高中数学圆锥曲线二级结论及相关练习（含答案解析）

3圆锥曲线中常考二级结论应用

［题型01焦点三角形面积公式的应用

一、椭圆焦点三角形面积公式结论

设椭圆标准方程为二十与=1（a>b>0）,其中：

a2b2

两个焦点为点（一。,0）、鸟90）（焦距鸟|=2c,且满足个=合一从）；

椭圆上任意一点为2毛）,月）,则△2［乙称为焦点三角形，记/月「入=氏

焦点三角形面积有两个核心公式：

re

1.角度式:=b-tan-；

2.坐标式：S.7=o|%］.

二、双曲线焦点三角形面积公式结论

双曲线W—工=1（。>0力>0）,焦点耳（一。,0）、鸟（GO）（/=/+〃），/F\PF『e,则:

a~b-

S.ppc—b~cot一

【典例1】（2026・浙江•二模）已知椭圆£,名为椭圆C的左、右焦点，点P为椭圆C上在第

43

一象限内的一点，且的面积为13,则/4尸工的角平分线所在的直线方程为（）

A.2x-2y+l=0B.4x-2y-l=0

C.8x-2y-5=0D.3x-2y=0

【答案】B

【分析】作出图形，利用△石尸鸟的面积，结合椭圆方程求得点出1，'|），再由角平分线定理求得点。色,0）。

即可求得/耳夕鸟的角平分线所在的直线方程.

【详解】如图，由。：E+汇=1可得椭圆的半焦距c=H5=l，则用-1，0），鸟（1，0），

丁•是AKP5的面积为八取》=1，代入工+：=1，可得213），

-21乙32

则直线P鸟轴，且|P6|=37口片|=2><23=；5,

设8的角平分线交x轴于点。，则蹲=圜=|,

又|耳月|=2,则得|用21=葭2=口05|=］故0（；,0）,

8444

3

71

则直线PQ的斜率为二y=2,其方程为y=2（x-二），即4一2,，-1=0.

4

【变式1・1】（25-26高二上•江苏淮安・期末）已知椭圆C:工+反=1的左右焦点分别为。人,尸为椭圆上一

6415

点，若3|尸照=5|%|,则△9居的面积为.

【答案】15百

【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出|P£|，|PR|与忻凡I，然后利用余弦定理求出85/8户工，再求出

2

sin/£P入，再利用三角形面积公式求解.

【详解】椭圆C的方程为三+工=1,,•./=64方=1542=/-6=49.

6415

.•.4=8,c=7,:.\PF]+\PF2\=2a=\6.|耳周=2c=14.

又3|尸制=5|P闻,得归耳|=10,|尸周=6.

c0„_附『+|叫2-忻周］100+36-196

在AP£K中，由余弦定理得:

2附||尸闾2x10x6

G

/.sinNF\PF=Jl-cos?NF、PF

7

:=g阀||P国sin〃P6=1x10x6x^=1573.

故答案为：156

【变式1・2】（25-26高二下•河南新乡•期末）已知为双曲线=1的左、右焦点，点P在双曲

169

线右支上，且々PK=120。，则△「/谯的周长为（）

A.9x/3B.35/3C.4>/7+10D.9^+10

【答案】C

【分析】利用双曲线定义设出两隹半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长.

【详解】因为双曲线C:工-《=1,则。=4,6=3,c=5,所以£（一5,0）,6（5,0）.

169

因为点尸在双曲线右支上，所以|产用-归图二勿=8.

令|P6|=£,则|尸耳|=8+f,又因为恒周=10,/£桃=120。,

所以由余弦定理得比图2=\PF}^+PF2^-2\PFI\-\PF2\COSZFIPF2,即100=（8+/『+/+（8+少，

即「+8-12=0,因为1>0,解得f=2上-4,即阀|=2b-4,所以|P周=2夕+4,

则丁耳工的周长为4b+10.

【变式1・3】（26-27高三•全国•一轮复习）已知双曲线C：L-£=1的左、右焦点分别为写，用，P为C

916

3

的右支上一点，且|"|=|月国，则△尸疗2的面积为.

