人教八年级数学上册-角的平分线的性质-七大题型

角的平分线的性质•七大题型

【知识点1角平分线的作法】

①以。为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D,交0B于E.

②分别以D、E为圆心，大于‘DE的长为半径画弧，两弧在NAOB内部交于点C.

2

③画射线OC即射线OC即为所求.

【题型1作已知角的角平分线】

【例1】（上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形./AOB画在

A.2B.3C.4D.无法确定

【变式1-2］（辽宁）如图，0G平分NMON,点A,B是射线OM,ON上的点，连接AB.按

以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C,交BN于点D；②

分别以点C和点D为圆心，大于;CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE,交

OG于点P.若NABN=140°,ZMON=50°,则NOPB的度数为()

M

O

A.35°B.45°C.55°D.65°

【变式1-3】（西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上.

（1）请你过点D作DE平行BC,交AB于E.（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）

（2）如果点E在NC的平分线上，ZC=44°,那么NDEC=

【知识点2角平分线的性质】

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分NADB,点P是CD上一点，且PE_LAD于点E,PF_LBD于点F,则PE=PF.

【例2】（崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分NBAC,ZACD=136°,

ZBCD=44°,则NADB的度数为（）

A.54°B.50°C.48°D.46°

【变式2-1］（蓬江区校级期中）如图，已知AABC中，ZC=90°,AD平分/BAC,且

CD：BD=3：4.若BC=21,则点D到AB边的距离为.

【变式2-2】（武昌区期中）在AABC中，ZABC=I1O°,NC的平分线交AB于E,在AC

上取点D,使得NCBD=40°.

（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；

（2）连接ED,求NCED的度数.

【变式2-3】（金堂县期末）在4ABC中，ZBAC=120°,AB=AC,ZACB的平分线交

AB于D,AE平分/BAC交BC于E,连接DE,DFJ_BC于F,则NEDC=°.

【题型3角平分线的性质与等积法】

【例3】（增城区期末）^ABC中，AB=BC=CA,三内角平分线交于O,OP_LAB于P,

OM_LBC于M,ON_LCA于N,AH_LBC于H.求证OP+OM+ON=AH.

【变式3-1】（泰和县期末）如图，BD平分NABC交AC于点D,DE_LAB于E,DF1BC

于F,AB=BC=8,若SMBC=28,求DE的长.

【变式3-2】（香坊区期末）已知：点P为NEAF平分线上一点，PB_LAE于B,PC_LAF于

C,点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM=PN.

（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1）,求证：BM=CN；

（2）在（1）的条件下，AM+AN=AC；

（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2）,若AC：PC=2：1,PC=4,求四边形ANPM

的面积.

【变式3-3】（朝阳期中）在AABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD.

（I）如图1,当点D是BC边上的中点时，SAABD：SAACD=；

（2）如图2,当AD是NBAC的平分线时，若AB=m,AC=n,求S»BD：S^ACD的值（用

含m,n的代数式表示）；

（3）如图3,AD平分NBAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,

AB=4,SABDE=6,那么SAABC=.

A

图3

【题型4角平分线的性质与全等】

【例4】（通道县期末）已知在AABC中，NCAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交

于点D,DM_LAB与M,DN±AC交AC的延长线于N,你认为BM与CN之间有什么关

系？试证明你的发现.

【变式4-1】（金平区校级月考）已知：如图1,四边形ABCD中，AC平分/BAD,/B和

/D都是直角.

(1)求证：BC=CD.

（2）若将原题中的已知条件"/R和/D都是直角”放宽为“/R和/D互为补角”，其

余条件不变，如图2,猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论.

图1图2

【变式4-2】（文昌校级期中）在AABC中，AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，AD、

CE相交于点F.

（1）①如图（1）,当NB=60°,ZACB=90°,则NAFC=120。；

②如图（2）,如果NACB不是直角，NB=6（）°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立?

若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（2）如图（3）,在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想.

【变式4-3】（东区校级月考）如图①，OP是NMON的平分线，请你利用该图形画一对以

OP所在直线为时称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:

（1）如图②，在AABC中，NACB是直角，ZB=60u,AD、CE分别是NBAC、ZBCA

的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）

（2）如图③，在AABC中，ZB=60°,AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，AD、

CE相交于点F,请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立,

请说明理由.

