函数的图象与性质

板块一函数与导数

微专题1函数的图象与性质

高考定位1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的

定义域、最值与值域、奇偶性和单调性；2.利用函数的性质推断函数的图象；3.

利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强.

【真题体验】

1.（2024・天津卷）下列函数是偶函数的是（）

0^—cosxH-x2

A於尸苫TFB•危尸/+]

—xsinx+4x

0©)=中D«Y)=

答案B

1

P彳（Y）2户工丫2

解析法一对于A,八一X）=（_；）2+]=7不丁壬/U）,故次外不是偶函数;

,丁~COS(-X)+(-X)2cosx+x2〜~E回P皿

对于B,fii-x)=(_.)2+]=+]—=氏1)，故Ax)在1偶函数;

对于C,/（X）的定义域为{MxW-l},不关于原点对称，故«r）不是偶函数；

,丁sin（—x）+4（­x）—sinx—4xsinx+4x

对于D,#—x）=------------点---------=—圆一=_ehi=一%），板＜x）

是奇函数.故选B.

法二易知y=f+l与），=阴均为偶函数，且恒为正.

对于A,由于），=e^—f是非奇非偶函数，

所以人幻也是非奇非偶函数；

对于B,y=cosx+f是偶函数，

所以/U）是偶函数；

对于C,易知«r）的定义域不关于原点对称，

所以凡丫）是非奇非偶函数；

对于D,y=sinx+4x是奇函数，

所以/U）是奇函数，故选B.

2.(2024•全国甲卷)函数.心)=-x2+e—er)sin%在区间[一2.8,2.8]的图象大致为

()

答案B

解析由题知函数7U)的定义域为R,关于原点对称，H—x)=—(—x>+(er—

2vv

e')sin(—x)=—x+(e—e')sinx=j1x)1

所以函数九丫)为偶函数，函数图象关于)，轴对称，排除A,c；

川)=一l+(e—1>—l+(e—Jsin1=—1+|—^>0,排除D.故选B.

—文？—2〃Y—(IX<()

3.(2024・新高考I卷)已知函数")=、~(=;八在R上单调递增，则。

C+ln(x十1),xNO

的取值范围是()

A.(-8,()]0]

C.[-l,1]D.[0,4-oo)

答案B

解析因为函数/1)在R上单调递增，

且当x<0时，火x)=—x2—2av—〃，

所以./U)=—2"一〃在(一8,0)上单调递增，所以一即。W0；

当x20时，Xx)=ev+ln(x+l),

所以函数/(x)在[0,+8)上单调递增.

若函数人工)在R上单调递增，

则一a〈y(o)=i,即一1.

综上，实数。的取值范围是[—1,0].故选B.

4.(2022•新高考II卷)已知函数危)的定义域为R,且於+y)+«x-y)=/UM>)，川)

=1,则£/W=()

A.—3B.一2

C.OD.l

答案A

解析因为式1)=1,

在於+y)+/U—y)=7U次v)中，

令y=1,

得於+1)+段-1)=/⑴/U),

所以ju+i)+/u-i)=/a),①

所以/"+2)+Kv)=/U+l).②

由①②相加，得/(九+2)+人九-1)=0,

故/U+3)+/U)=0,

所以«r+3)=-/U),

所以7U+6)=-/U+3)=4E),

所以函数/U)的一个周期为6.

在於+y)+於一)，)=段次>，)中，

令y=o,得次x)+兀v)=/um。)，

所以大0)=2.

令尸)，=1,得<2)+的)=川加1),

所以负2)=—1.

由①式得/U+l)=/U)—«r—1),

所以12)=/(l)-/(0)=-1,

<3)=<2)—/(1)=-2,

贝4)=逃3)—/(2)=—1,

*5)=/(4)-/(3)=1,

犬6)=/(5)一大4)=2,

所以/(1)+火2)+…+火6)=1—1—2—1+1+2=0,

22

根据函数的周期性知，三抑%)=川)+次2)+/(3)+/(4)=1—1-2—1=-3,故选A.

