高一数学暑假提升：充分条件与必要条件【六大题型】（解析版）

专题L4充分条件与必要条件【六大题型】

♦题型梳理

【题型1命题的概念】..........................................................................1

【题型2判断命题的真假】......................................................................2

【题型3充分条件、必要条件及充要条件的判定】.................................................5

【题型4充分条件、必要条件及充要条件的探索】.................................................6

【题型5由充分条件、必要条件求参数】.........................................................8

【题型6充要条件的证明］......................................................................9

【知识点1命题】

命题及相关概念

定义：用语言、符号或式子表达的.可以现蛆假的

陈述句

命八w（真命题:判断为真的语句

题《分类［！假命题:判断为一假的语句

形式:“若外则（/”.其中/>称为命题的轨,4称为

命题的结论

【题型1命题的概念】

【例1】（2023・江苏•高一假期作业）下列语句为真命题的是（）

A..a>b

B.四条边都相等的四边形为矩形

C.1+2=3

D.今天是星期天

【解题思路】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可

【解答过程】对于A,因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误，

对于B,此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误,

对于C,1+2=3是命题，且是真命题，所以C正确，

对于D,因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误，

故选：C.

【变式1-1］（2023.江苏.高一假期作业）以下语句：①{0}6N：②/+y2=0：③/>x：®{x\x2+1=0）,

其中命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

【解题思路】根据命题的定义进行判断.

【解答过程】①是命题，且是假畲题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题.

故选：B.

【变式1-2］（2023•高一课时练习）下列语句中：①一IV2；②工>1；③%2-1=0有一个根为0；④高二

年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（）

A.B.①©©C.②③⑥D.①③

【解题思路】根据命题的定义即可求解•.

【解答过程】命题是能判断真假的陈述句，

由于⑤⑥不足陈述句，故不足命题，

②④无法判断真假，故不是命题，

①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，

故选：D.

【变式1-3］（2022•高一课时练习）给出下列语句：①%>1.②3比5大.③这是一棵大树.④求证：国是

无理数.⑤二次函数的图象太美哦！⑥4是集合｛123,4｝中的元素.其中是命题的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】根据命题的定义逐个分析判断即可.

【解答过程】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题，

①不能判断真假，不是命题；

③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；

④是祈使句，不是命题；

⑤是感叹句，不是命题.

故选:A.

【题型2判断命题的真假】

【例2】（2023・江苏•高一假期作业）下列命题中真命题有（）

®mx24-2x-1=0是一元二次方程：

②函数y=2x-1的图象与x轴有一个交点；

③互相包含的两个集合相等;

④空集是任何集合的真子集.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【解题思路】对于①，举反例m=0即可判断；对于②，令y=0,求解即可判断：对于③，根据包含关系

即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.

【解答过程】①中，当皿=0时，m/+2x—l=0是一元一次方程，①错误；

②中，令y=0,则2x-l=0,x=%所以函数y二2工一1的图象与x釉有一个交点，②正确；

③中，互相包含的两个集合相等，③正确；

④中，空集不是本身的真子集，④错误.

故选：B.

【变式2-1］（2022秋・重庆・高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（）

A.如果a>b,那么Q?>b2B.如果a>b,那么ac?>be2

C.如果a>b,c>d,那么？>2D.如果a>b,cvd,那么a-c>b-d

dc

【解题思路】ABC选项举出反例即可判断，D选项结合不等式的性质即可判断.

【解答过程】A选项：若Q=0,匕=一1,满足a>b,但是a2Vb2,因此是假命题，故A错误；

B选项：若a=3,b=—1,c=0,满足a>b.但是ac?=be?,因此是假命题，故R错误：

C选项：若Q=3"=-1,C=2,d=满足Q>b,c>d,但是号V因此是假命题，故C错误；

3ac

D选项：因为c<d,则-c>-d,且a>b,因此a-c>b-d,因此是真命题，故D正确，

故选：D.

【变式2-2］（2023•全国•高一假期作业）下列命题：

①矩形既是平行四边形乂是圆的内接四边形；

②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形；

③方程为2一3%—4=0的判别式大于0;

④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；

⑤集合力CB是集合4的子集，且是4U8的子集.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角

形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.

【解答过程】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确；

对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，

对于③，方程/一3工一4=0的判别式为△=9—4x(-4)=25>0,故正确，

对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，

对于⑤，ACyBQA,AQAUB,故正确；

故选：C.

【变式2-3](2023秋•上海黄浦•高一校考阶段练习)设aER,关于％y的方程组号工.对于命题：①

存在。，使得该方程组有无数组解；②对任意小该方程组均有•组解，下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【解题思路】通过解方程组的知识求得正确答案.

【解答过程】由％—ay=1得x=ay+1,则a(ay+1)+y=Q,(a2+l)y=0,所以y=0,

则=1，解得x=l,

Qzx=a

所以关于”的方程组：:有唯一解｛；：J.

所以①为假命题，②为真命题.

故选：D.

