内蒙古土默特左旗民族中学2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学考试用时120分钟）一、单选题（40分）1.已知：，则的共轭复数（）A. B. C. D.2.的值为（）A. B. C. D.3.在中，，，角，则角大小为（）A. B. C. D.或4.设，是单位向量，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.5.在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则6.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（）A. B. C. D.7.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.8.函数是（）A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数二、多选题（18分）9.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则满足这组条件的三角形有两个C.若，则是钝角三角形D.若，则为等腰的三角形10.把函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称D.函数的图象关于点对称11.如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上的动点，是的中点，则下列结论正确的是（）A.的最大值为3B.存在唯一的点，使得平面C.若为的中点，则点到平面的距离为D.若平面，则点的运动轨迹长度为2三、填空题（15分）12.若角的终边经过，则__________.13.某圆锥的侧面积是，底面半径，则该圆锥的体积是________．14.吃粽子是端午节标志性的习俗之一．现在生活中常见的粽子形状为三角粽（有四个面，每个面都为三角形），因为三角粽的四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，如果方形的粽子，包裹米粒的叶面要与其他面衔接处太多，容易把米漏出来，为避免漏出米粒就要过度折叠叶子，叶子在顺着植物纤维方向有韧性，但垂直向上是很容易扯破不容易成形．如图是某三角粽的平面展开图，其中，，若该三角粽的四个顶点都在某个球的球面上，则该球体的体积为__________．四、解答题（77分）15.已知向量，，．（1）若，，三点共线，求实数的值；（2）若为直角，求实数的值．16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，是的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．17.已知函数．（1）求的最小正周期和对称轴；（2）求在上的解集．18.在中，角，，的对边分别为，，．已知为锐角，，．（1）求；（2）若为的中点，从下面①②③中选取一个作为条件，使得存在，求的长．①边上的高为；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19.如图，一个多面体的上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，两部分的高都是，且．（1）求直线与所成的角的余弦值；（2）若平面与平面的交线为，证明：．

数学考试用时120分钟）一、单选题（40分）1.已知：，则的共轭复数（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，所以.2.的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：.3.在中，，，角，则角大小为（）A. B. C. D.或答案：A解析：解答过程：在中，已知，，，由正弦定理.所以，所以.由，根据大边对大角，得，所以只能为锐角.因此.4.设，是单位向量，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量投影向量的定义求出夹角的余弦值，结合夹角的取值范围即可确定夹角.解答过程：设与的夹角为，其中，由题可知为单位向量，故，根据向量投影向量的定义，在上的投影向量为：

，

已知该投影向量为，且，代入得：

解得，结合，可得.5.在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：D解析：解答过程：若，，，则或是异面直线，故A错误；若，，则或，故B错误；若，，则或，故C错误；若，，则，故D正确；6.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由是函数的图象的一个对称中心，得，解得，而，则，因此当时，取得最小值.7.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，利用函数的图象，结合正弦型函数的性质，求得，进而求得的值.解答过程：由函数的图象，可得，可得，所以，则，又由，可得，可得，解得，因为，所以，则，所以.8.函数是（）A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数答案：D解析：解答过程：∵，定义域为，又，∴是偶函数，且不是奇函数，又，又因为，所以当时，取得最大值2；当时，取得最小值.二、多选题（18分）9.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则满足这组条件的三角形有两个C.若，则是钝角三角形D.若，则为等腰的三角形答案：AC解析：解答过程：若，则，由正弦定理得，故A正确；因为，满足这组条件的三角形不存在，故B错误；若，由正弦定理得，由余弦定理得，则角为钝角，则是钝角三角形，故C正确；若，而为三角形内角，则或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，D错误．10.把函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称D.函数的图象关于点对称答案：BC解析：解答过程：由平移规则得,