【知识点3角平分线的判定】

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE_LAD于点E,PF_LBD于点F,PE=PF,贝！JPD平分NADB

【题型5角平分线的判定】

【例5】（滨湖区校级期中）己知：如图，在aABC中，。是NB、NC外角的平分线的交点,

那么点0在NA的平分线上吗？为什么？

【变式5-1】（浦北县校级月考）如图，AABC中，P是角平分线AD,BE的交点.

求证：点P在/C的平分线上.

【变式5-2］（澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P

在NBAC的平分线上；②点P在NCBE的平分线上；③点P在NBCD的平分线上；④点

P在NBAC、NCBE、NBCD的平分线的交点上，其中正确的是.（填序号）

【变式5-3】（北关区校级月考）如图，D、E、F分别适ZXABC的三条边上的点，CE=BF,

△DCEfilADBF的面积相等.

求证；AD平分NBAC.

【题型6角平分线的性质与判定综合】

【例6】（费县期末）NB=/C=90°,EB=EC,DE平分NADC,求证：AE是NDAB平

分线.

DC

【变式6-1](台安县期中)如图，4ABC中，ZB的平分线与NC的外角的平分线交于P

点，PD_LAC于D,PH_LBA于H,

(1)若点P到直线BA的距离是5cm,求点P到直线BC的距离；

(2)求证：点P在/HAC的平分线上.

【变式6・2】(洛龙区校级月考)如图，PB、PC分别是AABC的外角平分线，它们相交于点

P,求证：点P在NA的平分线上.

A

【变式6-3］（铁东区校级期中）如图，AABC中,点D在BC边上，ZBAD=100°,Z

ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF_LAB,垂足为E且NAEF=50°,连接DE.

(1)求NCAD的度数；

(2)求证：DE平分/ADC；

(3)若AB=7,AD=4,CD=8,且SMCD=15,求4ABE的面积.

【题型7角平分线的实际应用】

［例7］某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息，而

且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有处.

【变式7-1】（西乡县期末）己知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点

到三边的距离相等，试找出该点.（保留画图痕迹）

【变式7-2］（东山县校级期末）如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O,且夹角为90°,

其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm.

（I）在图上标出仓库G的位置.

（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10000,用尺规作图）.

N

w月区

【变式7-3】（柘城县校级月考）如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，

要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证

角的平分线的性质•七大题型（解析版）

【知识点1角平分线的作法】

0

①以。为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D,交0B于E.

②分别以D、E为圆心，大于‘DE的长为半径画弧，两弧在NAOB内部交于点C.

2

③画射线OC即射线OC即为所求.

【题型1作已知角的角平分线】

【例1】（上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形./AOB画在

方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P.使点P落在NAOB的平分线上.（本题

有三个结果，答对一个得1分；若其中一个标错，本题得。分，三个点分别用字母C、D、

E表示）

【分析】作出NAOB的平分线，找出角平分线与正方形的顶点的三个交点即可.

【解答】解：如图所示，

①以。为圆心，以任意长为半径画圆，分别交CR、CA于点D、F.：

②分别以D、E为圆心，以大于gDE为半径画圆，两圆相交于点F；

③连接OF,交各小正方形的顶点分别为Pi、P2、P3,则此三点即为所求.

本题答案不唯一.有三种结果如图中的Pi,P2,P3所示.

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【变式1-1】（瑶海区期末）如图，RtZ\ABC中，ZC=90°,用尺规作图法作出射线AE,

AE交BC于点D,CD=2,P为AB上一动点，则PD的最小值为（）

A.2B.3C.4D.无法确定

【分析】当DPJ_AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小.再根据角平分线的性

质定理可得DP=CD解决问题；

【解答】解：当DPLAB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小.

由作图可知：AE平分NBAC,

VDC±AC,DP_LAB,

・・・DP=CD=2,

・・・PD的最小值为2,

故选：A.

