2026年湖北省武汉市中考数学试题（试卷+解析）

2026武汉市初中毕业生学业考试

数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是（）

4健B康。第”

2.袋中只有2个红球和1个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（）

A.两个球都是黑球B.两个球中必有一个红球

C.两个球都是红球D.两个球中一个是红球一个是黑球

4."十四五”期间，我国每年城镇新增就业稳定在1200万人以二就业形势总体稳定.将数据1200万用科

学记数法表示是（）

A.12xl06B.L2xl07C.0.12X108D.1.2xl08

5.下列计算结果为小的是（）

A.o'+aB.a',xaC.(a2)4D.

6.如图，将AARC绕点人逆时针旋转40。得到△">£，若点D在边BCk,则NCDE的大小是（）

E

B.30°C.40°D.70°

7.乘坐地铁己经成为市民出行的主要方式.小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有3个入口，他

们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（)

8.随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户.雷叔叔早晨7:00先在充电站给汽车充

电，然后驾车前往相距200km的工厂.汽车显示的可用里程数了（单位：km）与时间/（单位：h）之间

的关系如图所示.他到达工厂的时间是（）

A.上午9:30B.上午10:00C.上午10:45D.上午11:15

4

9.如图，△4?。内接于。=BC=5,sin/?=-,则。。的直径是（）

A.5石B.35/L4C.8夜D.2733

10.对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法.以方程/+8x=48为例，赵爽的《勾股圆方

图注》中记载的方法是：如图1,先构造一个面积为/的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面

积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4x22=64,则该方程的正数解为8-2x2=4.小

美尝试用此方法解关于x的方程V+i2x+c=0,构造如图2所示的图形.若图2中大正方形的面积为100,

()

图I图2

A.4B.5C.6D.7

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷.氢原子中的原子核与电子各带1个

电荷，若把其中原子核所带电荷用数表示是+1,则电子所带电荷用数表示是_________.

上一2

12.反比例函数），二——（々为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的人的值是.

x

13.已知工=拉+1，丫=近-1,代数式V-V的值是.

14.如图1,龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小

组用无人机测量龟山电视塔的高度.具体过程如下：如图2,将无人机上升至距水平地面100m的C

处，测得龟山电视塔顶端A的仰角为50.5。，底端3的俯角为45。，则龟山电视塔的高度约是m

（结果取整数，参考数据：sin50.5°«0.772,cos50.5°«0.636,tan50.5°«1.213）.

图1

15.如图，E、尸分别是矩形A8CO边AB、。上的点，连接行.将四边形AOEE沿打翻折得到四

边形GHFE,边GH经过点C.若A8=8,AD=6,DF=3,则C"的长是_________,族的长是

16.抛物线＞=0?+云+《，（〃、b、。为常数，。〉0）经过（1,0）,（0,2）两点.下列五个结论：①抛物

线不经过第三象限；②将抛物线向左平移〃?（〃，＞（））个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则加=1；③

b＜-2；④若关于x的一元二次方程ar2+H+c=0有两个不相等的整数根，则满足条件的整数。的值只

有一个；⑤对于函数y=-----，若。二!，则当天＜1时，）'随/的增大而增大.其中正确的是

ax~+bx+c2

（填写序号）.

三、解答题（共8小题，共72分）

x-l>l①

17.解不等式组〈

jx+5②

2

。在一条直线上，AE=DF，CE=BF,AB=DC.

（I）求证：AACE/

（2）连接防、CF,添加一个条件，使四边形3比尸是菱形（不需要说明理由）.

19.学校开展“阳光一小时”活动以来，学生的身体素质普遍得到提高，某校为了解九年级学生的“1分钟

跳绳”成绩情况，随机抽取了〃?名学生进行测试，将测试的成绩分成四组，绘制成如下不完整的统计图表.

“1分钟跳绳”成绩频数分布表

组别次数4频数

Ar<120

B120<x<14024

C140<x<16032

Dx>16016

“1分钟跳绳”成绩扇形统计图

根据以上图表信息，解答下列问题：

（1），〃的值是________,D组对应扇形的圆心角大小是

（2）样本的中位数所在组别是_______；

（3）估计该校九年级1200名学生中“1分钟跳绳”成绩不低于140次的人数.

20.如图，A3为0。的直径，。为0。上一点，过点A的直线和过点C的切线互相垂直，垂足为O,AD

交。。于点E，连接AC.

