2026年全国1卷高考数学试题（解析版）

绝密★启用前

2026年普通高等学校招生全国统一考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.样本数据6,8,4,5,12的中位数为()

A.5B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】结合中位数定义可得.

【详解】将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12,则中位数为6.

2.已知平面向量,，B不共线，且22+歹1=切一3九则()

A.x=2»y=-3B.x=-2f^=3C.x=2,y=3D.x=—2♦y=-3

【答案】A

【解析】

【分析】由平面向量基本定理可得.

【详解】由题意可知平面向量。,为不共线，-S.2a+yb=xa-3b

\x=2

则十

卜二-3

3.已知集合4=[sin?,cos孚,tan芈，，B=・一£、,1、,则力()

[63422

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币_1

A.D.C.D.

2'24-卜

【答案】C

【解析】

.7兀inf”斗.7115兀711

【详解】因为

sin—=sinI6j-sin—=——,cos一=cosl2TU--3J=cos—=—,

662332

5兀兀兀.

tan——=lan兀十一=tan-=1,

444

即集合彳=,一彳，!」，一工，11，所以1

,且集合B二〈

22222

4.曲线y=5x+81nx在点（1,5）处的切线方程为（）

A.y=3x+2B.y=5xC.y=8x-3D.y=13x-8

【答案】D

【解析】

Q

【详解】因为y=5x+81nx,则"=5+—，当工=1时，/=13,

所以曲线y=5x+81nx在点（1,5）处的切线方程为y-5=13（x-l）,

即y=13x-8.

5.已知抛物线G：/=2〃M（必〉0）和G：Y=2p2y（P?>。）均经过点（4,8）,则G的焦点与G

的焦点之间的距离为（）

D*

A.12B.475C.6

【答案】D

【解析】

【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数/4“2,再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后

代人距离公式计算即可.

【详解】•・・抛物线G:丁=2pM（P[>0）经过点（4,8）,

...将X=4,J，=8代入G的方程得82=2p/4,即64=8Q,解得p1=8.

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・•・£的焦点坐标为々(^,0,即6(4,0).

•••抛物线G：/=2〃2>(〃2>0)经过点(4,8),

...将X=4J=8代入&的方程得42=2p2-8,即16=16〃2,蟀得P2=1•

。2的焦点坐标为死(哈〉却44)-

根据两点间距离公式，耳与旦之间的距离为:

1^l=J(4-0)2+^0-£16+：=

t+2

6.已知函数/(x)=1一的最大值为1,则。=()

e

3

ABIc-D.2

-72

【答案】B

【解析】

【详解】法1：(1)当。<0时，由ev+QA0,解得xwln(-C),

故函数/'CO定义域为(一8/n(-a))u(ln(-a),+00).

①当a<—一时，，ln(-4?)+2>0,

e-

当工7ln(—a)\则/(》)->+8,故不存在最大值，不合题意;

②当。=—［时，此时/(x)二—14,/(0)=二7>2,

e-e-e1-e

故最大值不为1,不合题意；

③当一^cacO时，ln(-〃)+2<0,

e-

当工fln(-a)-,则/(x)f+8,故不存在最大值，不合题意;

(2)当QNO时，则e、+a>0,则函数/(x)定义域为R.

且由/(x)最大值为1可知，x+2We、+a，

即a2x+2—e*对任意x£R恒成立，旦等号能取到.

设g(x)=x+2-e'•则g'(x)=1-ex.

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当工＜0时，g'")〉o,g(x)单调递增；

当工＞0时，g'(x)＜0,g(x)单调递减；

故g(x)Wg(0)=l,当且仅当x=0时，g(x)nw(=l，

由〃Nx+2-e'对任意xcR恒成立，可知。21,

又当时，恒有g(x)＜l＜。，取不到等号，所以有。=1,

故选：B.