【知识点2充分、必要与充要条件】

1.充分条件与必要条件

命题真假“若P，则q”是真命题”若P，则小是假命题

由条件P不能推出结论g,

推出关系及由〃通过推理可得出心

符号表示记作：〃=q记作：

P是q的充分条件〃不是〉的充分条件

条件关系

q是〃的必要条件。不是〃的必要条件

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

2.充要条件

如果“若p,则g”和它的逆命题“若小贝Up”均是真命题，即既有又有q-p,记作〃=/此

时p既是q的充分条件，也是q的必要条件.我们说〃是q的充分必要条件，简称为充要条件.

如果〃是q的充要条件，那么q也是〃的充要条件，即如果那么〃与乡互为充要条件.

【注】："T'的传递性

若〃是的充要条件，夕是$的充要条件，即“C/,qG,则有〃二•,即〃是s的充要条件.

3.充分、必要与充要条件的判定

(1)如果既有pnq,又有q=p,则p是q的充要条件，记为〃令.

(2)如果p=-＞q且q=「p,则p是q的既不充分也不必要条件.

(3)如果p=q且4=「p,则称p是q的充分不必要条件.

(4)如p=＞—q且q=p,则称p是q的必要不充分条件.

(5)设与命题p对应的集合为A={X|/XA)),与命题g对应的集合为8={阳㈤},

若4G8,则〃是9的充分条件，，/是〃的必要条件；

若4=4,则〃是q的充要条件.

【题型3充分条件、必要条件及充要条件的判定】

【例3】(2023•上海普陀・上海市校考模拟预测)“无＞1”是1"的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【解题思路】根据分数不等式求解(VI答范围，即可根据集合间的关系求解.

【解答过程】由q＜1可得号＜o,解得％＞1或％＜o,故口代＞1}是卜以＞1或xv0}的真子集，故、＞r

是2＜i”的充分不必要条件，

X

故选:A.

【变式3-1](2023・全国•高一假期作业)已知集合4={%},B={x2},则“％=「是"4=8”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【解题思路】由4=B求得％=0或％=1,然后即可得出答案.

【解答过程】由4=8可得％=x2,解得％=。或x=1.

所以“X=「是“4=的充分非必要条件.

故选：A.

【变式3-2](2023・江苏•高一假期作业)已知实数a,b,则“胃＞0”是"|a|＞依"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【解题思路】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断.

【解答过程】胃＞0o（a+b）（Q-b）＞0=M一炉＞0=。2＞炉=同＞g|为充要条件.

故选：C.

【变式3-3］（2U2U秋・上海浦东新•高一校考阶段练习）已知P是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是

r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③「是

q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件；正确的命题序号是（）

A.①④B.®®C.②③D.③④

【解题思路】根据条件及充分条件和必要条件的的确定p,q,r,s之间的关系，然后逐•判断命题①②③©即

可.

【解答过程】因为p是r的充分不必要条件，所以p=r,r#p,

因为q是r的充分条件，所以q=r，

因为s是丁的必要条件，所以rns,

因为q是s的必要条件，所以s=q,

因为q=r,r=s,所以q=s,又s=q,

所以s是q的充要条件；命题①正确，

因为p=r,r=s,s=q,所以p=q,

若q=p,则r=s,s=q,qnp,故r=p,与厂#p矛盾，

所以q#p,

所以p是q的充分不必要条件，命题②正确；

因为r=s,s=q,所以r=q,r是q的充分条件，命题③错误；

因为s=q,q=r,所以s=r,又r=s,

所以r是s的充要条件，命题④错误；

故选:B.

【题型4充分条件、必要条件及充要条件的探索】

【例4】（2023•高一课时练习）关于x的方程3+1=0有实根的一个充分条件是（）

A.a=0B.a=1

C.a#=1D.a<1

【解题思路】根据一元一次方程的求解即可判断QHO,由充分条件的定义即可求解.

【解答过程】由ax+l=0=ax=-l,要使方程有实根，则

故a=1是方程以+1=。有实根的一个充分条件，

故选：B.

【变式4-1］（2023春・山西运城・高二校考阶段练习）若％yWR,则“x>y”的一个充分不必要条件可以是

（）

A.|x|>|y|B.x2>y2

C.->1D.2x-y>2

y

【解题思路】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.

【解答过程】*|x|>|y|,」>y2推不出％〉y,排除AB；

由:>1可得三>0,解得X>y>0或xVyV0,所以:>1是乂>y的既不充分也不必要条件，排除C；

2x-y>2=>x>y,反之不成立，D正确；

故选：D.

【变式4-2］（2022秋・江苏连云港•高一校考期中）使或x>3}成立的一个充分不必要条件是

（）

A.无40或%>3B.X<—1或%>3

C.x<0或x>1D.x>0

【解题思路】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案.

【解答过程】对于A,因为或%>3}="€{%|%&0或1:>3},故错误：

对于B,因为工£{x|x<-1或％〉3}{%|%工0或%>3},故正确；

对于C,因为{x|xW0或%>3}{x|xW0或%>1},故错误；

对于D,因为{x|x>0}不是{x|xW0或%>3}的真子集，故错误.