（1）求证：AC平分/D45：

（2）若AE=6,ED=3.求图中阴影部分的面积.

21.下图是由小正方形组成的6x6网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△A3。的顶点都是格点，仅用无

（2）如图2,尸是边AC与网格线的交点，先将A8平移到/7（P是点8的对应点），再在EP上画点

G,使NBGP=ZAPF.

22.某校九年级开展了“手工文创作品制作•模拟营销”的项目式学习活动.

市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）.

收集到如下信息：

信息1：制作一件A品比一件B品的成木高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相

等.

信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元

/件.

信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共30（）件.

成本核算：

（1）分别求制作一件A品和一件B品的成本.

模型建立：

（2）设销售A品和B品的总利润为卬元，A品售价为x元/件，求w关于x的函数解析式（不要求写自变量

工的取值范围）.

方案设计:

（3）若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案.

23.将正方形A3CO的边CO绕点Q逆时针旋转得到OE,连接AE交边CO于点尸，DG平分/CDE交

A£于点G,连接CG、CE.

（1）如图1,求证：4CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明

ZDAE=ZDEG=ZDCG).

（2）如图2,连接BO交AE于点”，求证：AFAE=2AHAG.

（3）如图3,点K在线段AE1上，AK=-CG,连接CK.若A3=4,直接写出CK的最小值.

2

图1图2

（1）求A、K两点的坐标.

（2）如图1,直线y=d（dvO）交抛物线G于C、。两点，△8CO的外心E在边CO上，求〃的值.

（3）如图2,抛物线。2：），=f+px+q与抛物线G交于M、N两点，连接MN.7是线段MN上

一点，过点丁作）'轴的平行线分别交抛物线G于P、。两点，连接PM、PN、QM、QN.求

证：△PMN与△（?的的面积相等.

2026武汉市初中毕业生学业考试

数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是（）

4健B康。第”

【答案】D

【解析】

【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.根

据轴对称图形的定义进行逐•判断即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，故A不符合题意；

B.不是轴对称图形，故B不符合题意；

C.不是轴对称图形，故C不符合题意；

D.是轴对称图形，故D符合题意.

2.袋中只有2个红球和I个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（）

A.两个球都是黑球B.两个球中必有一个红球

C.两个球都是红球D.两个球中一个是红球一个是黑球

【答案】A

【解析】

【分析】在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件，据此判断即可.

【详解】解：袋中有2个红球、1个黑球，一次摸出2个球，

•・•黑球仅有1个，

...两个球都是黑球是不可能事件.

3.下图所示的几何体是由一个球和一个长方体组成，它的主视图是（）

主视方向

A.B.c.D.

【答案】D

【解析】

【详解】解：从正面看，该几何体上部是球，下部是长方体.球的主视图是圆，长方体的主视图是长方

形.且圆位于长方形的上方.观察选项，D选项图形符合题意.

4.“十四五”期间，我国每年城镇新增就业稳定在1200万人以二，就业形势总体稳定.将数据1200万用科

学记数法表示是（）

A.12xl06B.1.2xl07C.0.12x10sD.1.2xl08

【答案】B

【解析】

【详解】解：1200万=12000000=1.2x107.

5.下列计算结果为〃6的是（）

A.a3+a3B.a2xr/4C.（a2）4D.ai2-¥a2

【答案】B

【解析】

【详解】解；A选项：/+〃一2〃，不符合题意.

242+4

B选项：axa=a=a^符合题意.

C选项：（/）4=/"=/,不符合题意.

D选项：不符合题意.

故选：B.

6.如图，将AARC绕点人逆时针旋转40。得到△">£，若点D在边BC上,则NCDE的大小是（）

【答案】C

【解析】

【分析】由aABC绕点A逆时针旋转40。得△八。E,知NBA。=NC4E1=40。，^ABC^/XADE,故

NE=NC,根据三角形内角和定理可说明NCDE=NC4E.

【详解】解：如图，设AC与力上交于点0,

由旋转可知，ZMD=ZC4E=40°,

ZE=ZC,

在A4O匹中，ZG4E+ZAOE+ZE=180°,

在△COO中，ZCDE+ZCOD+ZC=180°,

・・・ZAOE=/COD,NE=/C,

ZCDE=ZC4E=40°.

7.乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式.小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有3个入口，他

们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】使用画树状图法计算概率即可.

