2025-2026学年北京市昌平区高二（下）期末考试数学试卷（含答案）

2026北京昌平高二（下）期末

数学（第二组）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={-2,0,2,4},8响叫,则"8=（）

A.{0,2}B.{-2,0}C.{-2,0.2)D.{-2,024}

2.在等比数列{4}中，生=8,牝二一1,则为=（)

\_

A.—B.—C.-D.；

8844

3.下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）

A.y=--B.y=X|A]C.y=sinxD.y=tanx

X

4.已知〃力eR,且“</?,则()

A.-<yB.2“<3〃C.a\4D.3-a>2-b

ab

5.已知函数/(x)=ln2x,则:(3)=()

A.-B.-C.-D.-

63In62

6.已知函数〃x）=8s2x+卜in^,则/（力是（）

A.奇函数，且最小正周期为兀B.奇函数，且最小正周期为2兀

C.偶函数，且最小正周期为乙D.偶函数，且最小正周期为2兀

7.某地区为推进碳中和目标，计划逐年新增光伏装机容量.已知2025年该地区光伏年发电量为4000万

千瓦时，在按发展规划建立的测算模型中，自2026年起，每年发电量较上一年增长25%,据比测算，该

地区光伏年发电量首次超过2亿千瓦时的年份是（）

（参考数据：怆2。0.3010）

A.2031年B,2032年C.2033年D.2034年

8.设诉R,则“同+网〉3"是72+从＞9”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.设关于“的不等式£-2凶＜3〃的解集为人若尸口T5）,则卅的取值范围是（）

A.(-8,1]B.(-oo,3]C.[l,+oo)D.[3.4<O)

10.已知数列也｝满足％产d-勿”+2(〃=1,2,3,…).给出下列四个结论:

①Mi£N',有?1;

②若X/〃eN"，4=4，则4=1;

③当4>1时，数列乩｝为递减数列；

④当4>2时,数列｛in(«„-!)｝是等比数列.

其中所有正确结论的序号是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

二、填空题

11.函数/")=［占的定义域为.

12.若等差数列｛%｝满足6+佝+%>0,勾+%<。，则当〃=时，数列｛4｝的前〃项和最大.

13.将函数/(,t)=sin2x的图象上的所有点向左平移J个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍

O

(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则屋"=；若g(x)在区间［o,〃“上有且仅有一个零点，

则阳的一个取值为.

14.设函数/("=「,若a=-3,则/(x)的最小值为______：若/(x)有最小值，则。的取值

x~+a,x>a

范围是________.

15.已知函数/(.r)=J>—4x,给出下列四个结论：

①/’("是非奇非偶函数；

②当々工o时，g(x)=/(力一攵国至多有两个不同零点；

③若尸是曲线y=上任意一点,A(-I,o),则图之1；

④没W(A，)i)为曲线乎=/(人)上一点，%(七,，2)为曲线)=一/(人)上一点，若k|十引=2,则|MN|Z2.

其中所有正确结论的序号是

三、解答题

16.已知函数/(x)=2sin

⑴求/弓的值及/(力的最小正周期;

⑵求“X)的单调递减区间.

17.已知数列｛qr｝是公差不为零的等差数列，％=3,a?,%,%成等比数列.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)设〃=%+2%,求数列也｝的前〃项和②

18.已知函数/(犬)=以拈25858-5访2的5订10(口＞0,闸＜兀).

⑴若/(0)=¥，求8的值；

(2)已知〃工)在区间上单调递减，芋］=-1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择

L36Jk6J

一个作为已知，使/(X)存在且唯一确定，求0,。的值.

TTJF

条件①："X)在区间-引可上单调递增；

Z\

条件②：f啖=T;

条件③:定〕=0.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

19.已知函数/(力=幺-alnx.

⑴若々=1,求曲线)，=/")在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵求〃力在区间［l,e］上的最小值.

20.己知函数/")=疣、7.

⑴求曲线)，=〃”在点(0,/(0))处的切线的斜率：

(2)设g(x)=/(x)-e2f,当xNO时,求g(x)的零点个数;

⑶若K＜占，且〃与)=/&)，求证：内+勺＜。.

21.已知数列｛q｝是由正整数组成的无穷数列.若存在常数ZwN"使得生,1%”=4对任意的〃wN♦成

立，则称数列｛q｝具有性质P(Z).

⑴分别判断下列数列是否具有性质尸(2)；(直接写出结论).

①4=3；②"=2〃-1；③加二？”.