、上//、x+2

法2：/")=1—,

e+a

由选项知。＞0,则定义域为R,

故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为％,

、(c'+4)_(x+2)e、_(x+i)e'+Q

由"")=(e»J=KF'

则由/(%)=0,可得。=(%+1)物①，

x+2

且f(Xo)=T---=1，即。=%+2-已”②，

e°+。

x=0

联立①②解得1°~.

a=I

x+2

验证；当a=1时，/(x)=---,

e+1

“、-(x+l)e'+l

M/w=(771F-

设g(x)=-(x+l)e'+1,则g'a)=-(x+2)e",

当工＜一2时,gV)＞0,则g(x)在(-8,-2)上单调递增:

当了＞—2时，g'a”O,则g(x)在(ro,-2)上单调递减;

g(x)3=g(—2)=1+1，且g(0)=0,

e-

旦当g(x)f0；当xfyo,g(x)f-8；

作出函数g(x)的大致图象,

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yk

当工<0时，g(x)>0,/Xx)>0,/(x)在(0,+8)上单调递增；

当工>()时，g(x)<0,/'(x)<0,/(x)在(0,+x)上单调递减：

则/(X)max=/(0)=l，满足题意，故。二1•

法3：由选项知。>0,则定义域为R，

由"0)=_?_<1伍>0),解得QN1.

1+。

同法2验证可得，故。=1满足题意，由选项唯一可得..

法4：由选项知。>0,则定义域为R,

2

由«0)=——<\(a>0),解得QNI.

1+4

验证：当。=1时，由不等式e'2x+l可得e'+12x+2，

丫+2

故/")=一「01,当且仅当x=0时等号成立，

e+1

故”=1满足题意，由选项唯一可得.

7.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共

有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第，行中塔的座数记为4«=1,2,…,12),其中4=1,

。2=。3=3,4=%=5,且4，%，…，《2是一个首项为7，公差为2的等差数列.将4，生，…，

〃分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为"a>0)的等差数列，则d=

()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】由条件求出数列｛外｝的前12项的和，设新数列为｛4｝,设其公差为d,由条件可得

/,+』［=18,结合选项判断即可.

2

【详解】由已知4=1.%=〃3=3.〃4=〃S=5，tz,=7+2(z-6)=2Z-5,z=6,7,8,9,10,11,12,

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（7+19）x7

所以数列｛%｝的前12项的和为1十6十10十A-----L--17+91=108,

2

设新数列为也｝,〃=1,2,3,4,5,6,

由已知数列｛〃｝为等差数列，设其公差为c/,c/>0,

又｛/｝的前12项都为奇数，｛"｝所有项都为偶数，

由已知d为正偶数，。为正偶数，

则6々+空xd=108,故々+』d=18,

22

若d=2,则。=13,矛盾，

若d=6,则4=3,矛盾，

若d=8,则4:-2,矛盾，

若d=4,则4=8,此时可取4=4+4=8,b2=a2+^7=12,by=a4+a3=\6,

b4=a3+a]]=20,b5=a5+al2=24,Z?6=a9+a10=28,满足要求;

8.设。=｛（西/2，七）上£｛一2,-1,1,2｝,”1,2,3｝为空间中64个点构成的集合，点尸（11,1）,记样本空间

Q=QP，从。中随机取一个点，定义随机变量X如下：对Q中的每个点力（人/，当），令

丫（/）=~+七+项，则X的数学期望值为（）

111

A.——B.——C.0D.-

21637

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可•知〃（。）=63.解法一：根据占典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得

47

p（y=-3）=—,p（z=3）=—,根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解.

6363

【详解】由题意可知：〃（Q）=4X4X4-1=63,且随机变量X的取值为-6,-5,-4,-3,一2,-1,

0,1,2,3,4,5,6.