【详解】解：设字母A、B、C分别表示三个入口,

画树状图如下:

开始

小美ABC

/K小小

小好ABCABCABC

共有9种等可能的结果，其中两人刚好从同一个入口进站的情况有3种,

・•・两人刚好从同一个入口进站的概率为2=；.

8.随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户.雷叔叔早晨7:00先在充电站给汽车充

电，然后驾车前往相距200km的工厂.汽车显示的可用里程数（单位：km）与时间，（单位：h）之间

的关系如图所示.他到达工厂的时间是（）

A.上午9:30B.上午10:0（）C.上午10：45D.上午11:15

【答案】B

【解析】

【分析［根据图象信息，先求出汽车的行驶速度，再求出行驶所需时间，最后求出总时长，即可求解.

【详解】解：由图象可知，当，=0.5时充电结束，此时可用里程为500km,随后开始行驶，当，=1时,

y=460km,

..・汽车行驶速度为（500—460）+。-0.5）=80（km/h）,

•・•工厂相距200km,

•.・行驶所需时间为200+80=2.5（h）,

到达工厂时经过的总时间为0.5+2.5=3（h）,

,•・出发时间为早晨7:00,

到达时间为上午10:00.

4

9.如图，△ABC内接于。。，A8=ll，BC=5,sinB=-,则。。的直径是（）

©

A.575B.3714C.8&D.2733

【答案】A

【解析】

【分析】过点。作CO于点。，连接AO并延长交。。于点£,连接CE,解直角三角形8C。求出

CD和80,继而求出40,从而用勾股定理求出AC,再在直角三角形ACE中利用

4

sin13=sinZ.AEC=-求出AK即可.

5

【详解】解：过点C作CDJ_A8于点。，连接A。并延长交0。于点巴连接CE，

4

VCD1AB,sinB=-,BC=5,

4

ACD=BCsinZ?=5x-=4,

5

・••BD=ylBC2-CD2=,52-42=3，

又7人8=11，

AD=AB-BD=\[-3=S,

•**AC=^4D24-CD2=7S2+42=4X/5»

：AC=AC，

AZB=ZAEC,

4

/.sinB=sinNAEC--

5

•・•AE是直径，

・•・ZACE=90°,

AEAE5

解得：AE=*，即。。的直径是5J5.

10.对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法.以方程f+8x=48为例，赵爽的《勾股圆方

图注》中记载的方法是：如图1,先构造一个面积为炉的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面

积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4x22=64,则该方程的正数解为8-2x2=4.小

美尝试用此方法解关的方程V+12x+c=0,构造如图2所示的图形.若图2中大正方形的面积为100,

则方程d+i2x+c=0的正数解是（)

C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】仿照题中方法，构造一个面积为产的正方形，向外构造四个面积为3x的矩形，得出四个小正方形

的边长为3,根据大正方形的面积为1（X）得出大正方形的边长为10,进而求出方程为2+i2x+c=0的正数

解即可.

【详解】解：如图2,先构造一个面积为一的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3工的

矩形，

・••四个小正方形的边长为3,

•・•大正方形的面积为100,

・•・大正方形的边长为,

・•・方程f+i2x+c=0的正数解是10-2x3=4.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷.氢原子中的原子核与电子各带1个

电荷，若把其中原子核所带电荷用数表示是+1，则电子所带电荷用数表示是.

【答案】

-1

【解析】

【详解】解：:原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷，且原子核所带电荷用数表示为+1，

・•・表示电子所带电荷的数是与+1意义相反的数，即-1.

女一2

12.反比例函数），=——（Z为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的k的值是.

x

【答案】1（答案不唯一，攵＜2即可）

【解析】

【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0,列出不等式求出％的取值范围，任取范围内一

个值即可.

L-2

【详解】解：•.,反比例函数)，=一^的图象位于第二、第四象限，

X

:.k-2<0t解得女<2,

只要取小于2的任意实数都符合条件，例如1.

13.已知工=夜+1，y=y/2-\,代数式的值是.

【答案】40

【解析】

【分析】求出的值，再利用平方差公式解答即可.

【详解】解：・.・%=&+1，y=V2-l,

:.x+y=5/2+1+&-1=2^2,X—y=>/2+1-(&-1)=2,

/.x2-y2=(x+y)(x-y)=2V2x2=4V2.