⑵若数列也｝满足。向之。“(〃=123,),求证：”数列｛《,｝具有性质「(2)”是“数列｛4｝为常数歹的充要

条件；

⑶已知数列｛q｝中q=3,且〃句＞%(〃=1,2,3,).若数列｛%｝具有性质P(4),求数列应｝的通项公式.

参考答案

题号12345678910

答案ACBDBCCBAB

1.A

【详解】因为8=卜产一2x〈o},所以4=k|0V}.

XA={-2,0,2,4},所以Ac8={0,2}.

2.C

【详解】设公比为夕，因为%=生，/，所以夕=-1

2J1YI

47fl［一引=一7

3.B

【详解】选项A,因为/(-力=-!=’=一/("，所以y=，是奇函数，但其在整个定义域

XX

(YC,0)7(0,”)上不单调递增，所以A错误；

选项B,若x>0,y=x2,单调递增，且x->0+时，y->0',

2

若工<(),y=x\^\=-x1单调递增，且x-»(T时，y->0\

又x=0时y=。，所以)』MR在R上是单调递增，

因为/(T)=T|T=T|H=-/(x),所以为奇函数,所以B正确;

选项C,因为f(T)=sin(r)=-sinx=-/(x),所以)，=shu•是奇函数，但不单调递增，所以C错误；

选项D,H^/(-x)=tan(-x)=-tanx=-/(x),所以y=tanx是奇函数,

)，=taru•在(一>也卷+可，丘Z上单调递增，但在整个定义城上不单调递增，所以D错误.

4.D

【分析】对于A,在。的>。的情况下讨论；对于B,取。=一3,8=一2讨论即可；对于C,在/〃>()的情

况下讨论；对于D,通过不等式交换即可.

【详解】选项A：若0<a</，，则工>?，错误.

ab

h2

选项B：若a=—3,〃=—2,2"=2-3=4，3=3~=^<}-t错误.

选项C：若0<a<b,a\a\=cr,b\/^=b2>a2,错误.

选项D：因为。<〃，所以-4>-人，故3-々>2-。成立，正确.

5.B

【洋解】/W=ln2x,所以r(K)=；.2=L所以((3)=；.

Z入X3

6.C

【详解】因为/(x)=cos2x+|sind,将x替换为t时，f(-v)=cos(-2x)+|sin(-v)|=cos2x+1-sinx|,

因为卜inx|=|-sinR,所以/(x)=/(—x),/(x)为偶函数.

设最小正周期为T,即f(力=f(x+T),cos2x+|sinx|=cos(2x+2T)4-|sin(x+T)|,

因为cos(2x+2冗)+卜in(x+7i)|=cos2x+卜inx|,故兀为一个周期.

证明冗为最小正周期，若OVTVTI,取X=0,COS2T+|sinT|=cosO+|sinO|=1,

1-2sin27'+卜in7|=1,解得|sin7'|（l-2|sinT|）=0,

若sin7=0,即7=而，keZ,矛盾.

若卜inT|=：,假设T=£,代入x可知，/（弓］=0,矛盾•

故丁=兀为最小正周期.

7.C

【分析】构建等比数列模型，取对数解不等式，向上取整推算年份.

【详解】设从2025年起，第〃年的光伏发电量为%（单位：万千瓦时），已知%=4000（2025年），年

增长率为25%,即公比….251,

则第〃年的发电量公式为：4=4()0()又(刃，则4000x(，>20000,

us、联l-lg21-0.3017MA

所以“>-------=-----------=-----------------

12=7.206,

lg5-lg4l-lg2-21g21-0.301-2x0.301

因为〃是整数，所以〃28,从2025年开始算，第8年是：2025+8=2033年.

8.B

【详解】若。=2,b=2,满足时+|4>3,但射+从=8V9.

若/+从>9,因为（同+例）2=/+6+2同向2/+02>9,所以同+例>3成立.

所以是必要不充分条件.

9.A

【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案

【详解】因为f-2|#<3"’的解集为P,设P=(sj),

设f(x)=f一2凶，由于〃T)=/(x),故=f-2凶为偶函数,

所以/(x)<3"’的解集必为对称区间，即s+/=0,又尸口(一3,5),故夕=(sj)q(—3,3),

因为/⑴=T,/(0)=0J(2)=0,作出函数的图象如下图:

由图可知，要使/^二卜⑺口卜工?)，只需满足3"Y3,解得mML

10.B

【分析】①配方后利用平方非负性，直接得下界；②常数列需满足递推方程，解不唯一；③作差后

根据a_n与2的大小关系判断增减性，并非始终递减；④换元后取对数，可证新数列是公比为2的等比

数列.

