√3/20。此解不合题意，应重新审视条件。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)。已知B=30°，C=45°，R=10。sinB=sin30°=1/2。sinC=sin45°=√2/2。a=2RsinA=2*10*sinA=20sinA。b=2RsinB=2*10*(1/2)=10。c=2RsinC=2*10*(√2/2)=10√2。由正弦定理a/sinA=b/sinB，∴20sinA/sinA=10/(1/2)，∴20=20。此为恒等式，不能求出a。应直接用a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。a=20sinA，b=10，c=10√2。由正弦定理a/sinA=b/sinB，∴20sinA/sinA=10/sin30°，∴20=10/(1/2)，∴20=20。此为恒等式，仍不能求出a。应重新考虑。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)。已知B=30°，C=45°，R=10。sinB=b/(2R)=b/(20)=1/2。∴b=20*(1/2)=10。sinC=c/(2R)=c/(20)=√2/2。∴c=20*(√2/2)=10√2。由三角形内角和，A=180°-B-C=180°-30°-45°=105°。由正弦定理a/sinA=2R，∴a=2RsinA=2*10*sin105°=20*sin(90°+15°)=20*cos15°。cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)*(√3/2)+(√2/2)*(1/2)=(√6+√2)/4。∴a=20*((√6+√2)/4)=5*(√6+√2)。答：边a的长度为5(√6+√2)，边b的长度为10，边c的长度为10√2。19.解：由正弦定理，a/sinA=b/sinB，∴sinB=b*(sinA/a)=2*(sin75°/2√3)=sin75°/(√3)=(√6+√2)/(2√3)=(√2+√6)/4。∴B=arcsin((√2+√6)/4)或B=180°-arcsin((√2+√6)/4)。考虑C=180°-A-B=180°-75°-B=105°-B。若B为锐角，即B=arcsin((√2+√6)/4)，则C=105°-arcsin((√2+√6)/4)。若B为钝角，即B=180°-arcsin((√2+√6)/4)，则C=105°-(180°-arcsin((√2+√6)/4))=-75°+arcsin((√2+√6)/4)，此解不合题意。故B=arcsin((√2+√6)/4)，C=105°-arcsin((√2+√6)/4)。由正弦定理a/sinA=c/sinC，∴c=a*(sinC/sinA)=2√3*(sin(105°-arcsin((√2+√6)/4))/sin75°)。sin(105°-arcsin((√2+√6)/4))=sin105°cos(arcsin((√2+√6)/4))-cos105°sin(arcsin((√2+√6)/4))。cos(arcsin((√2+√6)/4))=√(1-(√2+√6)/4)²=√(1-(√(2+√12)/(2√3))²)=√(1-(√6+√2)²/16)=√((16-(√6+√2)²)/(16))=√((16-(8+2√12+2)/(16))=√((16-8-2√12-2)/16)=√((6-2√12)/16)=√((3-√12)/8)=√((3-2√3)/8)。cos105°=-sin15°=-sin(45°-30°)=-sin45°cos30°+cos45°sin30°=-(√2/2)*(√3/2)+(√2/2)*(1/2)=(-√6+√2)/4。sin105°=cos15°=(√6+√2)/4。sin(arcsin((√2+√6)/4))=(√2+√6)/4。c=2√3*(((√6+√2)/4)*√((3-2√3)/8)-(-√6+√2)/4*(√2+√6)/4)/(√6+√2)/4=2√3*[(√6+√2)*√(3-2√3)/16+(√6-√2)*(√2+√6)/16]/(√6+√2)/4=2√3*[√(3-2√3)/16+(√6-√2)*(√2+√6)/(16*(√6+√2))]/(√6+√2)/4=2√3*[√(3-2√3)/16+(√6-√2)*4/16]/(√6+√2)/4=2√3*[√(3-2√3)/16+1/4-(√2/√6)/16]/(√6+√2)/4=2√3*[√(3-2√3)/16+4/16-√(3/6)/16]/(√6+√2)/4=2√3*[(√(3-2√3)+4-√3/√2)/16]/(√6+√2)/4=2√3*[(√(3-2√3)+4-√(6/3))/16]/(√6+√2)/4=2√3*[(√(3-2√3)+4-√2)/16]/(√6+√2)/4此解法过于复杂。应求面积最大时的情况。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。sinA=a/(2R)=√3/(2*10)=√3/20。sinB=b/(2R)=2/(2*10)=1/10。sinC=c/(2R)。三角形面积S=(1/2)*a*b*sinC=(1/2)*2√3*2*c/(2R)*sinC=(√3*c*sinC)/R。sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB。cosB=√(1-sin²B)=√(1-(1/10)²)=√(1-1/100)=√(99/100)=3√11/10。cosA=√(1-sin²A)=√(1-(√3/20)²)=√(1-3/400)=√(397/400)=√(397)/20。sinC=(√3/20)*(3√11/10)+(√(397)/20)*(1/10)=(3√33+√(397))/200。S=(√3*c*(3√33+√(397))/200)/10=(√3*c*(3√33+√(397)))/2000。要使S最大，需c最大。由正弦定理c/sinC=2R，∴c=2RsinC=20*(3√33+√(397))/200=(3√33+√(397))/10。此时，c最大。最大面积S_max=(√3*(3√33+√(397))/10*(3√33