【变式1・2】（辽宁）如图，0G平分NMON,点A,B是射线OM,ON上的点，连接AB.按

以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C,交BN于点D；②

分别以点C和点D为圆心，大于；CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE,交

OG于点P.若NABN=14（）°,ZMON=5（）°,则/OPB的度数为（）

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M

A.35°C.55°D.65°

【分析】利用基本作图得到BP平分NABN,则可计算出NPBN=70。，再利用OG平分

NMON得到NBOP=25°,然后根据三角形外角性质计算NOPB的度数.

【解答】解：由作法得BP平分NABN,

/.ZPBN=ABN=ix140°=70°,

22

YOG平分NMON,

AZBOP=；ZMON=；x50°=25°，

'：ZPBN=ZPOB+ZOPB,

AZOPB=70°-25°=45°.

故选：B.

【变式1-3】（西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上.

（1）请你过点D作DE平行BC,交AB于E.（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）

（2）如果点E在NC的平分线上，NC=44°,那么NDEC=2在.

【分析】（1）作NADE=NC即可；

（2）由平行线的性质和角平分线定义证出NDEC=/DCE,得出DC=DE,由等腰三角形

的性质即可得出答案.

【解答】解：（1）如图I所示：

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A

作NADE=NC交AB于E,DE即为所求;

(2)如图2所示：

・.・DE〃BC,

AZDEC=ZBCE,

TEC平分NACB,

AZDCE=ZBCE,

AZDEC=ZDCE,

.*.DC=DE,

•・.△DEC是等腰三角形，

・・・NDEC=NC=22°；

故答案为：22°.

【知识点2角平分线的性质】

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分NADB,点P是CD上一点，且PE_LAD于点E,PF_LBD于点F,则PE=PF.

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【题型2角平分线的性质的应用】

【例2】（崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分/BAC,NACD=136°,

NBCD=44°,则NADB的度数为（）

A.54°B.50°C.48°D.46°

【分析】过D作DEJ_AB于E,DF_LAC于F,DG_LBC于G,依据角平分线的性质，即

可得到DE=DG,再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得至IJNADB=NDBE

-NBAD=；（ZCBE-ZBAC）=g/ACB.

【解答】解：如图所示，过D作DEJ_AB于E,DF_LAC于F,DG_LBC于G,

〈AD平分NBAC,DEJ_AB于E,DF_LAC于F,

・・・DF-DE,

又・・・/ACD=136°,ZBCD=44°,

・・・NACB=92°,ZDCF=44°,

・・・CD平分/BCF,

又・.・DFJ_AC于F,DGJLBC于G,

・・・DF=DG,

Z.DE=DG,

・・・BD平分NCBE,

AZDBE=jZCBE,

TAD平分NBAC,

・・・NBAD=；NBAC,

AZADB=ZDBE-ZBAD=；(ZCBE-ZBAC)=；ZACB=；x92°=46°,

222

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故选：D.

【变式2-1](蓬江区校级期中)如图，已知aABC中，NC=90°,AD平分NBAC,且

CD：BD=3：4.若BC=21,则点D到AB边的距离为9.

【分析】先确定出CD=9,再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论.

【解答】解：如图，

LDB

VKCD：BD=3：4.

设CD=3x,则BD=4x,

ABC=CD+BD=7x,

VBC=21,

/.7x=21,

**•x=3>

・・・CD=9,

过点D作DE1AB于E,

■AD是NBAC的平分线,ZC=90°,

・・・DE=CD=9,

・••点D到AR边的距离是9,

故答案为：9.

【变式2-2】(武昌区期中)在aABC中，ZABC=110°,NC的平分线交AB于E,在AC

上取点D,使得NCBD=40°.

(1)求证：点E到AC和BD的距离相等；

(2)连接ED,求NCED的度数.

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B

【分析】(1)延长CB至点M,根据角平分线的性质即可得到结论;

(2)根据角平分线的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)延长CB至点M.

M

VZABM=180°-110°=70°,NABM=NABD,

・••点E到CM和BD得距离相等，

又TCE平分平分NACB,

・・・E点到AC和BC的距离相等，

・••点E到AC和BD的距离相等；

(2)连接ED.

•・♦点E到AC和BD的距离相等，

・・・4口13=/£口人设4口13=4口人=。,ZACE=ZBCE=B,

又「在aBDC中，2a=2B+40°,

，a-B=20°,

在AEDC中，a=P+ZDEC

则NCED=a-p=20°.