【详解】①由递推式：，1=(4-1丫+1之1,所以必zeN”，有。,川之1,①正确；

②若数列是常数列，则4,川=4=%,代入递推式4=〃；一2%+2=/一3%+2=0,解得q=l或

%=2,并非只有6=1,②错误；

2

③由4,+1—4“=q；—3aa+2=(4—1)(4“一2),当q>2,a2=(a(-1)+1>(2-1)+1=2,可知%>2,此时

%+-4>。，数列递增;

2

当1<4<2,«2=(^-1)+1€(1,2),此时—~<(),数列递减,③错误;

④令2=%-1，则4=2+1，代入递推式g+1=(4+1)2-2(仇+1)+2,化简得力向=配，则

b“+\=/=>ln(^+I-l)=21n(azl-l|,

因为q>2,所以乙=4-l>l/n〃工()，即加(%一1)｝是以ln(a「l)为首项，2为公比的等比数列，④正

确.

11.(-匕2)

【分析】解不等式2-x>0即可得出函数/(x)的定义域.

【详解】对于函数/(可=乃三，有2r>0,解得x<2.

因此，函数/")=』=的定义域为(-匕2).

故答案为：(-8,2).

12.9

【详解】设/=4+(〃-1)“，则％+74+4+8d+《+9d>0,解得q+8d>0.

又q+7d+4+10(7=2q+17d<0,所以％+8.5d<0,由此可知d<0.

所以a\o=a\+9d<q+8.54<0,

9时,an>0,〃NI0时，a„<0,

所以，?=9时，数列1%｝的前"项和最大.

13.sin(x+：)乃(答案不唯一)

【详解】/(“向左平移?个单位得到的函数为/?a)=sin2(x+j]=sin(2x+外

再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的函数g(x)=sin""

因为g(x)在[0,间上有且只有一个零点，即X«0,间,

7,,?,+7'所以兀“加+:<2兀即可,解得?冗(〃/：”,任取其一即可.

4|_44J444

14.-3y,T]

【分析】第•空，分段分别求值域，对比两段取值得到全局最小；第二空，利用指数函数下界，约束二次

函数最小值小于等于该卜.界，解参数范围.

【详解】第一空，当〃=一3时，x<-3,/(x)=3(-l,函数在区间(TO,—3)单调递增，则值域为

(T-郭；x>-3,=f—3,函数在区间(TO)单调递减，在区间(。收)单调递增，则值域为

[-3,+oo)，则函数/(“在定义域内最小值为-3；

第二空，当aNO时，函数右段最小值/(力神=/(〃)=/+。>-1,不满足要求;

当”0时，函数右段最小值/(吐血=/(。)=〃，贝34—1，

综上所述，^<-1.

15.①③④

【分析】对①：计算定义域即可得；对②：分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助

两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.

【详解】对①：令V-4x20,即有x(x+2)(x—2)20,即2,0]。[2,+8),函数定义域不关于原点对

称，故函数/")不是奇函数，故①正确：

对②：令=则1一4后三丫2,因为X£[—2,0]U[2,+8),

当H=0时，有g(O)=O,故0是该方程的一个根；

当工工0,有/一三—4=0,A=F+16>0,方程有两根，有x='或4=*一"、16，

22

因为x二巴哼士%>0+手道=2,故f一犬工―4=0必有一个大于2的正根，即f(x)-HM=O必有一

个大于2的正根；

因为「2_〃+16〈o,令二+16=»16,即N=rT6,则

2

(r-if65(rj1V65

-6-〃1一5厂彳--

x=-----------=---------=------------>--------------=-2

2222

即工=，*+16>_2,故/_入_4=()在[-2,0]内亦必有一负根，

综上所述，QR,且女了0,关于x的方程/(力-左国=0恰有三个不相等的实数根，故②错误；

对③：令尸(人，)')，则有y=4-4x，|A斤=(%十1/十(Jx"-4工)=/十炉一2X十1,

令月(耳=/+/-2工+1,XG[-2,0]U[2,-^),/(力=3/+2厂2,令g'("=0,解得％=则当

_2,、")/口+动时,心力>(),当1T，°时，g'(x)<。，

故晨X)在-2,夫也卜2,+8)上单调递增，在二^2,0上单调递减，

32232

Xg(-2)=(-2)+(-2)-2X(-2)+1=1,^(O)=tf+o-2x()+l=l,5(2)=2+2-2x2+1=9>1,故

g㈤恒成立,即14pl22],故时之1,故③正确;