14.如图1,龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小

组用无人机测量龟山电视塔的盲度.具体过程如下：如图2,将无人机上升至距水平地面100m的C

处，测得龟山电视塔顶端A的仰角为50.5。，底端8的俯角为45。，则龟山电视塔的高度约是_________m

(结果取整数，参考数据：sin50.5°«0.772,cos50.5°«0.636,tan5O.5°«1.213).

【分析】过点C作垂足为。，根据题意可得：CE=BD=100m,然后在中，利用

锐角三角函数的定义求出CO的长，再在RsACD中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，最后进行计

算即可解答.

【详解】解：如图：过点。作CZ)_LA",垂足为

:.4CDB=ZABE=NBEC=90。，

・•・四边形CE厉石为矩形，

・•・BD=CE=100m,

在Rt^BCO中，ZBCD=45°,

RD

:.CD=---------=IOO(m),

tan45°

在RSACD中，ZACD=50.5°,

/.AD=C7>>-tan50.5u«1.213x100=121.3(m),

100+121.3®221(m),

•.・龟山电视塔的高度约为221m.

15.如图，E、尸分别是矩形ABC。边A3、C。上的点，连接EF.将四边形A力庄沿七歹翻折得到四

边形GHFE,边G"经过点C.若A8=8,AO=6,DF=3,则C”的长是，E/的长是

【答案】©.4②.35/5

【解析】

【分析】作硒于N,则四边形AO尸N是矩形，则可得4旷=。尸=3,Nb=AO=6.根据矩形

的性质和折叠的性质可得“*=5,FH=DF=3,根据勾股定理可得”C=4,进而可得GC=2.证

Q1M

明"7/CS&7GM,根据相似三角形对应边成比例可求得GM=；,CM=—.再证明

33

止BM&EGM,则可得EB=CG=2,则可得NE=3,再根据勾股定理可得E/=3A/5.

【详解】解：设GE与C8的交点为M,

•・•四边形A8CO是矩形，且A3=8,AD=6,

・•・ZA=N8=N8CD=ND=90°,BC=AD=6,DC=AB=S.

作&V_LAB于N,则四边形AOFN是矩形，

:.AN=DF=3,NF=AD=6,

根据折叠的性质可知尸”=OF=3,GH=AD=6,EG=AE,ZH=ZD=90°,NG=NA=90。,

VDC=8,DF=3,

・•・FC=5,

：•HC=ylFC2-FH2=752-32=4»

：,GC=HG-HC=6-4=2,

'："8=90。，

・•・/l+N2=90。，

•・•NG=90。，

・•・Z2+Z3=90°,

・•・/1=N3,

又：/H=NG,

:・LFHCSEGM,

FHHCFC345

---=-----=-----,n即iI一=----=----,

CGGMCM2GMCM

Q1()

解得GM=2,CM=—

33

1AQ

:・BM=CB-CM=6——=-

33

・•・BM-GM,

又,：ZB=ZG,Z4=Z3,

:.4EBMqKGM(ASA),

・•・EB=CG=2,

ANE=AB-AN-EB=S-3-2=3,

・•・EF=ylNE?+NF?=J32+，=36-

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的沟定和性

质.熟练掌握以上知识是解题的关键.

16.抛物线》=以2+尻(。、b、。为常数，。>0)经过(1,0),(0,2)两点.下列五个结论：①抛物

线不经过第三象限；②将抛物线向左平移〃7(〃00)个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则〃2=1；③

Z?<-2；④若关于x的一元二次方程依2十法十c=0有两个不相等的整数根，则满足条件的整数。的值只

有一个；⑤对于函数、二一■!；——，若。=!，则当工<1时，)'随1的增大而增大.其中正确的是

ax~+bx+c2

(填写序号).

【答案】①③®®

【解析】

【分析】先代入已知点得到系数关系c=2,b=-a-2,再逐一判断每个结论的正误.对于①，容易判断

当工<0时，y>0,因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与x轴的交点为(1,0)和

(|,0)，故存在两种平移方案；对于③，由。>0与即可判断；对于④，结合②的结论可得:

2

是不等于1的正整数，因此a=l；对于⑤，代入可得)，==--------，当X<1时，X2-5X+4>0.且

x-5x+4

随式的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断.