【热点突破】

热点一函数的概念与表示

I核心归纳

1.复合函数的定义域

(1)若/0)的定义域为川，则y=/(g(x))中，由解得r的范围即为

的定义域.

⑵若虑⑼的定义域为[〃?，川，则由mWxW也得到g(x)的范围,即为於)的定义

域.

2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并

集.

例I⑴(2。24,江苏三校联考)已知函数尸QlD的定义域是L2,并则尸f(骨x)

的定义域是()

A.[—2,5]B.(-2,3]

C.[-l,3]D.(-2,5]

x+1,x20,

(2)已知函数/x)=«若aWa)-fi-a)]>O则实数。的取值范围是

-2x-1»x<0,f

()

A.(2,+00)B.[-2,0)U(0,2]

C.(-8,-2]U[2,十8)D.(—2,0)U(0,2)

答案(1)D(2)D

解析(1)因为函数)，=或〃-1)的定义域是[―2,3],所以一2<xW3,所以一5W2x

—1W5,所以函数y=/U)的定义域为[-5,5].

要使丁斗最有意义，则需要一5«5,

'5+2x+2>0,

f(r)

解得一2aW5,所以)=全卷的定义域是(-2,5].故选D.

(2)由。伏⑷一区一

若。>0,则贝a)—戈—。)>0,

即。+1—[―2X(一公-1]>0,解得〃<2,

所以0<〃<2.

#a<0,则大a)—A—a)<0,

即一2〃一1—(―1)＜0,解得。＞一2,

所以一2＜。＜0,

综上，。的取值范围为(一2,0)U(0,2).

规律方法1.解决抽象函数定义域问题时，谨记次以幻)中g(x)的值域与./U)中x的

范围相同.

2.对于多段函数的解不等式(求值)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求

解.

训练1(1)(2024・西安模拟)已知函数於"则〃W))=()

C当D.2

fl,xEQ,

(2)19世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”以幻=八「八它

10,X《LRQ,

在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数yu)=f-。(幻，则下列实数不属

于函数7U)值域的是()

A.3B.2

C.lD.0

答案(1)A(2)C

log3.r,.r＞0,

解析(1)函数犬UA

19、xWO,

则娟=1Og3；＜0,

所以46))=4°g3m=9%；=(3腌332v.

(2)由题意可知

fx2—1,x£Q,

2

/(x)=x-£)Cr)=i7-

Lr,X=LRQ.

所以川)=/—I=O,⑥⑵=(啦I，

大小)=(、。)2=3,而/U)=l无解.

热点二函数的性质

I核心归纳

1.函数的奇偶性

(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：

/&)是偶函数=1/(一幻=/3)=/(|川)；

/&)是奇函数U犷-x)=-«r).

(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数X奇函数是偶函数).

2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.

3.函数图象的对称中心或对称轴

(1)若函数./U)满足关系式+x)=,/(/?—X)，则函数y=/(x)的图象关于直线x=^~Y-

对称.

(2)若函数犬幻满足关系式式。+幻+#。一幻=2①则函数y=/u)的图象关于点(。，

3对称.

考向1奇偶性与单调性

例2(多选)(2024•河南名校大联考)已知风外是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在

R上的奇函数，且«¥),g(x)在(-8,0]上单调递减，则()

A../[/(l)]</[/(2)]B/g(l)]勺(以2)]

Cg[/U)]<gLA2)]D.g[g⑴]<g[g(2)]

答案BD

解析因为凡r),g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(一8,

0]上单调递减，所以./U)在[0,+8)上单调递增，式用在[0,+8)上单调递减，即

g(x)在R上单调递减，所以五1)勺(2),但不能判定两个的正负，所以A不正确；

而g(2)vg(l)vg(0)=0,所以y[g(l)]勺32)],gl/u)]〉g伏2)],g[g(l)kg[g(2)],故B,

D正确.综上所述，选BD.

