湘教八年级上册数学-命题与证明 同步练习

第2章三角形

2.2命题与证明

基础过关全练

知识点1定义

1.下列语句中哪句话是定义（）

A.连接A、B两点B.等角的余角相等吗？

C.内错角相等，两直线平行D.整数与分数统称为有理数

知识点2命题与互逆命题

2.下列语句是命题的是（）

A.作直线AB的垂线B.在线段AB上取点C

C.垂线段最短吗？D.同旁内角互补

3.命题“如果a<0,b<0,那么ab>0”的逆命题是（）

A.如果a<0,h<0,那么ab<0B.如果ab>0,那么a<0,b<0

C.如果a>0,b>0,那么ab<0D.如果ab<0,那么a>0,b>0

4.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.

⑴能被2整除的数也能被4整除；

⑵两个锐角互余；

⑶若xy=O,则x=0；

（4）两直线平行，同旁内角互补.

5.写出下列命题的逆命题.

⑴若a=b,P>iJa3=b3；

（2）个位数是0的数能被2整除；

⑶如果一个三角形有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角是锐角.

知识点3真、假命题及证明

6.以下命题的逆命题为真命题的是（）

A.若a=b,则a?=b?B.同旁内角互补，两直线平行

C.直角三角形没有钝角D.对顶角相等

7.下列选项中，可以用来说明命题“若|x|>2,则x>2”是假命题的反例是（）

A.x=-3B.x=-2C.x=3D.x=2

8.己知：如图，点E,F分别在AB,CD上，AF1CE,垂足为点O,Z1=ZB,

NA+N2=900.求证：AB〃CD.

证明：・・・/1=NB（已知），・・・CE〃BF（同位角相等，两直线平行），,

・・・NAFC+N2=90。（等式性质），：NA+N2=90。（已知），工/AFC=NA（同角的余角相等），

・・・AB〃CD（内错角相等，两直线平行）.

请你仔细观察下列序号所代表的内容：

①・・・/八0£=90。（垂直的定义）；②.・・NAFB=9（）。（等量代换）；③:AF_LCE（已知）；

④•・・NAFC+NAFB+N2=18（J。（平角的定义）；⑤JNAOE=NAFB（两直线平行，同位角相等）.

横线处应填写的过程，顺序E确的是（）

A.⑤@①②④B.③④①©⑤C.⑤④③②①D.⑤②④

9.真、假命题的思考•.

一天，老师在黑板上写下了三个命题：

①垂直于同一条直线的两条直线平行；②若a?=b2,则@=匕③若Na和的两边所在的直

线分别平行，则Na=Np.

小明和小丽的对话如下：

小明：“命题①是真命题，好像可以证明

小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件

⑴结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为命题①是真命题，请证明；如果你认

为命题①是假命题，请增加一个适当的条件，使之成为真命题；

⑵请在命题②③中选一个，如果你认为它是真命题，请证明；如果你认为它是假命题，请

举出反例.

知识点4公理与定理

10.给出下列语句：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）平行于同一条直线的两条直线平行；

⑶在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线：（4）两点之间，线段最短；（5）过直线外一

点有且只有一条直线与已知直线平行；（6）同位角相等，两直线平行.其中是公理的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

11.卜列定理中，没有逆定理的是（）

A.两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行

B.对顶角相等

C.同旁内角互补，两直线平行

D.两直线平行，内错角相等

知识点5证明与图形有关的命题

12.如图，在四边形ABCD中，①AB〃CD,@ZA=ZC,③AD〃BC.

⑴请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题；

⑵判断这个命题是不是真命题，并说明理由.

13.如图所示，若DE〃BC,Z1=Z3,CD1AB,求证：FG1AB.

［变式1］若把原题设中“DE〃BC”与结论“FG_LAB”对调，所得命题是真命题吗?说明理由.

［变式2］若把原题设中的“N1=N3”与结论“FG_LAB”对调，所得命题是真命题吗?说明理由.

知识点6反证法

14.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）.

己知：如图，\\//hfli,12都被h所截.

求证：Zl+Z2=180°.

证明：假设N1+N2180°.

Vli/712,AZIZ3.VZ1+Z2180°,，N3+N2*800,这和矛盾,

・•・假设N1+N2180。不成立，即/1+N2=180。.