【答案】48

【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出IPK求16,口玛|=|斤玛1=1。.方法'：过点用作PK的垂线交

PK于A,求出△。月亮的高4工，即可求出三角形的面积；方法二：在APEK中运用余弦定理求得

cos/P耳尸2,求得sin/P£玛，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积.

【详解】由C：二一£=1可得，。=32=4,。=5,.•/(-5,0),5(5,0),

916

•・・|明|=阳周=2c=10,\PFl\-\PF21=2«=6.

PF.|=2。+|P招1=6+10=16,

方法■：过点K作P6的垂线交Pg于A,贝”A耳|二g|尸耳1=8,

I*=何狞讨=7102-8:=6，

所以A0耳鸟的面积为5=1=1x16x6=48.

|尸6『十|片用『一|尸泥『16+10'-10'=4

方法二：在△。人工中,cos4PF[Ey=

-5

2\PFX\\F,F2\2X16X10

3

因为OvNPKKv兀，所以sin/P£居=§,

II3

所以S.呻广51P用•|Pg|sinNWF2=axl6xl0x：=48.

方法三:根据海伦公式，S=Mp-a)(p-b)(p-c),其中〃,b,c是三角形的三边长，〃=竺1±£，得

S.p2=718x(18-16)x(18-10)x(18-10)=48.

|题型02圆锥曲线的通径的问题

2b2

椭圆、双曲线通径公式结论|PQ|二2

4

抛物线通径公式结论IAB1=2〃（通径长，抛物线的最短焦点弦）

【典例2］（25-26高三上•辽宁沈阳•期中）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通

22

径.已知椭圆C:±+工=1的通径长为6,则C的离心率为（）

mtn-4

【答案】C

【分析】首先得出椭圆的焦点在y轴上，根据椭圆通径的长为亍以及椭圆离心率的公式即可求解.

【详解】由题意可知，椭圆的焦点在y轴上,

所以a=4m,b=-4,c=2,

因为椭圆的通径长为6,所以=6，即）=6，解得=16,

a7m

c21

故柄圆的离心率6=£=3=：.

a42

故选:C

【变式2・1】（2026・天津北辰•三模）已知双曲线5-*=1（4>0,〃>0）的左、右焦点分别为上，外,过匕

且垂直了”轴的直线与该双曲线的左支交「A,B两点.若|A同是虚轴长的石倍，则该双曲线的一条渐近线

为;若A6,8居分别交），轴于Q两点,且AP。入的周长为8,则互的最大值为

a+\

【答案】y=6x（或y=-6-2x/5

【分析】由题意可知：|人叫="•若|明是虚轴长的百倍，列式整理可得2=百，即可得渐近线方程；若

aa

△P2尼的周k为8,分析可知|前|+|伍1=8,结合定义整理可得从=2。-/,代入结合基本不等式运算求

解.

【详解】由题意可知：|人8|=至，且该双曲线的焦点在x轴上，

a

5

w

若|人目是虚轴长的石倍，则g~=bx2b,即，=百，

所以该双曲线的一条渐近线为y=6r（或y=-氐）；

由题意可知:AB^PQ,且0为线段耳玛的中点,可知忆可分别为4鸟,8鸟的中点,

则|罔=2|尸如伤|=2|尸闾,|明|=2|%

可得|相|+|4用+忸周=2（|P0+|P周+|Q用）=16,结合对称性可知|AE|+|A闾=8,

又因为点人在双曲线上，贝“A周一|4月卜慎闾一\=2〃，即|4q=,+2々,

可得一十一+24=8,整理可得〃=44—/＞o,解得0＜。＜4,

aa

则=6-275,

当且仅当〃+1=々，即4=6-1时，等号成立，

所以上」的最大值为6—2石.

4+1

故答案为：y=>/3x（或y=-Gx）；6-2^5.

