江苏省无锡市江阴市某校2025-2026学年高二下册3月份学情调研数学试卷-含答案

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（）A.13种 B.22种 C.30种 D.60种2.物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（）A.在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B.在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度C.在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D.在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度3.若是函数的导数，且，则（）A. B. C. D.24.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.5.直线是曲线的一条切线，则实数b=（）A.-1或1 B.-1或3 C.-1 D.36.设，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.7.若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.8.定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列问题属于排列问题的是（）A.从10个人中选2人分别去种树和扫地B.从10个人中选2人去扫地C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D.从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算10.下列函数的求导运算正确的是（）A. B.C. D.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若恒成立，则的取值范围是B.当时，的零点只有1个C.若函数有两个不同的零点，则D.当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.14.直线与函数和的图象都相切，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、每人限报其中的一个运动队，不同报法种数是多少？（2）一位老师要给4个班级轮流做讲座，每个班级讲一场，有多少种轮流次序？（3）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，从甲地到丁地共有多少条不同路线？16.已知函数在处取得极值.（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.17.甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为．（1）把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意不相等的，恒有，求非负实数的取值范围.（3）当时，证明：对任意，恒成立.19.已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）若，且对任意恒成立，求的最大值.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（）A.13种 B.22种 C.30种 D.60种答案：D解析：思路：根据分步乘法计数原理可求出结果.解答过程：根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，故选：D．2.物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（）A.在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B.在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度C.在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D.在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案：C解析：思路：利用平均速度的定义逐项判断可得出合适的选项.解答过程：在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故AB错误；在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，则在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误．故选：C.3.若是函数的导数，且，则（）A. B. C. D.2答案：C解析：思路：根据导数的定义计算即可.解答过程：.故选：C.4.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得.解答过程：由求导得，，则当时，，即函数在上单调递增；当时，，即函数在上单调递减，故函数的单调递增区间为.故选：D.5.直线是曲线的一条切线，则实数b=（）A.-1或1 B.-1或3 C.-1 D.3答案：B解析：思路：利用导数求得切点坐标，进而求得的值.解答过程：令，解得，故切点为或，而，所以或.故选：B6.设，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出判断.解答过程：构造函数，求导得，令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因为，所以，即，故.7.若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解.解答过程：由函数，其定义域为，且，因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解，显然，即在上有两个不同的解，即与的图象在上有两个不同的交点，又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且，如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.8.定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过构造函数，利用导函数的正负与原函数单调性的关系，得到构造函数的单调性，进而求解不等式即可．解答过程：设，，则，因为，则，故，则单调递增；因为，则；则等价于，解得；故的取值范围为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列问题属于排列问题的是（）A.从10个人中选2人分别去种树和扫地B.从10个人中选2人去扫地C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D.从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算答案：AD解析：思路：解答过程：根据题意，依次分析选项：对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题．故选AD.10.下列函数的求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据导数的四则运算和复合函数运算进行判断．解答过程：A选项，，故A错误；B选项，，故B正确；C选项，，故C错误；D选项，根据复合函数求导法则可得，故D正确．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若恒成立，则的取值范围是B.当时，的零点只有1个C.若函数有两个不同的零点，则D.当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是答案：BCD解析：思路：本题考查了利用导数研究不等式恒成立与零点问题.根据条件，通过构造函数并利用导数研究其单调性、最值等问题解决问题解答过程：对于选项因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立.设，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此函数在处取得最大值，最大值为.因为对恒成立，所以.故选项错误.对于选项.当时，在定义域上恒成立.故在上递增.且，，故在存在唯一的零点，故正确.对于选项.因函数的定义域为，所以两个零点.因为，，所以，.因此，即.要证，只要证，即证.令，要证，即要证.令，.因为，所以函数是增函数，因此对，有.则，即，即.所以，故正确.对于选项.当时，不等式恒成立，即不等式恒成立.即不等式恒成立，即恒成立.设函数，则，故函数在定义域上单调递增.因，即，所以.设函数，.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在时取最大值，.故若要使在上恒成立，即正数m的取值范围是，故正确.故选：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.答案：解析：思路：利用导数的运算法则求出导数，再求出导数值即可.解答过程：因为，所以，则.故答案为：13.由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.答案：解析：思路：能被整除的三位数末位数字是或，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.解答过程：能被整除的三位数说明末尾数字是或当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；则一共有种故答案为：14.直线与函数和的图象都相切，则______．答案：解析：思路：设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果.解答过程：设直线与函数图象的切点为，又，所以，直线的方程可表示为，即，故，设直线与函数图象的切点为，又，所以，直线的方程可表示为，即，故，所以，由可得，所以，解得，故，则，故.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、每人限报其中的一个运动队，不同报法种数是多少？（2）一位老师要给4个班级轮流做讲座，每个班级讲一场，有多少种轮流次序？（3）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，从甲地到丁地共有多少条不同路线？答案：（1）；（2）；（3）解析：思路：（1）根据分步乘法计数原理求解即可；（2）根据对4个班级做全排列，利用排列数公式求解即可；（3）利用分类加法计数原理求解即可.解答过程：（1）因为每人限报其中的一个运动队，所以不同报法种数为：.（2）第1个安排的班级有4种选择，第2个有3种选择，第3个有2种选择，第4个有1种选择，因此总次序有种.（3）从甲地到丁地，有以下两种途径：第一种：甲→乙→丁，根据分步乘法计数原理，路线数为，第二种：甲→丙→丁，根据分步乘法计数原理，路线数为，故总路线数为两种相加：.16.已知函数在处取得极值.（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.答案：（1）；和（2）解析：思路：（1）由在处取得极值得到，求出，由得到的方程组，计算出的值，从而得到；解出的的范围是单调递增函数；（2）设切点为，求出，利用点斜式求出切线方程，将点代入切线方程得到的方程，计算出的值，将代入切点和斜率，利用点斜式得到切线方程.（1）在处取得极值，，，，，；，，即，即或，在和上是单调递增函数；（2）设切点为，，则切线方程为，切线过点，，，，切点为，，切线方程为，即.17.甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为．（1）把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案：（1），（2）应该以千米/小时行驶解析：思路：（1）求出每小时的运输成本以及全程行驶时间，相乘即可得出关于的函数关系式；（2）利用导数可求出当取最小值时的值，即可得出结论.（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时，所以，.（2），当时，，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以当时，最小.综上：应该以千米/小时行驶.18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意不相等的，恒有，求非负实数的取值范围.（3）当时，证明：对任意，恒成立.答案：（1）当时，的单调增区间为，无减区间；当时，在单调递减，在单调递增.（2）（3）要证明恒成立，即证明，令，，令，解得或（舍去）当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；因此，在时取得极小值，也是最小值，最小值，所以在上恒成立，因此.解析：思路：（1）求出导数，分类讨论和时导数的正负即可.（2）根据题意，由在单调递增得到函数在单调递增，从而有即可求解；（3）构造函数，利用导数得到在上恒成立即可证明.（1）已知函数，定义域为