故选：B.

【变式4-3］（2023春•陕西商洛•高二校考阶段练习）不等式"2+2%-7几在％WR上恒成立”的一个充分

不必要条件是（）

A.Tn<-1B.m>4C.2<m<3D.-1<m<2

【解题思路】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐•判断即可.

【解答过程】因为“不等式/4-2J-m>0在R上恒成立“，所以等价于二次方程的"+2x-m=。判别式

A=4+4m<0,即m<—1.

所以A选项，m<-1是TH<一1充分不必要条件，A正确：

B选项中，m>4不可推导出mW-1,B不正确；

C选项中，2cm<3不可推导出mW-1,故C不正确；

D选项中，一1V巾V2不可推导出m工一1,故D不正确.

故选：A.

【题型5由充分条件、必要条件求参数】

【例5】(2023春・湖南长沙•高二校联考期中)已知p：xNk,q：WwO,如果p是q的充分不必要条件，则实

数k的取值范围是()

A.[2,+oo)B.(l,+oo)

C.[l,+oo)D.(-oo,-l)

【解题思路】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.

【解答过程】q：票W0，即q:%<-1或xN2,又p:xNk,p是q的充分不必要条件，

所以RN2,即k的取值范围是[2,+8).

故选:A.

【变式5-1](2022秋・青海西宁•高一校考阶段练习)“一元二次方程/+以+1=0有两个不相等的正实根”

的充要条件是()

A.a<-2B.aV—2

C.a>2D.a<-2或a>2

【解题思路】先求出一元二次方程/+ax+1=0有两个不相等的正实根时a的取值范围，再根据充要条件

的定义即可求解.

【解答过程】解：•••一元二次方程产+QX+1=0有两个不相等的正实根，

设两根分别为：xltx2,

(4=a2-4>0

故ki+x2=-a>0,

(X1X2=1>。

解得：a<-2,

故”一元二次方程M+ax+l=0有两个不相等的正实根”的充要条件是a<-2.

故选：B.

【变式5-2]（2022•高一单元测试）若〃：/+%-6=0是q：ax-1=0（a工0）的必要而不充分条件,

则实数。的值为（）

A.--B.一工或2C.--D.工或一工

223323

【解题思路】根据题意确定4可以推得P，但P不能推出/由此可得到关于。的等式，求得答案.

【解答过程】〃：x2+x-6=0,即x=2或x=-3,<7：Va^O,•,x=~,

由超意知p：x2+x-6=0是q：ax-1=0（a*0）的必要而不充分条件，

则」=2,或乙二一3,解得Q=；,或。=一；，

aa23

故选:D.

【变式5-3]（2022秋・山东潍坊•高一校考阶段练习）若"-1令加<1”成立的充分不必要条件是心令〈针，则实

数加的取值范围是（）

A.[TN|-^<?n<1]B.<^]

C.[m\m<D.[znpn>

【解题思路】先化简不等式为〃*《•<〃?+1,再由题意知G〔m一l,m+1）,且GJ）H（7n-l,m+l）,

根据子集关系列式解得参数范围即可.

【解答过程】不等式/力旭<1等价于：e16S+1,

由题意得[是11”成立的充分不必要条件，

所以（Oq（m-1，租+1），且（OH（m一l，m+1），

771—1<-1.

所以4:,且等号不能同时成立，解得一:三小工：.

771+1>123

2

故选:B.

【题型6充要条件的证明】

2

【例6】（2023•全国•高一假期作业）已知Q,b是实数，求证：Q，_乂_2b=1成立的充要条件是Q2一块二1

【解题思路】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论.

【解答过程】解：先证明充分性：

若a?—b2=1,则a’—b4—2b2=（a2—b2）（a2+b2>）—2b2=a2b2—2b2=a2-b2=1成立.

所以一肝=i”是加4_"-2b2=「成立的充分条件：

再证明必要性：

若a，—b4—2b2=1,则a，—b4-2b2—1=0,

442

BpO-（b+2b+l）=0,

•••a4—（b2+1）2=0,

222

•••（a+炉+l）（a-d-1）=0；

Va2+b2+1*0,

•••a2-b2—1=0,

即。2一坟=1成立.

所以一82=1”是“Q4_/J4_2b2=1”成立的必要条件.

综上：a4-b4-2b2=1成立的充要条件是十一炉=1

【变式6-1]（2023•全国•高一假期作业）已知％,y都是非零实数，且入,y,求证：二<二的充要条件是孙>0.

xy

【解题思路】根据充要条件的定义进行证明即可.

【解答过程】（1）必要性：由乙<\得工一工V0,即匕M<0,

xyxyxy

又由x>y,得y—无v0,所以用y>0.

（2）充分性：由xy>0及x>y,

得±>上,即Lv2

xyxyxy

综上所述，2V2的充要条件是孙>（）.

2

【变式6-2]（2023・全国•高一假期作.业）求证：等式生产+&%+&=a2x+b2x+c?对任意实数%恒成立

的充