对④：当芭=々时，由XW[-2,0>J[2,+8],|玉+%|=2,故％=9=T,

此时，y=一％=，(一1)3一4.(-1)=6,则|MV|=26N2,

当片内2时，由y=/(x)与y=关于X轴对称，不妨设西<工2，则有一24X1<工240或

-2<xt<0<2<X2<4,

当一2WNW0<2WMW4时，由为一百之々之2,有

|MN|=J(M-3J+(也；-0A|内—w|2,故成立；

当一2MxWO时，,1+司=一(％+毛)=>%+£=-2,则设f=玉+1,-，=占+】，

由③知，点”与点N在圆4：(1+1『+乎2=1上或圆外，

设点”(％,〃?)与点N'(N,〃)在圆上且位于x轴两侧，则圆上点纵坐标：“=J；二了，〃二—JH，

222

|MJVf=(x,-x2)+(/n-H)=(2r)+(2>/i^7)=4,所以|M7V[=2,

实际上，yl>m,y2<nf两点竖直距离y-%，--〃，水平距离相等，

故引MN[=2；

综上所述，|MN|N2恒成立，故④正确.

【点睛】结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当看、马都小于零时，|MN|

的恃况.

16.(1)1；最小正周期为兀

(2)ATC+—,A-7r+—(keZ).

oo

【详解】(1)由题意，/(x)=2cosxsin.r+cos2x

=sin2x+cos2x

=、3sin(2x+：)

所以/(：)=后由[2乂：+]=必4=1.

该函数的最小正周期为7=或=兀

\

(2)由⑴知/(x)=V5sin2x+j.

由2E+3V2工+2《2履+名，AwZ,kn+—<x</ai+—,keZ.

24288

所以〃x)的单调递减区间为E+J,E+斗(AeZ).

_oO

17.⑴4=3〃

3nz+3n8"句一8

⑵s”=^^+一

【分析】(1)利用等比中项建立方程求出公差，写出等差数列通项；

(2)分组求和，分别计算等差数列与等比数列的前〃项和再相加.

【详解】(1)设等差数列｛q｝的公差为4,1工().

由q=3,a2,a4,4成等比数列，得a：=%%，

即(3+34)2=(3+d)(3+7d).

解得4=3或d=0(舍去).

所以4=3+(〃一l)x3=3〃.

(2)由(1)知％=3〃，所以a=3〃+23".

从而数列出｝的前〃项和

=(3+6+94-..+3n)+(23+26++23W)

力(3+3〃)8x(l-8")

~2-+1-8

3〃？+3〃8向一8

=------4-------.

27

18.(1)3=土;

4

(2)选择条件①：3=1,8=一§；选择条件②：0)=\,0=-勺；选择条件③：0=1，=

35oo

【分析】(I)代入x=0求解即可.

⑵①通过余弦函数取得最值时定义域相差•个周期的性质求解.

②通过单调递减区间长度与函数值相等求解.

③通过与/(《兀)=-1求出周期的多种可能，并判断周期范围来确定唯一周期，进而代入

L=o求解.

【详解】(1)由题设，/(x)=cos2wcos°—sin2coxs\nip=cos(2GX+0),

又=得cos®=^^.

因为|同<兀，所以。=土;.

(2)选择条件①：/(x)在区间上单调递增.

o3

因为/(x)=cos(2zyx+e),且/传)=一1,

所以/")在工=?取得最小值.

O

因为/(X)在上单调递增，停学］上单调递减，

_63J\_36_

所以在x=］取得最大值.

.一T5冗7T7C_

所以f5=不一g=即arl7=7r.

因为3>0,所以7==二兀.

2(0

所以3=1,/(x)=cos(2x+°).

口+。)二-1,得Q=2E-2冢冗keZ).

由cos

3

又因为冏<兀，所以。=-§.

选择条件②：，O=T.

\/

因为/(X)=COS(2M+9),所以/(x)的最小值为-1,最大值为I.

因为/(%)在区间?年上单调递减，且/卜F)=T，/传)=7'

所以由三角函数的性质得7=军+丁=兀.

OO

因为3>0,所以7="=71.

2<y

所以3=1,/(x)=cos(2x+^).

由cos管+*)27r

=-1,得e=2E_号(ZwZ).

又因为冏<兀，所以9=-告

选择条件③：f0,

T5II?TT?7T

因为巳之士冗—上九=2_”,所以TN兀，2d>=—<—=2所以卬41.

2632Tn

7-C17Q

若兀兀=3兀，解得r=?兀.

46633

或。丁=3兀一，兀=］兀，解得T兀〈几,舍去

46639

R9_2n_3

故f(x)周期为Y，F=4»解得。=(

377兀o

COS(2OX+Q)=cos*.