【变式2・2】（25-26高三上•河北邯郸•阶段检测）（多选）已知抛物线）、2=2〃X（〃>0）第一象限上的点

P（4,f）,过点尸（g0/勺直线/与摘物线交于M,N两点，则下面说法正确的是（）

A.若|产目=5,则〃=2

B.若〃=2,直线尸产与抛物线的另一个交点为。，则闸=等

C.若〃=4,|M/|=2pV/贝”MN|=6

D.\MN\>4\OF\

【答案】AB

【分析】根据焦半径公式计算得出P=2判断A,联立方程组再结合韦达定理得出焦点弦计算判断B,应用

焦半径性质计算判断C,应用焦点弦计算判断D.

6

【详解】根据题意，因为|尸尸1=5,所以4+^=5,解得〃=2,故选项A正确；

当/?=2时;/=4x,/（1,0）,点P的坐标为（4,4）,所以直线分'的方程为），=：（工一1）,

y1=4x,

联立（4,、整理得了2-3），-4=0,所以4为=-4,%=-1,

丫=3。-1），

所以点Q的坐标为所以两点间距离公式得|PQ|=；,故选项B正确；

1121

设|“耳=团,|2目=〃，所以7+7=5=5'〃'=2"，解得加=6,〃=3,

所以|MN|=〃z+〃=9,故选项C错误；

对于抛物线丁=2川|0尸|=g所以4|OF|=2p,又|MN怛2p,所以|MN|N4|OF|,

当MN为通径时取等号，故选项D错误，

故选:AB.

（2026嘿龙江哈尔滨•三模）设椭圆C:，+g=l（a>/;>0）的左、右焦点分别为月、外,。

【变式2・3】

为坐标原点，过尼的直线与椭圆C交于4,8两点，若AAB"的面枳是4A。「面积的4倍，则

椭圆C的离心率为（）

A.1B.立C.在D.在

2222

【答案】A

【分析［根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出|以|二|）%|，从而得出A3即为通径，结合已知条件求出

。力的关系，进而利用02=片一从求出HC的关系，从而求解离心率.

椭圆C:1+《=l（a>%>0）的左、右焦点分别为£（-0）,6（G。）,

a~b~

7

L机=36段旧|=gx2cW=d%|=2S“*,

、

•・・乜q小姐-一九v"典乙此区，乙q人86—一4一。“。片，

,•S&BRF1=25右.06=SGAFIR，

・••MT%|，故48_L工轴,AB是椭圆的通径,即|48|=竺",

・・・|明=为,

3?h2

.*.-«=—，故4/=3凡

2a

222

:.4\a-c）=3at解得/=叱，即〃=2c,

c1

：.e=—=—.

a2

I题型03中点弦公式（点差法）

椭圆中点弦斜率:

结论类型焦点在X轴椭圆焦点在y轴椭圆

LL__h2

原始定义（长轴端点）%kp&_2%,kp&-从

C-»

2

1y

过原点弦k°A，k（）B=—^2kOA,kOB=一亨

a2

中点弦（中点M）%A8koM—2k.Bk（）M一护

a

从r

双曲线中点弦斜率：弦中点M&O，N0）,则阳8=11

a%

抛物线点差法结论：设抛物线），2=2px的弦的中点为MQo，%）（%工0）,则直线4B的斜

率L=—

（2026•山东聊城•模拟预测）已知椭圆。：，+，=1（〃＞匕＞0）的下顶点为4,右焦点为尸，直

【典例3】

线/的斜率存在，且/与C交于P，。两点.若4户=；（4户+40）,则/的斜率的取值范围是.

【答案】（-72,0）

8

【分析】首先根据向最关系得到P,Q两点的坐标和，利用点差法求直线的斜率表达式，然后利用中点在椭

圆内推导参数关系，进而得到斜率的取值范围.

【详解】

设点。（孙力）,

点4（0T）,F（c,O）,

AF=^AP+AQ］,（。,力）=；［（玉,弘+与+（工2，%+〃）］，

玉+%2=3c%•b

PQ的中点为M（£=）,

j+%=匕'22

，相减得日咨+止3=0,

ab~

2

&_y-％_b，（x,+x2）_bx3c_3bc

222

xy-x2a（y1+y2）axha

P,0的中点在椭圆内，所以（5）J?”

a-b~

化简得3c2v/,则/>2C，2,令

c

,3bc3bc

k=-------=-----------

/y+c

因为/>加,函数y单调递增,

所以y>,—x/2<k<0'

『4_（a>b>0）

【变式3・1］（25-26高二上•内蒙古呼和浩特•期末）已知椭圆C：/+乒=t斜率为2的直线

9

与椭圆C相交于M，N,MN的中点坐标为，-；），则椭圆C的离心率是（）

A.JB.—C.—D.72

222

【答案】B

【分析】设出N的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到〃与的关系，结合〃=〃2+。2得到。

与c的关系，代入离心率公式求解即可.