【变式2-3】（金堂县期末）在AARC中，/RAC=120°,AR=AC,/ACR的平分线交

AB于D,AE平分NBAC交BC于E,连接DE,DF_LBC于F,则NEDC=30°.

【分析】过D作DM_LAC交CA的延长线于M,DN±AE,根据角平分线的性质得到DF

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=DM,根据邻补角的定义得到NDAM=60°,根据角平分线的定义得到NBAE=60°,

推出DE平分NAEB,根据等腰三角形的性质得到/AEB=9()°,得到NDEF=45°,根

据三角形的外角的性质即可得到结论.

【解答】解：过D作DM_LAC交CA的延长线于M,DN1AE,

〈CD平分/ACB,

・・・DF=DM,

VZBAC=120°,

.,.ZDAM=60°,

TAE平分NBAC,

・・・NBAE=60°,

・・・NDAM=NBAE,

・・・DM=DN,

VDF1BC,

，DE平分NAEB,

VAB=AC,AE平分NBAC交BC于E,

・・.AE_LBC,

・・・NAEB=9()°,

r.ZDEF=45°,

VZB=ZACB=30°,

・・・NDCF=15°,

・・・NEDC=30°,

故答案为：30.

【题型3角平分线的性质与等积法】

【例3】（增城区期末）AABC中，AB=BC=CA,三内角平分线交于O,OP_LAB于P,

OMJ_BC于M,ONJLCA于N,AHJ_BC于H.求证OP+OM+ON=AH.

【分析】由已知可得SAABC=SAOAB+SAO/\C+SAOBC.根据三角形的面积公式和三边相等求证

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即可.

【解答】解：,**SAABC—S^OAB+S^OAC+SAOBC,

••・gAH・BC=1OP-AB+；BC-OM+：AC・ON,

又・.・AB=BC=CA,

AOP+OM+ON=AH.

【变式3-1】（泰和县期末）如图，BD平分NABC交AC于点D,DELAB于E,DF1BC

于F,AB=BC=8,若S&ABC=28,求DE的长.

【分析】根据角平分线性质得出DE=DF,根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，

求出即可.

【解答】解：〈BD平分/ABC交AC于点D,DE1AB,DF1BC,

・・・DE=DF,

VSAABC=28,AB=BC=8,

•%x8XDE+gx8XDF=28,

，8DE=28.

，DE=3.5.

【变式3-2](香坊区期末)已知：点P为NEAF平分线上一点，PB_LAE于B,PCLAF于

C,点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM=PN.

(1)当点M在线段AR上，点N在线段AC的延长线上时(如图1),求证：RM=CN：

(2)在(1)的条件下，AM+AN=2AC；

(3)当点M在线段AB的延长线上时(如图2),若ACPC=2：1,PC=4,求四边形

第2()页共37页

ANPM的面积.

【分析】(1)由点P为NEAF平分线上一点，PBJ_AE于B,PCJ_AF于C,根据角平分

线的性质，可得PB=PC,又由PM=PN,利用HL,即可判定RtZ\PBMgRCPCN,则可

证得结论；

(2)由角平分线的性质易证得AB=AC,又由AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=

AB+AC,即可证得结论；

(3)由AC：PC=2：1,PC=4,即可求得AC的长，又由S四边形ANPM=SaAPN+S△APB+SaPBM

—SAAPN+S.\APB+S.\PC：N—S/.APC+SAAPB»即可求得四边形ANPM的面积.

【解答】解：(1)•・•点P为NEAF平分线上一点，PB1AE,PC1AF,

APB=PC,ZPBM=ZPCN=90°,

在RtAPBM和RtAPCN中，

[PM=PN

tPB=PC'

ARtAPBM^RtAPCN(HL),

・・・BM=CN；

(2)・・・/APB=90°-ZPAB,NAPC=90°-ZPAC,

・・・NAPC=NAPB,

VPB1AE,PC±AF,

APB=PC,

・・・AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC=2AC；

故答案为：2；

(3)VAC：PC=2：1,PC=4,

・・・AC=8,

・・・AB=AC=8,PB=PC=4,

•*»S四边形ANPM=SAAPN+SAAPB+S△PBM=SAAPN+S^APB+S△PCN=SAAPC+SAAPB=:AC・PC+：AB

PB=-x8X4+-x8X4=32.