【详解】解：•・•抛物线》=公2+公+0经过(1,0),(0,2),

・'•代入坐标得c=2,a+h+c=0»整理得人=一。一2,

/.y=ax2一(a+2)x+2

对于①：当x<0时，

•・•〃>(),

*,*ax2>0»一(a+2)x>0,

/.y=cuc2一(。+2卜+2>0,

・•・抛物线不经过第三象限，故①正确；

对于②：将>=0代入y="2一(a+2)x+2,得，

加一(a+2)x+2=0,

因式分解，得(or-2)(x—1)=0,

2

解得冗=1或一，

a

・••抛物线与工轴的交点为(1,0)和(：,。)，

，向左平移m(m>0)个单位后，交点变为(1-/7?,0)和(/-m.0

•・•平移后过原点，

・・・加=1或m=(,因此，〃不一定等于1，故②错误；

对于③：・・・。>0,

b=—a—2<—2»故③正确：

2

对干④：由②可得，方程or?+Z?x+c=0的根为x=l和x=—，

a

•・•方程有两个不相等的整数根，且〃为正整数，

7

一为不等于1的正整数，即〃为2的正因数，且

a

・・・〃=1,故④正确：

对于⑤：•・•〃=一,

2

:.b=-a-2=—,

2

112

y=---------------=-------------------=---------------

'ax2+bx+c]2—5X+4，

2"2'

设z=f-5x+4，

，/与x成二次函数关系,

・•・该抛物线开口向上，对称轴为直线

2

，当xcl时，，随x的增大而减小，

又:•当x=1时，1=1-5+4=0，

.*./>0»

2

C

・•・/与r成反比例函数关系，

Vz>o,

・・・y随，的增大而减小，

又随x的增大而减小，

・•・？随x的增大而增大，故⑤正确；

综上，正确的结论为①③④⑤.

三、解答题（共8小题，共72分）

x-[>\①

17・解不等式组5N

②

【答案】2<xv3

【解析】

【详解】解:解不等式①，得工〉2,

解不等式②，得x<3,

・•・原不等式组的解集为2<xv3.

18.如图，点A、B、C、。在一条直线上，AE=DF，CE=BF,AB=DC.

（1）求证：ZXACE^ADBF：

（2）连接BE、CF,添加一个条件，使四边形应:b是菱形（不需要说明理由）.

【答案】(1)证明：•・•A4=OC,

工AB+BC=CD+BC,

；.AC=BD,

VAE=DF，CE=BF,

△。幽SSS）；

（2）BE=BF

【解析】

【分析】（1）因为A8=DC,所以A3+8C=CO+3C,再利用SSS证明AMCE丝；

（2）由。。左四△03b（SSS）可得NECB=NFBC,则CE〃B尸，又因为。石=“得四边形BEC户是

平行四边形，又因为BE=BF，则oA比尸为菱形.

【小问1详解】

略；

【小问2详解】

解：BE=BF,理由如下：

•・,AACE^DBF（SSS）,

：・4ECB=/FBC，

・•・CE//BF,

•・•CE=BF,

••・四边形BECF是平行四边形，

♦：BE=BF,

，口BECF为菱形.

19.学校开展“阳光一小时”活动以来，学生的身体素质普遍得到提高，某校为了解九年级学生的“1分钟

跳绳”成绩情况，随机抽取了“名学生进行测试，将测试的成绩分成四组，绘制成如下不完整的统计图表.

“1分钟跳绳”成绩频数分布表

组别次数x频数

AXV120

B120<x<14024

Cl40<x<16032

Dx>16016

“I分钟跳绳”成绩扇形统计图

根据以上图表信息，解答下列问题：

（1），〃的值是,D组对应扇形的圆心角大小是________；

（2）样本的中位数所在组别是________;

（3）估计该校九年级1200名学生中“1分钟跳绳”成绩不低于140次的人数.

【答案】（1）80：72°

（2）C组（3）720人

【解析】

【分析】（1）用B组的频数除以占比求解〃?值，然后求出D组的占比，再由360。乘以占比求解圆心角；

（2）利用中位数的定义求解即可；

（3）用样本估计总体的方法求解即可.

【小问1详解】

解：/〃=24+30%=80；

360°X—=72°,

80

:.阳的值是80；D组对应扇形的圆心角大小是72。；

【小问2详解】

解：A组的频数为80-24-32-16=8,共80个数据，则中位数是第40、41个数据的平均数，A、B组

累计8+24=32个数据，C组有32个数据，那么第40、41个数据在C组，

・•・样本的中位数所在组别是c组；

【小问3详解】

解：1200x^^=720（A）

80

答：该校九年级1200名学生中“1分钟跳绳”成绩不低于140次的人数为720人.