【详解】设MJ%）,则玉+/=2,z=无聋=2.

因为点M,N在椭圆C上，所以］+4=1,4+4=1-

crb-crb~

所以其+点佟+叫=与_与=（内）+Q+”Xf）=o,

a-b“Ia"b~）a"b’ab“

所以〃=_（y+）’2）（xf）一一5x2=i，即〃=?/.

a1（玉+玉）（王一修）222

又所以/=鼻」.

2a22

又椭圆的离心率0<evl，所以e=也.

2

【变式3・2］（25-26高三上•福建♦开学考试）（多选）“黄金双曲线〃是指离心率为“黄金分割比”的倒数的

双曲线（“黄金分割比〃为与1）.若黄金双曲线C:£-，=lS>0/>0）的左右两顶点分别为A，4，

虚相上下两端点分别为4,斗，左右焦点分别为七尸2，所为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的

弦，仞为E尸的中点.设0为坐标原点，双曲线C的离心率为e,则下列说法正确的有（）

A.e=^^-B.

c.直线£&与双曲线c的一条渐近线垂直D.司=国层『

【答案】ACD

【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断与扬•k是否等于T可

判断选项正误；D由”c=〃，计算|A阕•忻号=加。，忸乃2『=4/,可判断选项正误.

122x（75+1）75+1

【详解】对于A,由题得离心率用耳7=及1=-4―=~2~^故A正确；

2

对于B,设可玉,凶），尸（七,为），则点M（土产，乂尹）

1()

则%a，5爷"两式作差得*--y2,K--V2

b2

另+"）1一乃

则仁川,4历=<?2-1,故B不正确;

--焉/02

X)4-X2Xj-x2X：

对于C,易知名（0,—3，4（—c,0）,贝1］与用-b-0双曲线C的•条渐近线的斜率A=L

0+cca

hbb2c2-a21布+12

所以即叱女—=-----=-----------=—e+—=------------F-1,

acac2V5+1

所以直线£鸟与双曲线C的一条渐近线垂直，故C正确;

对于D,|A4HM周二〃乂26=々的,忸同：破,

由C选项可知有=）'，所以4ac=4b',

所以IA4M周=忸避2「，故D正确.

故选：ACD.

【变式3.3】（2。26•新疆•一模）在双曲线=|中'过左焦点尸的直线与双曲线C同一支交于不同

的两点A,B,线段A3的中点为P.若直线。。的斜率为-5,则直线A8的一般式方程为

【答案】％+y+3=0

【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及0P的斜率可求斜率，点斜式可求方程.

【详解】由双曲线的方程可知产（TO）,设A&，X）,B（W，M）,

2，22

贝ij五-4=1,互-互=1,两式相减可得Q;一占)(%+七)

,即=（*一）’2）（）'|十）’2），

6363632

西+勺」一刈

所以

2（y+%）再一々’

凹+为

因为直线。。的斜率为-4，所以后P=T-1二二/一%一X+占一1

一不/斤以_..-Z,X-1

2X+”22%r巧49*v+%)

直线AB的方程为y=-(x+3),即x+y+3=0,经检验符合题意.