解法一：依题意，可得P（X=-6）=P（X=6）4

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3

P[X=-5)=尸(X=5)=P(X=-4)=尸(X=4)=看，

43

「底=-3)=而,P(X=3)=石，

o6

p^X=-2)=P(Z=2)=P(X=-1)=P(%=1)=—,P(Y=0)=—,

所以E(X)=(-6+6)x—+(-5+5-4+4)xA_XA3XA(-2+2-l+l)x—+0x—=--

63363+63+'7636321

解法二：根据对称性可知：P（X=-6）=P（X=6）,P（X=-5）=P（X=5）,尸（X=-4）=P（X=4）,

p(X=-2)=P(X=2),0(X=—l)=0(X=l),

43

又POE二圆,尸(、=3)二方，

431

所以ElAOu-x/+Bx芍u—天：

036321

解法三：因为巧€{—2,—1,1,2},i《{1,2,3},

对于任意一点（七,工2，工3）,均存在-修，一事）与之对应，可知这两点的坐标和为。，

因为尸（1,1,1）,样本空间^=。尸,

可知样本空间。中存在唯一点（一1,-1,-1）与点。（1J1）对应,

所以O中所有点的坐标和的总和为-1-1-1=-3,

-31

故E（X）=&F

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设z=3+2i,则（）

z+3

A.z=3-2iB.目=5c.Z2=5+12iD.-------GR

z-\

【答案】ACD

【解析】

【详解】对于A选项，复数z=〃+/）i的共扼复数彳=Q-bi,因此彳=3-2i,A选项正确.

对干B选项，复数的模|z|=yjci2+h2»因此|z|=+2?=JFJw5，B选项错误.

对于C选项，•••z=3+2i,

2=(3+2i)2=32+2x3x2i+(2i)2=9+12i-4=5+12i,该选项正确.

对于D选项,

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•••分子z+3=3+2i+3=6+2i,分母z—i=3+2i—i=3+i,

z+3_6+2i_(6+2i)(3-i)18-6i+6i-2i220、2是实数，故出£R,该选项正确.

-----------------i-------=—=2

3+i-(3+i)(3-i)9-i210z-l

10.在空间中，4、4为两个定点，动点。到直线43的距离为2,动点。到直线力B的距离为1.若二面角

C-AB-D为60。,则（）

A.ZCAD>60°B.CD>43

C.当/6J.CZ）时，COJ■平面49。D.当力后_L平面4c。时，ACLAD

【答案】BC

【解析】

【分析】做出满足条件的图，过点C作CE工力8,£为垂足，过点。作_L48,q为垂足，过点E作

EG//FD,由条件可得NCEG=60'，解三角形可得CG=JJ，由此判断B,当点力与点E的距离无限

大时，可得NC力。趋向于0。，排除A,先证明力8_1_平面COG,结合力BJ.CO,证明2G重合，由此证明

67）1平面力80,由48J_平面力CO推出点力与点E重合，点。与点G重合，判断D.

【详解】不失一般性作图如下，

过点。作48,七为垂足，过点。作。产J./18,尸为垂足，

过点、E悍EGIIFD,EG=FD,连接GO,

则EGJ.48,因为二面角C—48—0为60。，

所以NCEG=60'，由已知CE=2,OE=1,

所以CG?=4+l-2x2xlxcos60°=3»所以CG=6，

故CG1EG,CDNCG=6B正确；

当点4与点£•的距离无限大时，CA,AD无限大，C4c。无限靠近44,

此时NCID趋向于0。,A错误;

因为上CE,力BJ.EG,CE\EG=E,CE,EGu平面CEG,

所以/8_L平面CEG,又CGu平面CEG,所以45J.CG,

若AB1CD,"G不重合，结合CGnCQ=C,CG,CQu平面COG,

可得/8_L平面COG,OGu平面CQG,

所以48_LOG,矛盾，所以。,G重合,

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因为/8_LCG,CGIEG,EGr\EF=E,EG,EFu平面EFDG,

所以CGJ■平面£/*G,故C01平面N8Q,C正确；

因为48，平面CEG,若48d_平面力CD,

则平面CEG与平面力CO重合，此时点力与点E重合，点。与点G重合,

故.4。与彳。的夹角为60°，D错误，

22

11.已知圆C：(x+1)2+V=i,HC2:(x-l)+y=1»圆。3：/+。-6)2=1,直线/：y=依■+%与

G，c2,C3均有两个交点.记/被G，c2,C3截得的弦长分别为S[、$2、S3,则()