20.如图，A5为。。的直径，。为0。上一点，过点A的直线和过点C的切线互相垂直，垂足为O,AD

交0。于点E，连接AC.

（1）求证：AC平分/D43：

（2）若AE=6,ED=3.求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）证明：连接OC,

•：OA=OC,

：.^OAC=ZOCA,

•••CO是。。的切线,

:.OC1CD,

9：ADA.CD.

・•・OC//AD,

・•・ZDAC=ZOCA,

・•・ZDAC=ZOAC,

・•・AC平分//MB；

（2）696

【解析】

【分析】（1）连接OC,利用切线的性质，推出OC〃AO,得到ND4C—NOC4,利用等边对等角得到

NQAC=NOG4,进而得到ND4C=NOAC,即可；

（2）连接的，交0C于点尸，连接0E,交AC于点G,分割法求阴影部分面积即可.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

解：连接的，交0C于点、F,连接0E,交AC于点G,

・•・Z4EB=90°,

工ZD£fi=90°,

V0C1CD,ADLCD,

・•・四边形CZ）所为矩形，

：.OCA.BE,CF=ED=3,

：・BF=EF，

•：OA=OB,

・•・。尸是△A3E的中位线，

・•・0F=-AE=3,

2

：・OA=OC=OF+CF=6,

OA=OE=AE=6，

・•・4AQE为等边三角形,

ZE6U=60°,

■:OC//AD,

・•・ZEOC=60°,

AE=AO,ZEAG=ZOAG,

AAGLOE,即QE_L4C,

・•・OG=-OA=3,

2

:・AG=doA-OG2=3分

・•・S阴影=SmAOE-S^AOE=—X6?-：X6X36=6乃一96•

3o（）2

21.下图是由小正方形组成的6x6网格，每个小正方形的顶点明作格点，△A3C的顶点都是格点，仅用无

刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过五条.

（1）如图1，先在上画点。，使N8CQ=45。，再画点A关于点。的对称点E;

（2）如图2,P是边AC与网格线的交点，先将AB平移到F尸（P是点8的对应点），再在用上画点

G,使/BGP=NAPF.

点E即为所求.

（2）如图：点"、点G即为所求.

【解析】

【分析】（1）如图1：取格点户使得8/二8C,N尸BC=90。，连接。尸与AB相交于点。；利用等腰直角

三角形可知/BCQ=45。，即点力即为所求；取格点，，使得G”〃。尸旦人尸=/6,利用相似三角形可知

AD=DE,则点A、点E关于点。对称，即点£即为所求；

（2）设每个小正方形边长为1,如图：2先将点4向右平移2.5,再向上平移1得到点F,连接FP即为所

求；先作A8的垂直平分线交AC于H,则=即N84”=NAW7；XAB//PF,则

/BAH=/APF/APF=/BGP,则NAPb=NBGP，即点G即为所求.

【小问1详解】

解：・・・BE=8C,NF8C=90。，

・•・△3b是等腰直角三角形，

・•・/BCD=45°,即点。即为所求；

如图：由作图过程以及网格可得：AF=FG,GH//CF,

**•△AFD^^AGE>

._AF

AEAG2

:.AD=DE，

・••点4、点E关于点D对称，即点七即为所求；

【小问2详解】

解：设每个小正方形边长为1,如图2：由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知：点8向右平移

2.5,再向上平移1得到点P,

・•・同理由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知将点A向右平移2.5,再向上平移1得到点P,连接

即为所求；

:・AB〃PF，

如图2：过。作垂直于格线，则四边形力是矩形

图2

由格点图知，L为AP中点，

则由平行线分线段成比例定理可知。为A8中点,

DL=—BP=—,01=DL=—,

222

同理J为NK中点，E为NM中点、,

：.JE=-KM=-

22t

：./E=3+-+-=4=AP,OI=DL=-,

222

DI=BP,ZAPB=ADIE=90°,

・•・△A3七△厂W（SAS）,

・•・4DEI=/PAB,

■:ZALD=/OLE,

・•・ZADL=ZLOE=90°,

,:AD=BD，

・・・DE是A8的垂直平分线，且交AC于从

・•・AH=BH,

：・4AH=ZABH，

'：AB〃PF，

・•・MBAH=ZAPF,ZABH=/BGP,

・•・ZAPF=ZBGP,即点G即为所求.

22.某校九年级开展了“手工文创作品制作•模拟营销”的项目式学习活动.