故答案为：x+y+3=0

［题型04圆锥曲线的第三定义

一、椭圆第三定义及结论

平面内，若动点。弓椭圆上原点对称端点A、4连线的斜率乘积为定值，则动点。的轨迹为椭圆（除去A，

4）o

椭圆类型长轴端点坐标斜率乘积定值

焦点在X轴41（-々,0）、4（4,0）及mkp%_/

一一/

焦点在y轴4（0,-〃）、4（0,〃）kp、,kpA「从

二、双曲线第三定义及结论

.2

第三定义：A,6关于原点对称，P在双曲线上（异于小B）,则原八不网二靛

【典例4】（2026•云南玉溪•模拟预测）已知椭圆C:£+£=l（a>〃>0）的长轴端点为A,B,点尸是椭圆

上异于A,8的点,且直线AP和BP的斜率之积则椭圆的离心率为（）

9

A.二B屈

33

【答案】B

【详解】设P*O，儿）是椭圆上异于A,3的点，4-40）,以〃,0）,把P（.%,%）代入椭圆方程

二+二=1（。>h>0）,

a~b~

得叶二卜-叫火

a-b-\a）

b21

7=3'

c阴屈

^-«=W=Va2=-3"

故B选项正确.

【变式4・1】（2026•宁夏•二模）在平面直角坐标系xO），中，已知点人-2,0）,动点P关于。的对称点为

3

Q,且直线4RAQ的斜率之积是记P的轨迹为曲线£.

4

⑴求E的方程：

⑵直线4尸与），轴交于点M,点s与点P关于y轴对称，直线AS与y轴交于点N.在工轴上是否存在点

12

B,使得NOBM=NONB?若存在，求点4的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】⑴?+?=1（X工±2）

⑵存在，B（土石,0）

【分析】（1）设出点P的坐标，利用对称性写事。的坐标，再根据斜率公式表示出女"与心。，将已知斜

率之积代入并化简，即可得到轨迹E的方程.

（2）设尸（，〃,〃），依次写出M、N的坐标，设6（〃,0）,由/08M=/QN3得出正切关系式，结合椭圆方

程消去"，解出〃，从而判断存在点4士6,0）.

【详解】（1）设P（x,y）（xw±2）,则Q（-x,-y）.

直线AP的斜率3孟，直线妆的斜率/二三=£

即MrT

111k^p•k

AQr得我/=/

22

整理得4）,2=—3（/一4）,即3/+4），2=12,故二+二=l（x#±2,即y工0）.

43

所以E的方程为%小

22

（2）设P。加〃）（〃工0）在E上，则%-+土=1.

43

点s与尸关于y轴对称，故s（一肛n）.

I'L线4P的方程为y=-（x+2）,令4=0,得y==,所以M（0，W

直线AS的方程为），=一一（x+2），令x=0,得丁=3,所以N（0,乡

2-m2-mI2-m

设B（p,0）,如图所示：tanNO4M=—^—,tanNONB="若。

\p（m+2）2〃

由NORM=NONB,得叱一⑼,即4/=2（4-/H:）.

〃JQ〃"+J2）|=|2nP

由式+式=1,得〃2=出二虫.

434

代人得4.3（4丁1=p2（4-＞）,即3（4-,zr）=/r（4一/）.

因为〃?工±2,所以p，=3,即p=±J5.

故存在点3,坐标为（6,0）或卜6,0）.

13

【变式4・2］（25-26高二上•费州安顺,期木）已知人（-1,0）,矶1,0）,直线/W,相交丁点M,且它们

的斜率之积是4.

⑴求点M的轨迹C的方程.

⑵过点N（l,l）能否作一条直线/与轨迹。交于P,。两点，且N是线段PQ的中点？若能，求出直线/的方

程；若不能，说明理由.

【答案】⑴/一］=1（"±1）

⑵不能，理由：

假设存在符合题设的直线/,设尸U，y），Q（孙必），

22

--

%21

力

4-内+W

?%1-4

2再

则,两式相减整理得?+必

2K-

%---1

4

又因为N（l,l）为线段PQ的中点，所以％+%=2,X+%=2,

所以直线/的斜率攵=’二旦=4.

X1~X2

由点斜式方程可知，直线，的方程为y-l=4（x-l）,即y=4x-3.

y=4x-3

由LV2消去）'，整理得12f-24x+l3=0，（*）

x---=1

4

判别式△=（-24）2-4x12x13=—48<0,

所以方程L）无解，故直线/与轨迹C无交点，因此假设不成立，

故过点N（l,l）不能作直线/,使得［与。交于P,Q两点,且N是线段PQ的中点.