A.%可以取任意实数B.满足S]=&=$3的直线/共有3条

C.满足l+与+53=3的直线/多于3条D.当b=0时，西+$2+53的最大值为晔^

【答案】BCD

【解析】

【分析】已知三个圆均为半径r=1的等圆，圆心分别为G(—1,0)、。2。,0)、C3(O,V3),利用弦长公式

s,=2j"d；(4为直线/到对应圆心的距离，且4<1以保证直线与圆有两个交点)，逐个分析选项即

可.

」\b-k\J\b+k\

【详解】记直线/：n=履+6到G，c2c的距离分别为4，出,4,则4=/1,d2=^==,

V1+K0+K

Jl+K

•・•直线与三个圆均有两个交点，

4<1,d2<l,〃<1，对应弦长为S,二2-d；(i=1,2,3).

A：•.•解4<1,得”J1+攵2<力<4+J1+—,

解&<1，得一％—，1++2+Jl+公,

不妨取A>0,

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•••kM'+k?〉-A+Jl+/>0>k-y]]+k2>-k-yj\+k2，

•••k-Nl+k?<bv-k+>h+k2，i己力=(〃-Jl+a?，-k+y/'+k2).

解&<1,得⑺一Jl+公<b<6+Ji+公,记8=(百-Jl+〃2,6+J1+A)

当拒一匹不N-k+后/，即％=*时，A^B=0,

此时不存在这样的直线/与三个圆都相交.

•・•上不能取任意实数，A错误.

B:•・•51=52=s3,

4=d2=dy.

由4=4得|力一女|二|力+%|,平方得-4从=(),即左=0或8=0.

由4=%得|勿=2一6|,解得人二等，

①当％=0时，直线为，=心

此时4=也<1,符合条件,

对应直线I条.

12

由4%得舟二磊

②当人=0时，直线为歹二"，解得k=±5/3»

此时4=@<1，符合条件，对应直线2条.

12

综上，共3条直线满足条件，B正确.

C：令/)=0,

•a=2f^=春,s—f^二崎

令l=dk2，则Y=〃+2，

2(2+/)

0+$2+邑一厂--

〃+3

4+2/.

令S]+$2+§3=3,即/,=3,

，厂+3

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平方整理可得5/2-1。+11=0,解得2=2•或£=1,即〃=土百或

35

经验证，此时4,4,4均小于1，满足题目要求，此时已有4条直线，多于3条，C正确.

令1=42-2(1>0)，则42=产+2,

2(2+/)

』+&+邑二尸----

〃+3

/.L2rt,x3—2/

设/⑺=/,(”0),求导得/")=I，

J厂+3(『+3)2

令/'(/)=。得，=：

』+与+53的最大值为2x^=2亘，D正确.

33

【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦

长关系转化为圆心到直线的距离美系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合

特殊情形快速判断正误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线5/—6/=1的离心率为

【答案】

V66

~6~

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【解析】

【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定/、〃，再利用双曲线中。力,。的关系求出C,最后根

据离心率定义计算结果.

11

【详解】将双曲线5/—6/=1化为标准方程，得了一丁一1则/=-,〃=一，

?656

11屈

因此。2=/211J_L,则离心率为e=£=:310

+f)=+=-==6-

5630a5

13.已知/")=2sin(ax+，)(aeZ,0«8<2兀）是偶函数，/'（x）在区间（0,］）单调递增.则6=

---------，3)

371

【答案】①.y②.1

【解析】

【分析】根据单调性和周期性可得时=1,2.解法一：根据偶函数可得6=5,与，并代入结合单调性检验即

7T7TT

可；解法二：根据题意可得/'（o）=o,即可得。=5,万，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三:

分析可知/（X）在x=0处取到极小值，可得0二与，进而可得结果.