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【变式3-3】(朝阳期中)在AABC中，D是BC边上的点(不与点B、C重合)，连接AD.

(1)如图1,当点D是BC边上的中点时，SAABD：SAACD=1：1;

(2)如图2,当AD是NEAC的平分线时，若AB=m,AC=n,求S.ABD：S^ACD的值(用

含m,n的代数式表示)；

(3)如图3,AD平分NBAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,

【分析】(1)过A作AE_LBC于E,根据三角形面积公式求出即可；

(2)过D作DEJ_AB于E,DFJ_AC于E根据角平分线性质求出DE=DF,根据三角形

面积公式求出即可；

(3)根据已知和(1)(2)的结论求出AABD和aACD的面积，即可求出答案.

【解答】解：⑴却

过A作AE_LBC于E,

・・,点D是BC边上的中点，

，BD=DC,

ASABD：SAACD=(^XBDXAE)：(ixCDXAE)=1：1,

故答案为：1：1；

(2)图2

过D作DE_LAB于E,DF_LAC于F,

TAD为NBAC的角平分线，

・・・DE=DF,

第22页共37页

*/AB=m,AC=n,

SABD：S△ACD—(；XABXDE)：(gxACXDF)—m：n；

（3）图3

VAD=DE,

・•・由（1）知：SAABD：SAEBD=1：1,

VSABDE=6,

•••SziABD_6,

VAC=2,AB=4,AD平分NCAB,

・••由（2）知：SAABD：SZSACD—AB：AC—4：2—2：1,

••SAACD_3>

SAABC—3+6—9,

故答案为：9.

【题型4角平分线的性质与全等】

【例4】（通道县期末）己知在AABC中，NCAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交

于点D,DM_LAB与M,DN_LAC交AC的延长线于N,你认为BM与CN之间有什么关

系？试证明你的发现.

【分析】连接BD,CD,由角平分线的性质可得DM=DN,线段垂直平分线的性质可得

BD=CD,所以RtZ\BMDZRt/\CND（HL）,则BM=CN.

【解答】解：BM=CN.

理由：连接BD,CD,

TAD平分NBAC,DM_LAB,DN±AC,

・・・DM=DN,

〈DE垂直平分BC,

ABD=CD,

第23页共37页

在RtABMD与RtACND中

・・[BD=CD

•(DM=DN

ARtABDM^RtACDN(HL),

・・・BM=CN.

【变式4-1】(金平区校级月考)已知：如图1,四边形ABCD中，AC平分/BAD,/B和

ND都是直角.

(1)求证：BC=CD.

(2)若将原题中的已知条件“NB和ND都是直角”放宽为“NB和ND互为补角”，其

余条件不变，如图2,猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论.

困1图2

【分析】(1)根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=CD；

(2)过点C作CEIAD于R,作CFIAR于F,根据等角的补角相等求出/D=/CRF,

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=CF,然后利用“角角边”证明4BCF

和4DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.

【解答】(1)证明：VZD=ZB=90°,

Z.CD1AD,CB1AB,

〈AC平分NBAD,

ABC-CD；

第24页共37页

(2)解：一定相等.

证明：如图，过点C作CE_LAD于E,作CF_LAB于E

・・・NCBF与NABC互补.

•••NB和ND都是直角，互为补角，

AZD=ZCBF,

又•・•AC是NBAD的平分线，

/.CE=CF,

(□D=DCBF

在RtaBCF与RlZ\DCE中，匚DEC=DCFB，

ICE=CF

ARtABCF^RtADCE(AAS),

・・・BC=CD.

【变式4-2】（文昌校级期中）在AABC中，AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，AD、

CE相交于点F.

（I）①如图（1）,当NB=60°,ZACB=90°,则NAFC=120°；

②如图（2）,如果NACB不是直角，NB=600时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（2）如图（3）,在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想.