能力提升全练

15.下列说法正确的是（）

A.命题一定有逆命题B.所有的定理一定有逆定理

C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题

16.能说明“锐角a,锐角p的和是锐角”是假命题的例证图是（）

17.请写出命题“如果a>b,那么b-a〈0”的逆命题：.

18.命题“同角的余角相等“，将该命题改写成“如果……，那么……”的形式为

素养探究全练

19.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形探索这两个角的关系.

(1)如图①，AB〃EF,BC/7DE,则N1与N2的数量关系是；

证明：

⑵如图②，AB〃EF,BC〃DE,则N1与N2的数量关系是

证明：

⑶综合上述，我们可以得到一个真命题:

图①图②

第2章三角形

2.2命题与证明

答案全解全析

基础过关全练

l.DA、B、C选项中的语句不是对某一概念的含义加以描述说明或作出明确规定，而D选

项中的语句把有理数的含义进行了描述.故选D.

2.D选项A和B是作图语言，选项C是问句，都不是命题；只有选项D,对事情作出了判

断，是命题.

3.B交换原命题的条件与结论即可得到其逆命题.

4.解析(1)如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除.

⑵如果两个角都是锐角，那么这两个角互余.

⑶如果xy=O,那么x=0.

(4)如果两直线平行，那么同旁内角互补.

5.解析(1)逆命题:若a3=b3,则2=氏

⑵逆命题：能被2整除的数的个位数是0.

⑶逆命题：如果一个三角形有两个内角是锐角，那么这个三角形的另一个内角是钝角.

6.B”若a=b,则a?二b2”的逆命题为“若a?二b2,则a=b"，此逆命题为假命题，故A选

项错误；“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，此逆

命题为真命题，故B选项正确；“直角三角形没有钝角”的逆命题为“没有钝角的三角形是

直角三角形"，此逆命题为假命题，故C选项错误；“对顶角相等”的逆命题为“相等的用

是对顶角”，此逆命题为假命题，故D选项错误.

7.A当x=-3时,|x|=3>2,而-3v2,7"若|x|>2,则x>2”是假命题.故选A.

8.A本题先理解题意，理清证明过程，进而正确排序.

先证CE〃BF,得NAOE=NAFB,由AFJ_CE得NAOE=9()°,进而得NAFB=90°,利用

平角定义得NAFC+NAFB+N2=180°,进而得出NAFC+N2=90°,结合NA+N2=90°可

以得出NAFC=NA,从而证得AB〃CD.横线处填写的序号为⑤③①②④.

9.解析(1)命题①是假命题，增加“在同一平面内”这个条件，即可成为真命题.

⑵命题②是假命题,反例：当a=l,b=-l时,a2=b2,但a#b.

命题③是假命题，反例：如图，和NB的两边所在的直线分别平行，但

10.B⑴(4)(5)(6)是公理夬4个.

11.B相等的角不一定是对顶角.

12.解析(1)如果AB〃CD,ZA=ZC,那么AD〃BC.(答案不唯一)

⑵这个命题是真命题.

理由：VAB/7CD,.,.ZB+ZC=180°,

VZA=ZC,.•.ZB+ZA=180°,AAD^BC.

13.证明・.・DE〃BC,AZ1=Z2.VZ1=Z3,AZ2=Z3,

・・・CD〃FG,VCD1AB,Z.FG1AB.

［变式1］解析是直命题.

理由：VFG1AB,CD±AB,.・.CD〃FG,AZ2=Z3,

VZ1=Z3,.*.Z1=Z2,・・・DE〃BC.

［变式2］解析是真命题.

理由：VFG1AB,CD±AB,ACD#FG,.*.Z2=Z3,

•・・DE〃BC,AZ1=Z2,AZ1=Z3.

14.答案子；=；子；平角为180°；/

解析反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理导出矛

盾，从而得出假设不成立；③由此肯定所证明的命题正确.

能力提升全练

15.A命题一定有逆命题，但定理不一定有逆定理，且真命题的逆命题不一定是真命题，假

命题的逆命题不一定是假命题.故选项A说法正确.

C如图，延长AB到C,VZl>90°,Za+ZS=Zl,...Na+NB>90°,所以“锐角

a,锐角B的和是锐角”是假命题.故选C.

17.答案如果b-a〈0,那么a>b

解析该命题的条件为“a>b”，结论为“b-avO”.交换命题的条件和结论得其逆命题.故答

案为如果b-a<0,那么a>b.

18.答案如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等

解析命题“同角的余角相等”的题设是两个角都是同一个角