【详解】设函数/（X）的最小正周期为T,由题意可知。了0,

因为函数/（%）在（0微内单调递增，则5吟即屋兀,

2兀、「

可得词之兀，解得同W2,

且"Z,。工0,则|4=1,2,

解法一：因为函数/（X）=20抽（如+。）为偶函数,

则。=占兀+四，k、eZ,且0«9<2兀，

2

.八1八71371

则nl占=0,1,0=—-♦

22

第12页/共29页

Tt

若。='，则/(x)=2sinax+2cosax=2cos(同x),

2

即/(x)=2cosX/(x)=2cos2x,不符合题意,

若①则3兀、

8=,/(x)=2sinar4——=-2costzx=-2cos(|«|x),

2J

即/(x)=-2cosx或/(x)=-2cos2x,符合题意;

且停C27c1A〃C4兀_(兀it1c兀71，

=-2cos——=1或/-2cos=-2cos|兀+丁=2cos—=1；

333

3TT2n)

综上所述：0―,f=1.

解法二：因为/"(x)=2qcos(Qx+9),

若函数/（X）为偶函数，则/'（0）=2acose=0,即cos8=0.

7T3兀

且0工。＜2兀，则。=一，一，

22

若。=],则/(x)=2sin71

ax+—=2cosQX=2COS(|Q卜),广3=-2时sinX），

2（同

即/'(x)=-2sinx<。或/'(x)=-4sin2x<0在0,1内恒成立,

I27

可知函数/（x）在（。仁内单调递减，不符合题意,

3兀、

若吟,则/(x)=2sin=-2cosax=

e0X4--2J-2cos(p/|x),//(x)=2|a|sin(|a|x),

即(x)=2sinx>°或/'(X)=4sin2x>°在0,—内恒成立,

<2)

可知函数/（X）在［o,；内单调递增，符合题意,

且271二-2cos4=1或/2花C4兀_[TI_71,

=-2cos—=-2cos|兀H—=2cos—=1；

I3/J313)33

37r(2兀]

综上所述：0=—,f

<T>=1.

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解法二：因为函数/(x)=2sin(ax+6)为偶函数，且函数/(x)在0,"内单调递增,

可知/(x)在工=0处取到极小值，则。=2内兀—]，pZ,且04。＜2兀，

3兀)c

则。2=1，＜9=—,则/(x)=2sinax-\-——=一2cosax=-2cos(同x),

2J

即/(x)=-2cosx或/(x)=-2cos2x,符合题意;

14.设实数9满足：存在数列｛凡｝,使得对于任意〃£N*,均有q+%+…+%“=/+〃，且｛/｝中有某

连续9项4,4f，L,是公比为^的等比数列.则g的最大值为

【答案】《

【解析】

【分析】由前3〃项和公式推出每连续三项的和7；二2〃.将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三

项块和等于2〃得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得夕3的上界，即可取得最大值.

【详解】令[=〃3〃.2+%I+%，由题意得。=(/+〃)—[(〃-1尸+(〃7)]=2〃，

因此每个三项块8〃的和为2〃.

设这9项为x,x%xq2,...,x*，记。=1+1+/.由于。＞0,且完整三项块和均为正，

下面按々除以3的余数讨论.

若太=3阳+l(w＞0),这9项正好包含三个完整三项块，

得工C=2("+l),/3c=2(加42),第6。=2(m+3),

于是夕3=生£且g3=丝M，矛盾，故这种起点不存在.

若k=3〃7+2(〃720),其中两个完整三项块为第〃7+2块，第阳+3块,

得码2。=2(加+2),xq^C=2(/??+3),所以q'="+4一.

m+22

若上=3m(加21),其中两个完整三项块为第加+1块，第加+2块，

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得必。=2(〃7+1),河4(7=2(m+2),所以——<—.

/〃十12

综上小工^，所以qwg，即q的最大值为祗.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三棱柱44G中，乙4C8=90。，AC=BC,D,E分别为4G的中点.