【分析】（1）①根据角平分线的定义求出NFAC、ZFCA,再根据三角形的内角和定理列

式计算即可得解；

②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出NFAC、ZFCA,再利用三角形内角和定

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理列式计算即可得解；

(2)过点F作FG_LBC于G,作FH_LAB于H,作FM_LAC于M,根据角平分线上的点

到角的两边距离相等可得FG=FH=FM,再求出NEFH=NDFG,然后利用“角边角”证

明△EFH和4DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.

【解答】解：(1)①・・・NB=60°,NACB=90°,

AZBAC=90°-60°=30°,

VAD.CE分别是NBAC、NBCA的平分线，

ZFAC=-ZBAC=-x30°=15°，ZFCA=-ZACB=-x90°=45°,

2222

.•.ZAFC=18O°-15°-45°=120°；

故答案为：120°.

②TAD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，

，NFAC+NFCA=!(ZBAC+ZACB)“(180°-ZB),

22

・・・NAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)=180°(180°-ZB)=90°+；ZB,

22

VZB=60°,

AZAFC=90°+；x60°=120°；

2

(2)如图，过点F作FGJ_BC于G,作FH_LAB于H,作FM_LAC于M,

TAD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，

・・・FG=FH=FM,

VZEFH+ZDFH=120°,

NDFG+NDFH=360°-90°X2-600=120°,

AZEFH=ZDFG,

(CEHF=CIDGF=9O°

在△EFH和4DFG中，匚EFH=DDFG，

(FG=FH

.,.△EFH^ADFG(AAS),

・・・EF=DF.

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B

【变式4-3】(东区校级月考)如图①，0P是NMON的平分线，请你利用该图形画一对以

OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图②，在aABC中，NACB是直角，ZB=60°,AD、CE分别是NBAC、ZBCA

的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(不需证明)

(2)如图③，在AABC中，ZB=60°,AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，AD、

CE相交于点F,请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立,

请说明理由.

【分析】图①根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作PA±OM于A,作

PB_LON于B,APOA和aPOB即为关于直线OP对称的全等三角形；

(1)猜想FE=FD；

(2)过点F作FG_LAB于G,作FH_LBC于H,作FKJ_AC于K,根据角平分线上的点

到角的两边的距离相等可得FG=FH=FK,根据四边形的内角和定理求出NGFH=120。，

再根据三角形的内角和定理求出NAFC=120°,根据对顶角相等求出NEFD=120。，然

后求出NEFG=NDFH,再利用“角角边”证明4EFG和4DFH全等，根据全等三角形对

应边相等可得FE=FD.

【解答】解：图①如图所示；

(1)FE=FD；

(2)如图，过点F作FG_LAB于G,作FH_LBC于H,作FK_LAC于K,

TAD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，

・・・FG=FH=FK,

在四边形BGFH中，NGFH=360°-60°-90°X2=120°,

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TAD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，ZB=60°,

・・・NFAC+NFCA=；(180。-60°)=60°,

在AAFC中，ZAFC=I80°-(ZFAC+ZFCA)=180°-60°=120°,

・・・NEFD=/AFC=120°,

AZEFG=ZDFH,

在aEFG和△DFH中，

(LIEFG=DDFH

FG=FH，

(lIEGF=IJDHF=90°

.,.△EFG^ADFH(ASA),

・・・FE=FD.

【知识点3角平分线的判定】

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE_1_AD于点E,PF_LBD于点F,PE=PF,贝IJPD平分NADB

【题型5角平分线的判定】

【例5】（滨湖区校级期中）己知：如图，在aABC中，。是NB、NC外角的平分线的交点,

那么点。在NA的平分线上吗？为什么？

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c

5

D/弋

O\

【分析】过点O作OFJ_AD于F,作OGJ_BC于G,作OH_LAE于H,根据角平分线上

的点到角的两边距离相等可得OF=OG=OH,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分

线上解答.

【解答】解：点。在NA的平分线上.

理由如下：如图，过点O作OF_LAD于F,作OGJ_BC于G,作OH_LAE于H,

TO是NB、NC外角的平分线的交点，

・・・OF=OG,OG=OH,

••・OF=OG=OH,

・••点O在NA的平分线上.

【变式5-1】（浦北县校级月考）如图，^ABC中，P是角平分线AD,BE的交点.

