高中物理第五章 第23课时 万有引力定律及应用

第五章万有引力与宇宙航行

万有引力与宇宙航行

湖北卷T4.「浙江6月选考

电函1安徽卷T5

湖南卷T7-

开普勒行星

It肃卷T3—

T2024b运动定律浙江1月选考T8

江西卷T4一202：

考湖南卷T8

河北卷T8—

浙江】月选考T9

情山东卷T5

浙江1月选考T1。—，海南卷T6

，七024}一广西卷T】

分天津卷TI-

[-新课标卷T16

广东卷T7

人造卫星.

析湖北卷T2：2023-重庆卷T7

宇宙速度

海南卷T9—山东卷T3

万有引力定

江苏卷T4,{2023'一新课标卷T17

律及应用

湖南卷T4浙江6月选考T9

辽宁卷T9

山东卷T6

2)-(2022]-|>22\1河北卷T2

湖北卷T2

_________—广东卷T2

试生活实践类地球不同纬度重力加速度的比较

题开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密

情学习探究类度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫

境星的变轨和对接问题，双星或多星模型

第23课时万有引力定律及应用

【目标要求】1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密

度的方法。

考点一开普勒定律

开普勒三大定律

定律内容图示或公式

所有行星绕太阳运动的轨道都是批

开普勒第一定律(轨道定律)

圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

对任意一个行星来说，它与太阳的

开普勒第二定律(面积定律)连线在相等的时间内扫过的面积相

等

所有行星轨道的半长轴的三次方跟今=z，k是一个与行

开普勒笫三定律(周期定律)

它的公转周期的二次方的比都相等星无关的常量

注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时攵是一个与中心天

体有关的常量。

0讨论交流

1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为5，远日点速度大小为s,近E点距太阳距离

为ri,远日点距太阳距离为r2o

(1)功与力大小什么关系？

(2)试证明”=必。

V2H

答案

(2)证明：由开普勒第二定律可得汐.〃=汐2•7-2，则有*A”产紧AS，

可得出=必。

2.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求人值。

答案由誓一〃铮•得：*黑，即仁篙

■判断正误■-------------------------------------------------------------------

1.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。（4）

2.行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。（x）

3.不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积c（x）

m11（2024.安徽卷5）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离

月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴

约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km,周期约为24h。

则鹊桥二号在捕获轨道运行时（）

近月点

A.周期约为144h

B.近月点的速度大于远月点的速度

C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度

D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度

答案B

解析根据开普勒第三定律有宅二宅，可知鹊桥二号在捕获轨道运行周期72=不陛"288h,A错误；根据

3a3

a/a2yi

开普勒第二定律可知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；

从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号在近月点进行近月制动减速，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结

轨道运行时近月点的速度，C错误；

鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速

度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。

考点二万有引力定律

L万有引力定律

（1）内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量加和叱的乘积

成正比、与它们之间距离，的二次方成反比。即尸=畔2G为引力常量，通常取G=6.67X1（）F

N-m2/kg2,由英国物理学家卡文迪什测定。

（2）适用条件

①公式适用于质点间的相有作用,当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

②质量分布均匀的球体可视为质点，，是两球心间的距离。

2.星体表面及上空的重力加速度（以地球为例）

（1）地球表面附近的重力加速度大小g（不考虑地球自转）：有〃运=啜,得g=*0

（2）地球上空的重力加速度大小夕

地球上空距离地球中心r=R+〃处由〃琢'=9限，得&'=£用。

（R+/I）20（R+h）2

•判断正误--------------------------------------------------------------------

1.地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。（X）

2.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。（4）

3.两物曲间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。（x）

【例2】火星的质量约为地球质量的土，半径约为地球半径的3则同一物体在火星表面与在地球表面受到

的引力的比值约为（）

A.0.2B.0.4C.2.0D.2.5

答案B

F

解析万有引力定律表达式为尸=G^詈则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为f=

，引

Mrz

卢^=0.4,选项B正确。

"地*'火

【例3】（2024•山东泰安市模拟）某探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球做匀速圆周运动时，

其周期为T.；当探测器停在月球的南极时，测得重力加速度的大小为副。已知月球自转的周期为A,月球

视为均匀球体，月球赤道处的重力加速度为（）

叱，2）g°

A.