(1)证明：DE〃平面Bcqw；

⑵设C'C；=2,直线。E与平面4CC；4所成的角为45。，求直线。E到平面外储用的距离.

【答案】(1)由题意证明如下：

如图，作出符合题意的图形，连接〃G，

在△48G中，D,E分别为4B,AC1中点、，：.DE//BG，

:DE«平面BCC、风,BC、u立面BCC1氐，

・•・DE”平面BCC国.

(2)距离为1.

【解析】

【分析】(1)通过证明。七〃即可得出结论；

(2)方法一：设出4。=8。=21/>0),建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量诙与面

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4CG4的一个法向量的表达式，根据直线QE与平面4CG4所成的角为45。求出参数f,借助几何关系

即可求出。E到面BCC\B1的距离.

方法二：利用直线OE与平面力CG4所成的角为45。，求出力C=3C=CG=,借助几何关系即可求出

DE到面BCG4的距离.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

法一：由题意及（1）得，CC,=2

在直三棱柱力3C-44G中，ZACB=90°,设力C=8C=2z（，＞0）,

四边形ACC}A,与四边形BCC.B.是矩形，

AAC±BC,AC±C'C,,BC±CC；,

得到力（2人0,0）,3（0,2八0）,C（0,0,0）,E（r,0,l）,

AW=（O,/,-l）,面的一个法向量为%=（0,1,0），

V直线DE与平面力CG4所成的角为45°,

设直线OE与平面ZCG4所成的角为6

阿刃_|0+rxl+0|

:.sin6=CG《ED,H）==sin45°

|砌何Jo+产+（-1）：xJo+F+o

解得1=1,，42,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,0）,D（l,l,0）,£（1,0,1）,

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•・•DE〃面，・•・由几何知识得，DE到面BCC&1的距离为“=1.

法二：由题意及（1）得，

在直三棱柱48。一44G中，ACB=90。，AC=BC,

四边形ACC}A］与四边形8CC由是矩形，

/.AC1BC,AC1CC,,BC1CC,,

VACQCC}=C,4Cu平面/CC/i，CQJ平面力CC/,6C<z平面力CC/「

・•・BC_L平面力CG4,N5CG=90。，

・••由几何知识得，N8GC即为直线8G与平面/CG4所成的角，

直线DE与平面ACQA}所成的角为45。，

在“8G中，D,七分别为力8,4G中点，DE//BQ,

・•・直线8C与平面力CG4所成的角为45°,即N6CC=45。，

在RMBCG中，Z5c,c=45°,Z5CC,=90°,CC,=2,

:,AC=BC=CC、=2,

在RtV/BC中，ACLBC,AC=BC,

V48C为等腰直角三角形，过点D作D尸〃力。,

则点尸为4。中点，DF=^-AC=l,DF1BC,

由几何知识得，DE到面BCC'B1的距离即为DF=\.

16.已知在V/3C中，HB=3,BC=2Bcos5=

(1)求cos4；

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(2)设。，上两点满足：。在84的延长线上，DE/IBC,AELAC.若DE=®求CE.

【答案】⑴

3

⑵3石

【解析】

【分析】(1)由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边4C,再用余弦定理求cos%；

(2)建立坐标系，设出点Q坐标，由平行关系得点£1的坐标，利用垂直条件求参数，由OE长度解出

I，再计算CE.

【小问1详解】

在V力8c中，43=3,8。=2有，cosZ?=—.

3

由余弦定理可知力=力32+8。2-2•43・8C・cos〃=9+12-2x3x2jJx巫=9,

3

।人力-足田,AB2+AC2-BC29+9-1261

故,4。=3.冉由余弦定理得cos/=------------------------=-------------

2AB-AC2x3x3183

【小问2详解】

以,4为原点，48为x轴正方向是立平面直角坐标系如图:

则,4(0,0),8(3,0),由4C=3,。。$力=；得。(1,2收).