，正弦函数的对称轴满足，对应函数值为，对称中心满足，对应函数值为.选项A，代入得，，不是对称轴.选项B，代入得，为最小值，是对称轴.选项C，代入得，，故是对称中心.选项D，代入得，，不是对称中心.11.如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上的动点，是的中点，则下列结论正确的是（）A.的最大值为3B.存在唯一的点，使得平面C.若为的中点，则点到平面的距离为D.若平面，则点的运动轨迹长度为2答案：ABD解析：思路：对于选项A，先证明平面，结合关系求的最大值，即可判断，对于选项B，证明平面，结合平面，可得，由此确定的位置，判断B，对于选项C，利用等体积法求点到平面的距离即可判断，对于选项D，取的中点，的中点，的中点，先证明平面平面，由此确定点的运动轨迹及其长度.解答过程：已知正方体棱长为，在侧面上，是中点，平面，因此平面，，对于选项A，由平面，对任意在平面，由勾股定理得：，的最大值为正方形的对角线长度，，因此，A正确；对于选项B，因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理，，平面，所以平面，因此若平面，则，连接，因为为的中点，所以是的中点，因此存在唯一的点满足条件，B正确，对于选项C，是中点，，，，中，，，的面积，设点到平面的距离为，则，又，三棱锥的体积，所以，故，C错误，对于选项D，平面是正方体的对角面，取的中点，的中点，的中点，则，平面，平面，所以平面，同理结合可得平面，又，平面，所以平面平面，结合平面可得平面，又是侧面上的动点，所以点的轨迹为，因此轨迹长度为，D正确.三、填空题（15分）12.若角的终边经过，则__________.答案：##解析：解答过程：根据三角函数的定义得，又因为，所以.13.某圆锥的侧面积是，底面半径，则该圆锥的体积是________．答案：解析：解答过程：设圆锥的底面半径，高，母线，

因为,所以圆锥侧面积，即，解得，则，则圆锥体积.14.吃粽子是端午节标志性的习俗之一．现在生活中常见的粽子形状为三角粽（有四个面，每个面都为三角形），因为三角粽的四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，如果方形的粽子，包裹米粒的叶面要与其他面衔接处太多，容易把米漏出来，为避免漏出米粒就要过度折叠叶子，叶子在顺着植物纤维方向有韧性，但垂直向上是很容易扯破不容易成形．如图是某三角粽的平面展开图，其中，，若该三角粽的四个顶点都在某个球的球面上，则该球体的体积为__________．答案：解析：思路：由题意可得，将三棱锥补全为正方体，求出其外接球的半径，再根据球的体积公式即可得解.解答过程：如图，三棱锥为该三角粽的立体图，由，得在三棱锥中，，因为平面，所以平面，如图，将三棱锥补全为正方体，则该正方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径，则三棱锥外接球的直径，则其半径，所以该球体的体积为.四、解答题（77分）15.已知向量，，．（1）若，，三点共线，求实数的值；（2）若为直角，求实数的值．答案：（1）1（2）解析：思路：（1）利用向量加减法求出相关向量，再利用向量共线的性质构造方程求解；（2）利用向量加减法求出相关向量，再利用向量垂直的性质构造方程求解．（1）已知向量，所以，，由三点共线，得，所以，解得．（2）由题设知，，因为为直角，所以，解得．16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，是的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．答案：（1）连接，交于点，连接，由条件可知为中点，又是的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）因为平面平面，平面平面，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，是的中点．则，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.解析：思路：（1）连接，交于点，连接，通过即可求证；（2）通过面面垂直得到，通过等腰三角形得到，即可求证.（1）略（2）略17.已知函数．（1）求的最小正周期和对称轴；（2）求在上的解集．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用二倍角公式结合两角差的正弦公式化简函数，进而利用最小正周期公式及对称轴的性质计算求解；（2）求出，解不等式求出，结合得出解集．（1），所以函数的最小正周期为，令，解得，所以的对称轴为．（2），由，可得，则，解得，又，得，所以不等式解集为．18.在中，角，，的对边分别为，，．已知为锐角，，．（1）求；（2）若为的中点，从下面①②③中选取一个作为条件，使得存在，求的长．①边上的高为；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．答案：（1）（或）（2）选①时，存在，；选②时不存在；选③时，存在，解析：思路：（1）根据正弦定理求解即可；（2）若选①，根据三角函数的定义得到，从而得到，进而根据余弦定理求出，即可判断是否存在；若选②，根据余弦定理得到关于的一元二次方程，再结合判别式即可确定是否有实数根，进而即可判断是否存在；若选③，先根据题意及余弦定理求出和，再根据余弦定理求出，即可判断是否存在．（1）由，，则由正弦定理有，则，又在中，为锐角，所以．（2）若选①边上的高为，结合（1）有，则边上的高为，解得，又为的中点，则，所以由余弦定理有．故此时存在，且；若选②，结合（1）有，则由余弦定理有，即，整理得，则，无实根，故此时不存在；若选③，则，结合（1）有，则由余弦定理有，解得，则，又为的中点，则，所以由余弦定理有．故此时存在，且．19.如图，一个多面体的上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，两部分的高都是，且．（1）求直线与所成的角的余弦值；（2）若平面与平面的交线为，证明：．答案：（1）（2）正方形中，，平面，