求证：点P在NC的平分线上.

【分析】首先过点P作PM_LAB,PN±BC,PQ_LAC,垂足分别为M、N、Q,然后证明

PQ=PN即可.

【解答】证明：如图，过点P作PM_LAB,PN_LBC,PQ_LAC,垂足分别为M、N、Q,

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TP在NBAC的平分线AD上，

，PM=PQ,P在NABC的平分线BE上，

・・.PM=PN,

・・・PQ=PN,

・••点P在NC的平分线.

【变式5-2］（澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P

在NBAC的平分线上；②点P在NCBE的平分线上：③点P在/BCD的平分线上；④点

P在/BAC、NCBE、/BCD的平分线的交点上，其中正确的是①②③④.（填序号）

【分析】根据角平分线的判定定理判断即可.

【解答】解：・・,点P到AE、AD的距离相等，

・••点P在NBAC的平分线上，①正确；

.点P到AE、BC的距离相等，

・••点P在NCBE的平分线上，②正确；

・・•点P到AD、BC的距离相等，

・••点P在NBCD的平分线上，③正确；

・••点P在/RAC、/CRF、/RCD的平分线的交点上，④正确，

故答案为：①②③④.

【变式5-3】（北关区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF,

△DCEfllADBF的面积相等.

求证：AD平分NBAC.

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E

RDC

【分析】首先过D作DN_LAC,DM±AB,分别表示出再ADCE和4DBF的面积，再根

据条件“Z^DCE和4DBF的面积相等”可得到：BF・DM=IDN・CE,由于CE=BF,可得结

论DM=DN,根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分NBAC.

【解答】证明：过D作DNJ_AC,DM_LAB,

△DBF的面积为：:BF・DM,

△DCE的面积为：:DN-CE,

VADCE和ADBF的面积相等，

••・；BF・DM=：DN・CE,

VCE=BF,

/.DM=DN,

XVDM1AB,DN±AC,

・・・AD平分NBAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）.

【题型6角平分线的性质与判定综合】

【例6】（费县期末）ZB=ZC=90°,EB=EC,DE平分NADC,求证：AE是NDAB平

【分析】过点E作EF_LAD于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC—EF,

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从而求出EF=BE,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明.

【解答】证明：如图，过点E作EF_LAD于F,

〈DE平分NADC,NC=90°,

，EC=EF,

VEB=EC,

・・・EF=BE,

XVZB=90°,

・・・EB_LAB,

VEF1AD,

・・・AE是NDAB平分线.

【变式6-11.（台安县期中）如图，AABC中，NB的平分线与NC的外角的平分线交于P

点，PDJ_AC于D,PHJ_BA于H,

（1）若点P到直线BA的距离是5cm,求点P到直线BC的距离；

（2）求证：点P在NHAC的平分线上.

【分析】（1）过P作PF_BE于F,由于BP平分/ABC,PH±BA,PF±BE,则根据角

平分线的性质即可得到PH=PF=5cm；

（2）连接AP,如图，根据角平分线的性质得PF=PD,则PD=PH,于是根据到角的两边

距离相等的点在这个角的平分线上得到AP平分NHAD.

【解答】（1）解：过P作PFJ_BE于F,如图，

〈BP平分/ABC,PHJ_BA于H,PFJ_BE于F,

APH=PF=5cm,

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A点P到直线BC的距离为5cm；

(2)证明：连接AP,如图，

TCP平分NACE,PD_LAC于D,PF_LBE于F,

，PF=PD,

・・・PD=PH,

【变式6-2】（洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是AABC的外角平分线，它们相交于点

P,求证：点P在NA的平分线上.

【分析】作PM_LAC于M,PN_LBC于N,PE_LAB于E,根据角平分线性质得出PM=

PN,PN=PE,推出PM=PE,根据角平分线性质推出即可.

【解答】证明：作PMJ_AC于M,PN_LBC于N,PE_LAB于E,

・・,PB、PC分别是AABC内外角平分线，

，PM=PN,PN=PE,

APM=PE,

VPM1AC,PE1AB,

・••点P在/A的平分线上.

【变式6-3】（铁东区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，Z