。在胡延长线上，设则。(T,0),^C=(-2,272),DE//BC,

设屁二兄（一2,20）,贝iJE（—Z—242。）.

ULUILUU/、/L\-t

由,4EJ.4C,得AE.AC=0,故（一z—2%）xl+（2j24）x2、2=0n—/+6义=0n4=石.

于是0后二冈・|就卜（乂2百二牛/.

已知DE=>/6»则1=\[6=>t=3A/2»则%=

32

代入得E(_4a,2),而C(l,2五),

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故二仙+4扬2+(20—2)2=7(33+872)+(12-872)=届=3亚.

17.设整数N22.某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或N次均未投中

时，停止练习.设该同学每次投中的概率为各次投中与否相互独立.记X为停止练习时该

同学的投篮次数.

(1)当N=4,〃时，求X的分布歹U；

(2)设女,加均为自然数.

(i)当％WN—1时，求尸(X>k)；

(ii)当)+mWN-l时,证明：P[X>k+m\X>k^P[X>m).

【答案】(1)X的分布列如下图所示:

不1234

248

P

392727

(2)(i)P(X>k)=(i-p)k

(ii)由题意及(2)(i)证明如下:

P(X>k+mnX>k)_P(X>k+m)_(\-p)k+n，

P[X>k+m\X>k)=

产(X>QP(X>k]~(i-p)x

=(\-p)n，=P(X>ni)

即P(X>k+m\X>k)=尸(X>m).

【解析】

【分析】(1)求出X的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列.

(2)(i)。(¥>々)等价于前々次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出产(X>%).

(i：)利用条件概率公式，结合(i)的结论与事件的包含关系即可证明结论.

【小问1详解】

由题意，

整数N22,某同学进行投篮练习，至多投篮N次，

当且仅当投中1次时或N次均未发中时，停止练习，

・・・X的可能取值为1,2,3,4,

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当x=i时，表示第一次就投进球，P(Y=I)=1,

当X=2时，表示第2次投进球，第1次没有投进，P(X=2)=(l-£jx；="|,

(1V14

当X=3时，表示第3次投进球，前两次没有投进，p(%=3)=1--x-=—,

I3j327

当X=4时，表示在第4次停止，此事件等价于前3次投篮均未投中

8

P（X=4）=P（X>3

27

作出X的分布列如下图所示:

X1234

248

P

392727

【小问2详解】

(i)由题意及(1)得，

整数NN2,某同学进行投篮练习，至多投篮N次,

当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习,

当LKN—1时，X>〃表示前上次均未投中，

P（X>k）=（\-p）k.

(i：)略.

18.已知椭圆C：W+二=l(a>b〉O)的左焦点为歹(一1,0),离心率为;.

a~b~

(1)求C的方程；

(2)设。为坐标原点，过/且斜率大于0的动直线/与C交于P,。两点，其中。在第三象限，直线。。

与C的另一个交点为H.

(i)若△尸0R的面积是吟的面积的3倍，求/的方程；

(i：)求tanNPQR的最小值.

22

【答案】(1)三+匕=1

43

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（2）（i）/=^-（x+1）；<ii）473

【解析】

【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解：

（2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于NPQR是直线

kpQ-k°R

也与直线火。的夹角，根据tan/PQ/?二列出表达式即可求解.

1+kpQ,kQR

【小问1详解】

已知椭圆三+£=1的左焦点为/（-1,0）,离心率

则。=1,。=£=大，解得。=2,Z>2=6/2-c2=22-I2=4-1=3»

a2

因此椭圆方程为工+匕=1.

43

【小问2详解】

解法一：

设，J=k（j+1）（女>0）,点尸（石，必），点。（》2,%），其中

jV=Zr（x+l）

联立直线/与椭圆方程彳/2,得（3+4-），+8%2%+4%2-12=0,

---=1

43

8/4k2-12

由韦达定理得玉+%=3+4/5-3+4/，

由于P,H两点在椭圆上，关于原点对称，

所以点R（一再，一切）,且必=左（再+1）M=43+1）,

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