江西省吉安市2025-2026学年高一下册期末教学质量检测数学试卷-含答案

数学总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数中，最小正周期为的是（）A. B. C. D.2.已知，，则的值为（）A. B. C. D.3.在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（）A. B. C. D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（）A. B. C. D.6.已知是关于的方程的一个根，则实数（）A. B. C. D.7.打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（）A. B. C. D.8.已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（为虚数单位），则（）A.的实部是 B.的共轭复数为C. D.10.如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，则下列结论正确的为（）A.直线与是异面直线B.正方体的外接球半径为C.平面截正方体所得截面图形的周长为D.若是线段上的动点，则平面11.如图放置的边长为2的正方形的顶点，分别在轴的正半轴，轴的非负半轴上滑动，则的值可能是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________．13.已知，则________.14.如图所示，四面体中，，，分别是，的中点，用一个与直线垂直且与四面体的各个面都相交的平面去截该四面体，得到一个多边形截面，则该多边形的周长是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，（1）设，若，求实数u的值；（2）若与共线，求实数的值．16.函数（，）的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集．17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且．（1）求a；（2）若，求的面积．18.如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，．（1）证明：平面；（2）设点为的中点，点在上．（ⅰ）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由；（ⅱ）当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值．19.已知函数，其中为实数．（1）若为偶函数，求的值．（2）当时，求函数在区间的值域．（3）已知为正整数，若函数在内恰好有2025个零点，求和的值．

数学总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数中，最小正周期为的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，由三角函数的周期性，对选项逐一判断，即可得到结果.解答过程：对于A，的最小正周期为，故A错误；对于B，的最小正周期为，故B错误；对于C，的最小正周期为，故C错误；对于D，因为的最小正周期为，将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折，得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确；故选：D2.已知，，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值．解答过程：，，，则.故选：B.3.在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可知：，则向量减法的三角形法则，可得：，又因为，，所以.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：解答过程：对于A，若，，则或，异面，故A错误；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，则使得，又，则，所以，故C正确；对于D，若，，则或相交，故D错误．5.内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，则，而，所以，则，所以.6.已知是关于的方程的一个根，则实数（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：也是方程的根，由韦达定理可得答案解答过程：是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的根，由韦达定理得，故7.打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，由相似得，解得，所以羽毛所在曲面面积.8.已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意得到，，从而求出答案解答过程：对都有，故，即，，故，，解得，，在上单调，，故，解得，故，解得，因为，所以，当时，，，符合题意，当时，，，符合题意，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（为虚数单位），则（）A.的实部是 B.的共轭复数为C. D.答案：AD解析：解答过程：.选项A，实部为，选项A正确；选项B，，选项B错误；选项C，，选项C错误；选项D，，选项D正确.10.如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，则下列结论正确的为（）A.直线与是异面直线B.正方体的外接球半径为C.平面截正方体所得截面图形的周长为D.若是线段上的动点，则平面答案：BCD解析：解答过程：对于选项AC，如图，连接因为是的中点，所以，且，在正方体中且，所以，且，所以四边形是梯形，故直线与共面，A选项错误.所以梯形是平面截正方体所得截面图形，梯形的周长为，C选项正确.对于选项B，正方体的外接球直径为体对角线，所以半径，B选项正确.对于选项D：因为，，可知四边形为平行四边形，则，且平面，平面，则平面，同理可得平面，且，平面，可知平面平面，且平面，所以平面，故D正确.11.如图放置的边长为2的正方形的顶点，分别在轴的正半轴，轴的非负半轴上滑动，则的值可能是（）A. B. C. D.答案：CD解析：思路：先求得两点的坐标，进而得到的表达式，再利用三角函数性质即可求得的取值范围.解答过程：设，则，则，则又，则，则，则，则的取值范围为,所以可能的值为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________．答案：6解析：解答过程：令扇形的半径为，弧长为，则，可得，所以扇形的半径为.13.已知，则________.答案：解析：思路：将未知角化为已知角，结合三角恒等变换公式化简即可.解答过程：解：因为，所以.故答案为：.方法提示：三角公式求值中变角的解题思路（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.14.如图所示，四面体中，，，分别是，的中点，用一个与直线垂直且与四面体的各个面都相交的平面去截该四面体，得到一个多边形截面，则该多边形的周长是________．答案：4解析：思路：将四面体放入长方体中，找出截面，由平行线分段成比例，即可求解.解答过程：已知四面体，连接，，在中，，，为中点，由勾股定理可得，在等腰三角形中，为中点，故，同理，由题知四面体中互为异面直线的两条棱长分别相等,故可将此四面体放入长方体中,设截面与、、、分别交于点、、、，如图所示，可得，，，，故此截面为平行四边形，设，由平行线分段成比例，，，故平行四边形的周长为，故周长为4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，（1）设，若，求实数u的值；（2）若与共线，求实数的值．答案：（1）（2）解析：（1），，得，得（2）与共线，且与不共线，，，得：．16.函数（，）的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）利用给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式.（2）利用函数图象变换求得，再利用正弦函数的性质求解不等式.（1）由函数的图象，得，的最小正周期，由，得，由，得，而，则，所以函数的解析式为.（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得，由，得，则，，所以不等式的解集为．17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且．（1）求a；（2）若，求的面积．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）先由正弦定理和叠加公式求出，再根据求；（2）根据及求出，再根据三角形面积公式求解即可.（1），由正弦定理得，，，又，，，所以．，，因为，所以，故，解得，外接圆的半径为，由正弦定理得，（2），故，解得：，.18.如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，．（1）证明：平面；（2）设点为的中点，点在上．（ⅰ）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由；（ⅱ）当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）因为底面四边形中，，，，，所以四边形为直角梯形，且，所以，即，因为侧棱底面，底面，所以，且，平面，平面．所以平面（2）（ⅰ）是定值，为，理由如下：连接，因为侧棱底面，，，所以，又，平面，平面，所以平面，在四棱柱中，，，因为，，，点为的中点，则，，即四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，可得，所以三棱锥的体积为定值．（ⅱ）解析：思路：（1）利用勾股定理证明，再结合即可证明；（2）（i）连接，证明平面，进而转化为的体积即可判断并求解；（ii）取中点，连接，证明，得是平面与平面所成的二面角的平面角，且，最后在中时最小，并结合对应距离求角度.（1）略（2）（ⅰ）是定值，定值为；（ⅱ）取中点，连接，，因为，为中点，所以，在四棱柱中，点为的中点，所以四边形为平行四边形，因为侧棱底面，所以底面，又底面，底面，所以，，又，平面，平面，所以底面，又底面，所以所以是平面与平面所成的二面角的平面角，因为，所以的面积最小时，最小，在中，最小，则，如下图，由于，，，故，所以，在中，，所以当的面积最小时，平面与平面夹角的余弦值为．19.已知函数，其中为实数．（1）若为偶函数，求的值．（2）当时，求函数在区间的值域．（3）已知为正整数，若函数在内恰好有2025个零点，求和的值．答案：（1）（2）（3），解析：思路：（1）根据偶函数的定义求值；（2）分和两种情况，分别令，，再结合一元二次函数求值域；（3）可知是的一个周期，结合第（2）问分别求出在、上的零点个数以及a的范围，结合周期性可求.（1）因为为偶函数，则对恒成立，则，可得对恒成立，则.（2）当时，，当时，，令，则，则，因为，所以，则，即，因为，，所以；当时，，令，则，则，因为，所以，则，即，因为，，所以；综上可知，函数的值域为．（3）因为，所以是的一个周