考向2奇偶性、周期性与对称性

例3(多选)(2024・邵阳模拟)已知函数«r)与其导函数g(x)的定义域均为R,且兀丫

—1)和g(2r+l)都是奇函数，且g(())=；,则下列说法正确的有()

A.g(x)关于x=-1对称B：/U)关于(1,())对称

C.g(x)是周期函数D.臬N⑵)=4

答案ACD

解析因为«¥—1)为奇函数，所以人工-1)=一八一工一1),所以/。-1)=/(一工一

1),即g(x—I)=g(—X—1),所以g(x)的图象关于直线X=-1对称.故A正确;

因为ZU-1)为奇函数，则其图象关于(0,0)对称，向左平移一个单位后得到7U)

的图象，则凡目的图象关于(-1,0)对称，故B错误；

因为g(2x+l)为奇函数，

则g(2r+l)=—g(—2x+D，

则有g(x+1)=—g(—x+1),

所以g(x)=—g(—x+2),①

又g(x-l)=g(—x-l),

则g(x)=g(—x—2)t②

由①②得g(—x—2)=-g(—x+2),

则g(x-2)=-g(x+2),

则g(x)=—g(x+4),g(x+4)=-g(x+8),则g(x)=g(x+8),

所以8是函数g(x)的一个周期，g(x)是周期函数，故C正确；

因为g(0)=g,g(x)=-g(-x+2),g(x)=-g(x+4)

所以g(2)=—g(2-2)=_g(0)=一：,

g(4)=-g(0)=—；,g(6)=_g(2)=/

121

所以玄这(2。=(一1-2+3+4—5-6+7+8-9-10+U+12)X1=4,

故D正确，故选ACD.

规律方法i.若fix+a)=一於)(或於+。)=77、「其中yu)wo),则yw的一个

周期为21al.

2.若,《幻的图象关于直线x=a和x=b对称，则人工)的一个周期为2\a-b\.

3.若/U)的图象关于点(“0)和直线x=b对称，则_/U)的一个周期为4\a-b\.

训练2(1)(2024•乌鲁木齐质检)偶函数#x)在区间［0,+8)上单调递增，且川)=0,

则不等式#〃-3)>0的解集为()

A.(-2,-1)B.(—8,-2)U(-1,+OO)

C.(l,2)D.(-oo,1)U(2,+8)

(2)(多选)(2024・茂名模拟)己知函数段)对于VxWR,都有,")=火一幻，,火工+1)为奇

函数，且当工£[0,1)时，/)=♦,则下列结论正确的是()

A.函数火工)的图象关于点(1,0)中心对称

BJCr)是周期为2的函数

c/-i)=o

答案(1)D(2)ACD

解析(1)因为«x)为偶函数，且在[0,+8)上单调递增，所以结合对称性可得«r)

在(一8,0]上单调递减，且八一1)=大1)=0,若42x—3)>0,则2(—3>1或2x—

3<—1,故x>2或x<l,故选D.

(2)由题意1)为奇函数得人一x+1)=—1),

即八-x)+y(x+2)=0,

故/U)的图象关于(1,0)中心对称，故A正确；

由式一X)，|一X)+/U+2)=。得

兀v)=-A2+x),所以<x+2)=-/&),

所以/&+4)=-/(,E+2)=KE),

即是周期为4的函数，故B错误；

由八一1+1)=-/(工+1),

令x=0,则人1)=一八1),因为j(i)=o,

故人-l)=/U)=0，故C正确；

%e[0,1)时，段)=6

因为,/u)的周期为4,对VXWR,都有yu)=y(一工)，

所以彳习二彳一习刁传)：/故D正确.

热点三函数的图象

I核心归纳

1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有

平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换.

2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性、解不等式、求解函数的零点等

问题.

(1,A>0,

例4(1)(2024・运城模拟旧知符号函数sgn(x)=10,x=0,则函数於)=sgn(x>ln(x

I—1,x<0.

