2026高一数学（初升高）提升讲义：对数函数

第20讲：对数函数

【知识梳理】

知识点一对数函数的概念

一般地，函数y=lOgaH〃＞()，且存1)叫做对数函数，其中A■是自变量，函数的定义域是(()，+8).

知识点二对数函数的图象和性质

对数函数)=10gd(。＞(),且存1)的图象和性质如下表:

y=log«r(r7>(),且W1)

底数a>\0<a<1

P'：y=log^(a>l)

图象\jP，o)一

°

：y=log^

1j(O<a<l)

定义域(0,4-oo)

值域R

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

共点性图象过定点(1,0),即x=l时，，y=0

x€(O,l)时，>'G(—oo,0)；▲W(0』)时，y€(0,+co)；

函数值特点

xE[i,+co)时，y€|_0,+oo)J€[1,+oo)时,yG(—co,0]

函数y=logd与y=log］工的图象关于x轴对称

对称性

u

知识点三不同底的对数函数图象的相对位置

一般地，对于底数公＞1的对数函数，在区间(1，+口)内，底数越大越靠近X轴；

对于底数0VCK1的对数函数，在区间(1,+8)内，底数越小越靠近x轴.

知识点四反函数的概念

一般地，指数函数)="修＞0,且存1)与对数函数)=1咱必＞0,且存1)互为反函数.

(l)y=出的定义域R就是y=log涵的值域；而y=ax的值域(0,+8)就是)，=log«x的定义域.

⑵互为反函数的两个函数且存1)与＞=logd(a＞0,且存1)的图象关于直线)对称.

(3)互为反函数的两个函数)，=〃(〃＞(),且存1)与)，=logd(a＞(),且办1)的单调性相同.但单调区间不

一定相同.

1

【例题详解】

题型一、对数函数的概念及应用

1.（25-26高一上•全国•课前预习）函数/（外=（/-"1）1/⑶产是对数函数，则实数。二（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】需要满足对数函数的系数为1，同时对数函数的底数要满足大于。且不等于1,其数大于。等

条件，然后据此逐步求出。的值.

【详解】由/一a+l=l解得。=|或0=（）,又4+1>0,且4+1*1,所以。=1

故选:B.

2.（25-26高一上•全国•课后作业）已知函数），=log〃（4-X）（〃>0,且-1）的图象过点（0,2）,则函数

的解析式为.

【答案】y=log2（4-x）

【分析】把已知点坐标代入解析式，可求出。=2,即可求解.

【详解】由题可得bg“（4-0）=2,即/=4,

因为。>0,且々工1,所以6=2,

故函数解析式为丁=1。氏（4-X）.

故答案为:y=Iog2（4-x）.

3.（25-26高一上•全国•周测）（1）若函数户1股27）是对数函数，求实数」的取值范围;

（2）如果对数式1唱-），+6工+5）有意义，求实数x的取值范围.

【答案】（1）{4。>一3且"0};（2）{xl或-7vxv~6或-6<x<-5}

【分析】（1）根据对数函数的定义列出关于。的不等式组，即可求解；

（2）根据对数函数的定义及定义域列出关于工的不等式组，即可求解.

【详解】（1）因为是对数函数，所以I；»，：，解得且"0,

2〃+1w12

即实数。的取值范围是同〃>且"0}.

x24-6x+5>0

（2）要使对数式有意义，则<x+7>。,解得x>-l或-7<xv-6或Yvxv-5,

x+7wl

故实数x的取值范围是{Rx>T或-7Vx<_6或_6<x<-5}.

2

题型二、与对数函数有关的定义域

/、Inv

4.⑵-26高二下•北京通州・期末）函数〃、）=目的定义域是

【答案】（0，笆）

【分析】根据对数函数的定义域及根式有意义列式得出定义域即可.

InV

【详解】函数人工）=-^有意义得出x＞0且Q-1,所以x＞0

x/-r+l

函数/（'）=拌的定义域是（0,也）.

故答案为：（。,包）.

2'

5.（25・26高二下•江西赣州•期末）函数J（2x-8）°-log|（x-3）的定义域为

【答案】仁川（4收）

2x—8wO

【分析】根据题意得x-3>0解出即可.

(2x-8)°-log1(x-3)>0

2x-8工0XH4

【详解】由题意有x-3>0=>x>3=>-<x<4n£x>4,

)7

(2x-8°-log](x-3)>0x>-

2

3,4)U(4，+8),

所以xw

故答案为：加U（4收）.