市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）.

收集到如下信息：

信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用12（）元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相

等.

信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨I元，销量减少10件；B品售价固定为16元

/件.

信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件.

成本核算：

（1）分别求制作一件A品和一件B品的成本.

模型建立：

（2）设销售A品和B品的总利润为卬元，A品售价为x元/件，求卬关于1的函数解析式（不要求写自变量

x的取值范围）.

方案设计：

（3）若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案.

【答案】（1）制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元

2

（2）W=-10X+580X-3600

（3）制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大

【解析】

【分析】（1）设制作一件B品的成本为〃元，则制作一件A品的成本为（。+2）元，根据“用120元制作A

品的件数与用80元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解却可；

（2）根据“当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件”求出A品的销量，

再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出卬关于x的函数解析式；

（3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象加性质求解即可.

【小问1详解】

解：设制作一件B品的成本为〃元，则制作一件A品的成本为但+2）元，

12.080

由题意可知:

。+2a

解得：。=4,

经检验：。=4是原方程的根，符合题意，

故。+2=6,

答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元：

【小问2详解】

解：•・•当A品售价为18元/件时，其销量为220件,售价每涨1元,销量减少10件,

・・・A品的销量为：220—10（入一18）=400—10工（件），

・・・B品的销量为：300-（400-10x）=10x-100（ft）,

・・.VV=（X-6）（400-10X）+（16-4）（10X-100）=-10X2+580X-3600,

答：卬关于X的函数解析式为：vv=-10A:24-580A:-3600;

【小问3详解】

解：•・•制作A品和B品的总成本不超过1400元,

.­.6（400-10x）+4（10x-100）<1400,

解得：x>30,

又•••400—10x20且10x—10020,即10WxW40,

・•・30<x<40,

Vw=-1Ox2+580x-3600=-10（x-29）2+4810,-10<0,

・••当304x440时，被随着工的增大而减小，

2

・•・当x=30时，wnux=-10（30-29）+4810=4800.

此时400—10x=100,1Ox-100=200,总成本等于1400元，

答：制作A品100件，B品200件时•，总成本不超过140（）元旦总利润最大.

23.将正方形ABCO的边CO绕点。逆时针旋转得到OE，连接AE交边CD于点F,DG平分NCDE交

AE于点G,连接CG、CE.

（1）如图1,求证：△CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明

ZDAE=ZDEG=ZDCG）.

（2）如图2,连接BD交AE于点H,求证：AFAE=2AHAG.

（3）如图3,点K在线段AE上，AK=gCG,连接CK.若43=4,直接写出CK的最小值.

2

【答案】（1）证明：・・・QG平分NCOE,

:./CDG=NEDG,

•・•正方形A8C力的边CD绕点。逆时针旋转得到DE,

/.AD=CD=DE,

•:DG=DG,

••.△DCG经ADEG（SAS）,

：.CG=EG,ZDEG-ZDCG,

VAD=CD=DE,

:.4DAE=NDEG,

・•・4DAE=/DCG,

•・,ZAFD=/CFG,

・•・4CGF=ZADF=90。，

・•・ZCGZ?-90°,

•••△CGE是等腰直角三角形.

（2）证明：由（1）证得ZCGE=90°,

:.NCGD=/EGD=g（360。-90°）=135°,

・•・ZAG£）=180°-ZEGD=180°-135°=45°，

・•・乙4GO=NADB=45。，

又•:ZDAG=ZFAD,

•••△ADHs^AGD,

*ADAH

即心=AH・AG①，

'AG-AD

如图：过。作ZW_LAE于M,则NAA〃）=ZAZ*=90。，

ZDAM=ZFADf

:.7ADMWAFD,

ADAM,八

=nnAD2=AM-AF®，

AFAD

•；AD=DE，DMLAE，

AAM=EM=-AE

2f

/.AD2=AMAF=-AEAF

2

由①②两式得，AHAG=-AEAF,即AFAE=2AH-AG.

2

（3）V34-V2

【解析】

【分析】3）先利用正方形的性质证明aOCG公△DEG（SAS）可得CG=EG,4DEG=/DCG,再证

明NCGE=90。，即可证明结论；

AnAU

（2）由（1）证得ADCG冬ADEG,NCG£=90。，证明△AQ//S44G。可得一=—,即

AGAD

AD2=AHAG®;如图：过。作DM_LAE于M，则NAA/。=NADF=90。，证明

AnAhA