14

【分析】（1）设点M（M），），由两直线斜率之积化简求解方程；

（2）假设存在符合题设的直线/,由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在.

【详解】（1）设点”（乂江

则直线AM的斜率G二色（，一），直线期的斜率输"£（"1），

由题意知勤&"=4,即后后=4,化简整理得八%1，

所以点M的凯迹C的方程为/一手=］（%工±i）.

（2）略

【变式4・3】（25-26高二上•安徽•期中）设A3两点的坐标分别为（-G,O）,（G,O）,直线AM、BM相交于点

M,且直线AM,8M的斜率之积是2.

⑴求动点M的轨迹方程C；

⑵直线），=日（x-3）与曲线C交于。石两点，求|因的值.

【答案】⑴,=1（"±6）;

（2）竽,

【分析】（1）设M（x，y）,将则=2用坐标表示，化简可得点的轨迹方程；

（2）联立直线），=*（x-3）与曲线C，通过韦达定理以及弦长公式即可求解|明的值.

【详解】（1）设动点M的坐标为«目,已知A（->^,0）,5限,0）.

y-0

直线AM的斜率"儿w=7^3)

二Ry-0二号卜叫，

直线8M的斜率原“

由题意’……即品.4=2,

15

化简可得,

（2）设。石

*J

-------1

联立，31得5f+6x-27=0,

>=*-3）

f_6

玉+芍=-­

由韦达定理得二,

根据弦长公式|。同=J1+峨-jM+.lj-可..

团综上所述，弦的长为及3

5

［题型05焦比公式

一、椭圆焦比公式

1l『GI

焦比定义：,=II（2>1）

|。巴|

离心率表达式：

Z—1

e

（义+1）cosa

二、双曲线焦比公式

22IppI

设双曲线三一5=1（。>0力>（））的焦点为4（一，0）、K（c,o）,双曲线上一点尸满足焦比力二号；

a~b-I〃八21

16

(A>0,4wl),/F\PF,=O,则离心率—2'cos'

l^-H

【典例5］（25-26高三上・广东深圳•期末）已知椭圆C:J+£=l（a>〃>0）的左焦点为R-c,。），直线

/:尸3），+。=（）与C交于A,B两点,若Hq=3|4月，则C的离心率是.

【答案】眄

9

【分析】依题意，设4（冷）。8（%,%），因为|阴=3从尸|,则有％=-2y,直线方程与椭圆方程联立，借

助韦达定理得到81c2=10/,从而得到离心率.

【详解】

设人％方）1伍,必），因为14M=3|4万|,所以已=崎=（所以必=一2凹.

x-3y+c=0,

联立]£_整理得(/+96)/一66①一/=0,

6/?2Cb4

则y+%=-y一

a2+9b2x%=a?+9产

6ble]4

b整理得81。2=1002,

从而-2・从

“2+9Ja2+9b2

故一①

a9

故答案为：叵.

9

【变式5・1】（25-26高二下•上海•期中）已知直线/:），=6i与双曲线C：£-点一Ma>。/>0）的左，右两支

分别交于4,B两点,尸是双曲线。的左焦点，且|AB|=2|AF|,则双曲线C的离心率是________.

【答案】6+1/1+G

17

【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形△AOF,求得点A的坐标，代入双曲线方程，化

成关于4C的齐次方程，解方程即得.

如图，因直线/:），=岳与双曲线C:5■-/■=的图象均关于原点对称，故

\OA\=^\AB\=\AF\,

且直线/的斜率为故倾斜角为60,即NRM=60,则AACF是正二角形.

则可得点A的坐标为4-二-代入]-A=l，整理得：

22a~b~

b2（r-3a2c2=4a2b2,

因〃=。2一/,代入整理得：/一8/°2+4/=0,

即/一8/+4=0，解得e=6±l,因e>l,故e=G+l.

故答案为：75+1.

（25-26高三下•贵州黔东南•阶段检测）双曲线。：1-4=1（心0⑦>0）的右焦点为尸，过点尸

【变式5-2]

crb~

的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，点A关于原点。的对称点为P,PFLAB,且忸曰=3|4F|,则

双曲线C的离心率为.