+严打）的图象大致为（）

（2）（多选）已知函数於）=|隧对；01‘

若X\<X2<X3<X4，且X.¥l)=兀¥2)=«T3)=

人山），则下列结论正确的是（）

A/I+X2=-4B.X3X4=1

C.1<V4<4D.O<XIX2X3X4^4

答案(1)D(2)AB

解析(l)sgn(x)定义域为R,且为奇函数，

故sgn(—x)=—sgn(x),

故凡。=sgn(x>ln(x+、f+1)的定义域为R,

且fi.-x)=sgn(—x>hi(—x+A(—x)2+i)=—sgnU)-ln(—+1)

(1

=-sgn(A-)4n^x2+1+J

=sgn(x)-ln(^/?+T+x)=/0),

故/U)=sgn(x>ln(x+Mr2+1)为偶函数,排除AB；

当x=l时，yU)=sgMDln(l+&)=ln(l+&)>0,排除C,故选D.

—xr-4AX<()

{Ig,.;。’的图象如图所示,

设./Ui)=y&2)=/(X3)=/M)=/,则0<r<4,则直线y=t与函数y=/&)图象的4个交

点横坐标分别为XI,X2,X3,X4,

对于A,函数y=-f—4x的图象关于直线工=-2对称，则箝+加=-4,故A

正确；

对于B,由图象可知|k)g2X3|=|log2X4|,且0<X3<144,所以一10g2X3=10g2X4,即

10g2(X3X4)=0,所以X3X4=1,故B正确；

由图象可知log44£(0,4),则1<X4<16,故C错误；

由图象可知一4<xi<—2,所以xiX2X3X4=xi(—4—xi)=—X?—4x1=—(xi+2)2+

4G(0,4),故D错误.

规律方法1.确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、

单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.

2.函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律,

求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.

训练3(1)(2024.台州模拟)函数产於)的图象如图①所示，则如图②所示的函数图

象所对应的函数解析式可能为()

C.y=/(4-2x)D.y=-/(4-2x)

(2)(2024.西安质检)已知函数y=/(x)是定义域为R的奇函数，当工£(0,3)0(3,

+8)时，犬一外>贺工)，贝3)=0,则不等式式外>0的解集为.

答案(1)A(2)(—8,-3)U(-3,0)

解析(1)由/U)关于y轴对称得火一x),再向右平移1个单位，得犬一x+1),最

后横坐标伸长2倍得彳-%+1),即得图②所示的函数.

(2)依题意知，＜0)=0,

当x£(0,3)U(3,+8)时，/一力＞纨功,即一兀戏＞织",得兀c)＜0,

由式3)=0,得1-3)=一43)=0,

由此画出7U)的可能图象如图所示，

由图可知，不等式人幻〉0的解集为(-8,-3)U(-3,0).

【精准强化练】

一、单选题

1.(2024•哈尔滨质检)己知函数y=/(x)的定义域是[一2,3],则函数)，=/(2L1)的定

义域是()

A.[—5,51B.一；,2

C.[-2,3JD.I，2

答案B

解析函数y=/U)的定义域是[-2,3],

则一2W2X-1W3,解得一

所以函数y=A2x—1)的定义域是[一；，2.

故选B.

3v+1—1,x2l,

2.(2024•河南适应性考试)已知函数人幻=).,且大⑼=—2,

.—log3z(x+5)x—2,x＜l,

则々〃+6)=()

A.-16B.16

C.26D.27

答案C

解析若〃721,则向")=3〃'一1=-2,

所以3，〃+|=—1,无解；

若m<1,则<〃。=—log3（m+5）—2=—2,

所以log3（m+5）=（）,所以加=—4,

所以火团+6）=<2）=32一|-1=26,故选C.

3.（2024•湛江模拟）已知函数次x）=（2<—/）cosx是偶函数，则实数a=（）

A.lB.-1

C.2D.-2

答案B

解析x）=（2x—舁）cos（—x）=（—02、+劣（：05工，为偶函数，

・・・/（一幻=/"）,则一〃=1,解得°=一1.