因为/0,所以±.二+9=£+〃兀，k6

462

解得尹二£兀+而，因为|同〈兀，所以。=不兀.

oo

19.(l)x-y=0

(2)当a<2时，/(x)min=1

当2<。<2。2时,/(x)min=j-^lnj

2

当〃之2e?时，f(x)min=e-a

【分析】(1)通过函数求导并代入工=1求出该点切线斜率，并进一步求得切线方程.

(2)通过对。范围的分类讨论求得函数的单调区间，并以此求得函数在［1,目的最小值.

【详解】(1)当〃=1时，/(x)=r-lar,r(%)=2x—，=生二.

XX

所以/(i)=i,r(i)=i.

所以曲线y=/(力在点(|J⑴)处的切线方程为4-y=o.

(2)因为/(x)=£-aln工，%€(0,+oo),

所以f(x)=2x--=^-^-.

XX

当时，r(A)>0,/(八)在区间(O,w)上单调递」曾，

所以/⑺在区间［网上单调递增，此时八必讪=/(!)=!.

当〃>0时，令/'")=0,则$=与，X一警(舍).

所以当。<*<与时，/(力〈0,，(力在区间0,与上单调递减,

当4冬时，/(")>0，/(%)在区间与，+8

上单调递增.

①当叵即0<心2时，/⑺在区间『闾上单调递增，此时/(©2=川)=1.

2

②当I〈与/(“在区间卜亨)

即2<〃<2e2时,上单调递减，在区间上单调递增,

此时/(x)inin=f

③当叵Ne,即〃之2e?时，f卜)在区间口,可上单调递减,此时/⑴)=f®=e2-a.

综上，当。42时,/(X)min=L

当2<"2°2时，/(X)min=+|呜.

2

当〃之21时，/U)min=e-a.

20.(1)0

Q)2个

(3)由题设,f'(x)=-1.

①当x<0时，x+Kl,Ove'cl,所以(x+l)e，<l,即/'(x)<0.

所以在区间(-00)上单调递减；

②当x>0时，x+l>l,ev>1,所以(x+l)e、>1,BP/(x)>0.

所以/(x)在区间(0,”)上单调递增.

因为为<X2，且/(芭)=/(再),所以王<。<工2.

令F(x)=/(x)-/(-x)=xe、+xex-2x=x(ev4-eT-2),x>0.

因为e，+eT±2,当且仅当x=0时等号成立.

所以当x>0时,e*+e_*>2.

所以.*』7-2)>0.

所以产(力>0,即/(X)>/(T).

因为Z>0,所以/(七)>/(一/).

因为〃M)=/(W)，所以

因为/(X)在区间(-8,0)上单调递减，为<0，-x2<0,

所以为<一42，即X1+%<0

【分析】(1)通过复合函数求导并代入,1=0求解切线斜率进而求出切线方程.

(2)表示出/(M-eLd后构造新函数，通过单调性求解零点个数.

(3)通过原函数单调性求出范围后，构造新困数网x)=/(x)-/(r)求解.

【详解】(I)因为解(x)=a+l)e-l,

所以/'(0)=0.

所以曲线y=/'(x)在点(0，〃。))处的切线的斜率为0.

(2)由题设，(A)=xev-e2x2-x=x(e(-e2x-1).

因为g(0)=。所以x=0是g(x)的一个零点.

当x〉0时，xex-e2x2-x=ev-e2x-l=0.

设函数/?(])=e'-eLt-1,x>0,则”(x)=e、-e2.

令仆)=0,解得x=2.

当0<x<2时，//(x)<0,”x)在区间(0,2)上单调递减；

当工〉2时，/f(A)>0,/?(x)在区间(2,也)上单调递增.

因为何0)=0,所以当0<x42时，/?(x)</?(0)=0.

又力(2)<0,/?(4)=e4-4e2-l=e2(e2-4)-l>e2-l>0,

当x>4时，//(X)>/?(4)>0.

又根据零点存在定理，存在唯一442,4),使得/?(用)=0.

综上，当xNO时，g(x)有2个零点.

(3)略

21.⑴①数列｛4｝具有性质P⑵;②数列｛。｝不具有性质P⑵:③数列匕｝不具有性质尸⑵.

⑵先证“充分性”:

当数列｛4｝具有性质p（2）时，则%1T%,=4,所以手=产」.

Una2n-\

又因为〃向北，所以

所以为=。2”，％=%".].

因为。“+1之4，4+1工。2”=勺