⑴2-'「/必。

C.D.g。

答案A

解析设月球的半径为R,月球的质量为M,探测器的质量为〃？，由题意得的黑=〃?第X2R,喈=〃?go,

啜二〃若R+〃吆，综合以上三式解得月球赤道处的重力加速度g二”浮曲，故选Ao

B总结提升

万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力厂表现为两个效果：一是重力机g,二是提供物体随地球自转的向心力/向，如图所

不。

(1)在赤道上:

2

G^=〃zgi+mci)Ro

(2)在诙极上：嘤=〃吆°。

⑶在一般位置：万有引力喈等于重力〃依与向心力尸向的矢量和。

越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重

力，即空一依

【例4】已知质量分布均匀的球壳衣壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀

的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为九“蛟龙号”下潜的深

度为从则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为()

.RA-d.---B•埼

R+h

C----------(R-d)(R+h)

答案C

解析设地球的密度为p,在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有G^=mg,由于地球的质量M

,联立解得且=，6〃〃，在深度为”的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(K

一d)的球体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为gi=$rG〃(R—d),联立可得以=?g,

3r\

卫星在高度/?处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即〃火2=月之，解得加速度82=7■丝7=

(R十九)，(R—九产

R2e所以丝=----贮----故c正确。

(R+h)2g，叩人外(R+h)2(R-d)，以L止以

'总结提升万有引力的“两个推论”

推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即Z"引=0。

推论2：在与质球体内部距常球心，处的质点(用)受到的万有引力等于球体内半径为厂的同心球体(AT)对其的

万有引力，即F=€r-^o

考点三天体质量和密度的计算

1.利用天体表面重力加速度

已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。

(1)由得天体质量M=咚。

(2)天体密度〃=?M_3g

%R347tGK0

2.利用运行天体

已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径，•和周期兀

⑴由*=，〃普，，得加=第。

(2)若已知天体的半径R,则天体的密度〃=£=弟=黑。

(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度〃=器，故只要测出卫星环绕天

体表面运动的周期7,就可估算出中心天体的密度。

【例5】(2024•新课标卷・16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星

GJ1002C的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的().()7倍，周期约为().06年，则这颗红矮星的质量约

为太阳质量的()

A.0.00I倍B.0.1倍

C.10倍D.1000倍

答案B

解析设红矮星质量为,坏,行星质量为，山，轨道半径为n,行星绕红矮星运行周期为T.;太阳的质量为

此,地球质量为〃及，地球到太阳距离为/2,地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有

联立殁=(铲留

由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得答M.1,故选Bo

针对训练(2021•全国乙卷・18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年

到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离

为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若

认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M,可以推测出该黑洞质量约为

1WI

A.4X104MB.4X106M

C.4X108MD.4X10KlM

答案B

解析由题图可知，S2绕黑洞的周期7=16年，地球的公转周期々=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径,•与

地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r=l000/?

地球绕太阳做圆周运动所需的向心力由太阳对地球的万有引力提供，由向心力公式可知喈=〃求/2=

，喉）2

解得太阳的质量为加=答

2

GT0

同理S2绕黑洞做圆周运动所需的向心力由黑洞对它的万有引力提供，可以近似把S2的运动看成匀速圆周运

2

动，由向心力公式可知丝罗="力■</=〃?）母）

解得黑洞的质量为“、=需

综上可得Ma4Xl（）6M

故选Bo

【例6】（2024.黑吉辽.7）如图（a）,将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O,竖直向上为

正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如

图（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为pi和〃2,地球半径是该天体半径的〃

倍。”的值为（）

P2

答案C

解析设地球表面的重力加速度为月，该球状天体表面的重力加速度为g',弹簧的劲度系数为k，小球质量为

6，根据简谐运动的平衡位置合力为零有h2A=mg,hA=mg',可得g=誉，，可得力=2,设该球状

天体的半径为R,在地球和天体表面，分别有G喑,G锭?一*,联立可得,故选

Co

课时精练

（分值：6（）分）

15基础落实练

1〜7题每小题4分，共28分

1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（）

A.太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

答案C

解析由开普勒第一定律（轨道定律［可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和

木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律（周期定律）

知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常量，故C正确；对于太

阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星与太阳连线在相同时间内扫

过的面积不相等，故D错误。

2.（2024.广西卷.1）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、。和c

处单位质量的海水受月球引力大小在（）

Aa处最大B.b处最大

C.c处最大D.a、c处相等，〃处最小

答案A

解析根据万有引力公式/=喈，可知题图中。处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。

3.（2022・全国乙卷・14）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二

号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞

行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（）

A.所受地球引力的大小近似为零

B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零

C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等

D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小

答案C

解析航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正

确，A、B错误；根据”=d等可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，

因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。

4.（2024•山东烟台市三模）北京时间2024年1月5日19时20分：我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载