4.（2024.晋城模拟）己知定义在（0,+8）上的函数小）满足vx,）e（o,+8）,砧+

y）=/m）+/b，）+W：—守，4］）>0,且人1）贫2）=5,则11）=（）

A.lB.2

C/|D..

答案B

解析令1=），=1,得/⑵=2/（1）+3-2,

即火2）一如）=一宏①

又11）次2）=5,②

联立①②解得式1）=2或<1）=一京

又危）>0,所以人1）=2.

5.（2024・济南质检）若实数m满足k）g2（—〃。<加+1,则m的取值范围为（）

A.（—8,0）B.（0,+°0）

C.（—8,-1）D.（-l,0）

答案D

解析10g2（—l=10g2（一〃?）一机一1<0,因函数y=】Og2（—X）,>=一1在

（―°°,0）上单调递减，则函数y（x）=iog2（一木）一x—1在（一8,0）上单调递减，又

/（—1）=0,则«〃。<0旬（"2）勺（—1）<=>—1<〃2<0.

lg（1+F）

6.（2024.自贡模拟）函数y=E「足丫的图象可能为（）

n

答案D

解析由cosxWO,解得上关E+会ZWZ,

所以函数尸陪的定义域为/户也+3代z],

VxzO人乙

诉以〃、国（1+—X）2）]1g（1+f）〃、

所以…-cosI）-cosx川

所以旷=器井乎"为偶函数，函数的图象关于），轴对称，排除B;

1。（1+o?）

而的尸’二°，排除C；

4f）=lg（；）=21g（l+@>21g2>0,排除A,故选D.

7.（2024・新高考I卷）已知函数7U）的定义域为R,7U）刁5-1）+人工-2）,且当x<3

时，/（X）—x,则下列结论中一定正确的是（）

AJ(10)>100B：A2O)>1000

C/0)<1000D次20)<10000

答案B

解析因为当x<3时，/（x）=x,

所以火1)=1,人2)=2.

对于於)》UT)+yU—2),

令x=3,得/(3)》(2)+/(1)=2+1=3；

令x=4,得火4)次3)+/⑵>3+2=5；

令x=5,得/(5)》(4)+/(3)>5+3=8；

不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项:

3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,…,

显然000,所以420）>1000,故选B.

8.已知定义在R上的函数），=信）满足下列三个条件：

①当一IWXWO时，ev+-；

②y=/&+1)的图象关于y轴对称；

③VxWR,都有«r+2)=/(2—x).

则嫡，娟，居)的大小关系是()

D娘鼎■遥)

答案A

解析因为函数y=/(x+l)的图象关于了轴对称，则犬1+幻=41一工),

故人2一的=41一(工一1))=/u—1+1)=人工)，

/(2+x)=/(1+(x+1))=A1-U+1))=x-X).

又因为V.rWR,都有/"+2)=/(2—x),

所以«r)=/(一幻，即函数/")为偶函数.

所以扃=4+DU)=4T),

周=*+辨义2_()=娟=《一外

因为当一1这xW()时，j(x)=2x—^+占，

/(X)=2—卜+gW2—2寸e七=0,

当且仅当x=0时，等号成立，故/(x)W0,

又了(X)不恒为零，故函数凡丫)在［-1,0］上单调递减.

则

即

题

多选

二、

)

是(

数的

奇函

中是

函数

)下列

模拟

长沙

24・

9.(20

2

i

_A

x

x—

B.y=

e'—e

A.y=

1+x

j_

log2

D.y=

an2x

C.y=t

ACD

答案

(眇

)=一

/(—x

称，且

点对

于原

R,关

义域为

的定

—er

)=ei

，=/(九

A,)

对于

解析

x

；

题意

满足

故A

f(x),

)=—

—e

；

题意

满足

B不

,故

=-2

—1)

W,/(

l)=0

则y(

f,

丁一

«©=

丁=

B,若

对于

l

7Tkl

，

对称

原点