【答案】叵

2

【分析】设双曲线C的左焦点为E,连接尸E,分析出四边形为矩形，设|A目=〃?，利用勾股定理可

得出机=。，然后在△曲中利用勾股定理可求得双曲线C的离心率的值.

【详解】设双曲线C的左焦点为七，连接尸石，

18

因为AP、历的中点都为0,且故四边形隹尸尸为矩形，

设|八尸|=/n,则忸耳=3〃z,|AE|=2a+〃2,\BE\=2a+3m,

由勾股定理可得|A吁十=|/汨2,即（2a十〃,）2十（4,〃了=（2。十3/〃）2,解得切=，，

所以，|AF|=。，|AE|=3a,由勾股定理可得+4歼=但肝，

所以，10/=4—即2c=Ma,因此，双曲线。的离心率为e=£=巫.

a2

故答案为：回.

2

【变式5・3】（25-26高二上•湖南郴州•期末）已知过抛物线Uy?=2px（p>0）的焦点F,斜率为手的直线

交抛物线于A（N，y）,8（.%），2）两点，且|A8|=16,则〃=；若直线n=&*+1）与抛物线C相交

于M,N两点，满足|=2|硒|,贝1」々=.

【答案】2土巫

3

【解析】（1）联立方程后，采用焦点弦长公式写出弦长IABI,得到关于〃的等式

（2）同样联立方程，用焦半径公式表示等式1根1=2|四|,建立等式计算即可

【详解】（1）设A8:y=等1-£|

联立方程"'=不卜一9可得V-7px+式=0

2c4

>,=2px

则%+占=7〃

IA51=M+X?+p=8〃=16得〃=2

19

y=^(x+l)

（2）联立可得攵+[2公-4卜+公=0

y2=2p«

设”（七,），3）,?/（%,必）

4一2二

X+X=———»占为

34K

rhIFM|=21五NI得天+1=2(X4+1j即&=2X4+1

则XX=(2兀+1)匕=1

1_

x4=~»W=20

4一2二5

…=丁=5

k=上巫

3

故答案为：(1)〃=2(2)%=±逑

3

【点睛】焦半径公式如下:

抛物线V=2px（p>0）的焦点为F,A（x”y）为抛物线上的一点，则|AF|=x+g

[题型06焦半径公式

一、椭圆有关的焦半径公式

焦半径定义：椭圆上任意一点a%,为）到其中一个焦点的距离称为焦半径。以下分两种椭圆标准形式给出

公式，其中a>〃>0,c2=a2-b2，离心率e=£（0<e<1）.

a

（一）焦点在x轴上的椭圆（标准方程：4+4=1）

左焦点”（一。,0）时应的焦半径：I尸61=。+做；

右焦点玛（c,0）对应的焦半径：I产乙1=。-。0.

22

（二）焦点在y轴上的椭圆（标准方程：与十二=1）

a2h2

上焦点£（0，c）对应的焦半径：1q"二〃+。0；

下焦点招（0,一c）对应的焦半径：|PF2|="缈".

设柄圆标准方程为=+匚=1（4>〃>（））,焦点为耳（一•0）、K（c,o）,离心率e=£

a~h~a

20

过右焦点八的直线倾斜角为。（0Wa<4），与椭圆交于P（近焦点侧）、Q（远焦点侧）两点，则:

1.焦半径公式：

b2

近焦点侧：|刊冒二

a+ccosa

b2

远焦点侧：|。入|二

。一ccosa

2.焦点弦长公式：

lab22a(X-e2)

\PQ\=

a1-c~cos2a\-ecos2a

二、双曲线有关的焦半径公式

L焦半径（区分支）：

右支（/之。）：|PFi|=exQ+a,|PF2\=exQ-a

左支（x（）K-。）：|P4l=-ex{-a,|PF21=-ex[>+a

过右焦点鸟（c,0）的直线/倾斜角为a,交双曲线于4B

1.与两支相交（a£（0,arclan2）u（）一arctan2,乃））：

a

2ab~

1—b28s2a

2.与右支相交((7e(arctan—,.T-arctan—))：