火箭，成功将天目一号气象星座15-18星（以下简称天目星）发射升空，天目星顺利进入预定轨道。天目星的发

射变轨过程可简化为如图所示，先将天目星发射到距地面高度为//,的圆形轨道I上，在天目星经过A点时点

火实施变轨进入椭圆轨道1【，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将天目星送入距地面高度为后的圆形轨

道【【1上，设地球半径为R,地球表面重力加速度为g,则天目星沿椭圆轨道从A点运动到B点的时间为（）

答案B

解析根据万有引力与重力的关系。要=〃琢，在圆形轨道I上根据万有引力提供向心力G忐，训誓（R+小），

椭圆轨道II的半长轴为方约警,根据开普勒第三定律空学工马，解得天目星沿椭圆轨道I［的周期为

2TjT个

T2=^但耳亘，天目星沿椭圆轨道从A点运动到8点的时间为右：72=弓叵寻迹，故选B。

R72g2ZRyj2g

5.（2021・山东卷・5）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知

火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着

陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着

陆平台的作用力大小之比为（）

A.9：1B.9：2C.36：1D.72：1

答案B

FMmM月飞兔

解析悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据尸=喈，可得产G-

'玉兔"火%

故选Bo

6.（2024.海南卷.6）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为丁，轨道高度与月球半径之比为A,引力常量为G,则月

球的平均密度为（）

3n（l+/c）3n3IT

A.-------T-T-D.------

GT2k3GT2

/黑D.款+»

答案D

解析设月球半径为R,质量为M,对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力

与《+1次

[（k+l\R]2T2''

月球的体积

月球的平均密度〃=£

联立可得〃=言（1+左）3,故选Do

7.（多选）航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和

铁锤是从高度为人处下落，经时间/落到月球表面。己知引力常量为G,月球的半径为R。不考虑月球自转

的影响，则下列说法正确的是（）

A.月球表面的自由落体加速度g产詈

B.月球的质量/=萼

C.月球的密度p=/

ZTlKCrL

D.月球的密度〃=感正

答案ABD

解析月球表面附近的物体做自由落体运动，有仁夫月尸，则月球表面的自由落体加速度8月=雀，故A正

Z/1/2

确；不考虑月球自转的影响，有喈=〃运月,得月球的质量M=^■，故B正确；月球的密度〃=3=拓

r.Gt^V——RS

3

=一=，故C错误，D正确。

2ixRGt2

能力综合练

8-11题每小题6分，12题8分，共32分

8.（2024・山东卷・5）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为已知地球同步卫星

的轨道半径为〃则月球与地球质量之比可表示为（）

A.店B.5C5DJ

答案D

解析由誓=樽鼻得：3=察

根据开普勒第三定律3=%，则&=整

可见，开普勒第三定律中的〃值与中心天体质量有关，地球质量加地=需，同理，对“鹊桥二号”中继

星，可得月球质量用月=需，

G7月

因“鹊桥二号”与地球同步卫星周期相同，

MR3

所以d=三，故选D。

r3

Mta

9.如图所示，A、8两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，。为地心，在两卫星运行过程中，A8连线和。4连线的

夹角最大为仇则A、8两卫星（）

（

A.做圆周运动的周期之比为2公^

B.做圆周运动的周期之比为盛篇

C.与地心。连线在相等时间内扫过的面积之比为忌

D.与地心。连线在相等时间内扫过的面积之比为上

sinff

答案C

解析夹角最大时，。8与A8垂直，根据几何关系有r«=rAsin0,由开普勒第三定律可得"=W，则，=

TB修TB

Jsiij，A、B错误;f时间内，卫星与地心连线扫过的面积S=^nr,则设=^r"~2=>C正确,D错

误。

10.（2024•山东省联考）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”景海鹏、

朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一场精彩的太空科普课。若梦天实验舱做匀速圆周运动