14-r

6.（25-26高一上•全国・周测）已知/（x）=log2；

i-x

⑴求/*）的定义域;

⑵判断了⑴的奇偶性.

【答案】⑴（TD;

（2）奇函数.

【分析】（1）根据对数的真数大于0列不等式可得解;

（2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据函数奇偶性的定义计算判断即可.

【详解】⑴由题意,小）=噫岩,则净。,即甘＜。,gg）＜。,解得一皿＜1,

3

故/（力的定义域为

（2）由（1）可知,f（x）的定义域关于原点对称.

又f（-x）=log2=-log2F=-f（x）,

\+x\-x

・.・函数/（x）是奇函数.

题型三、对数函数的图象问题

7.（2025高二下•湖南郴州•学业考试）函数），=logjx|的图象大致是（）

【分析】先求得函数/'（1）为偶函数，图象关于旷轴对称，当“,。时，/（”=1。皂上结合对数函数的性

质，结合选项，即可求解.

【详解】由函数"x）=i°g；N,可得函数/（"的定义域为（Y，（））u（（）,y）,

又由〃-力=噢|—|=%|#/3,所以函数人月为偶函数，图象关于y轴对称，

当x＞0时,/（1=1叫"由对数函数的性质得/（%）在（0,+oo）单调递减,且/⑴=o,

所以选项D符合题意.

故选：D.

8.（25-26高二上•贵州六盘水•期末）如图，①②③④不可能是函数＞或）=噬小（其中。＞0且。工1）

的部分图象的是（）

4

C.③D.④

【分析】分析指数函数和对数函数的特征，得到答案.

【详解】指数函数），=，'（其中〃>0且。工1）恒过点（0,1）,且与X轴无交点,

当。>1时，单调递增，当。<4<1时，单调递减;

对数函数y=iog“x（其中。>0且。工1）恒过点（1,0）,与y轴无交点,

当4>1时，单调递增，当0<〃<1时，单调递减;

可以看出②过点（。，1），与大轴有交点，不合要求，其他均满足要求.

故选：B

9.（2025・湖南长沙•一模）已知1即+lgb=0（a>0,〃>0,且"14工1）,则函数/（力=「'与g(x)=log/的

【分析】依题意可得,=/，，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论.

【详解】由3+3=0可知，-=b

at

故/（M=ax=b\故函数/（x）=Q与函数g⑺=log/的单调性相同,

故选：B.

5

题型四：对数函数的复合单调性问题

10.（2025高一上•全国・专题练习）（多选）关于函数），=1。氏（丁-21+3）,下列选项中正确的有（）

A.定义域为（e,-3）U（l，y）B.增区间为口,”）

C.最小值为1D.图象恒在x轴上方

【答案】BCD

【分析】本题已知函数y=log2（』-2x+3）,得到它的定义域、单调区间、最值和图象性质.

【详解】由题，令/一2工+3>0,解得xeR,故A错误；函数f=/-2x+3在工W1，位）上单调递增，），=1叫/

在小口例）单调递增，所以函数尸1吗12-2工+3）的增区间是［1,芹）,故B正确；由选项B的分析可得，

当x=l时，函数取到最小值，）嬴=1鸣（12-2乂1+3）=1,故C正确；因为％加=1,所以C0恒成立，即函

数图象恒在x轴上方.故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

11.（25-26高一下•上海金山•阶段练习）函数〃司=欣+瓜（4-刈的单调增区间为.

【答案】（。，2］

【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解.

【详解】令4T>0且x>0,解得0</<4,可知函数的定义域为（0,4）,

2

因为/（X）=Inx+In（4-x）=ln（+4x）,且"=-x+4x在（。,2］内单调递增，在为4）内单调递减,y=In”在

定义域内单调递增，

根据复合函数单调性知，函数在（0,2］内单调递增，在（2.4）内单调递减，所以函数的单调递增区间为

（0,2］.

故答案为：（0,2］

12.（25-26高三下•四川雅安•开学考试）函数/（刈=（1"）2-21次的单调递增区间是.

【答案】殴词（或（10,+砌

【分析】根据对数函数，二次函数的单调性结合复合函数的单调性同增异减原则即得.

【详解】函数解力的定义域为（。,内）,

令/=lgx在定义域上为增函数，则=在［1,+00）上单调递增，

6

由复合函数单调性的同增异减原则可得，当即X210时，函数〃工)单调递增,

即函数/(可单调递增区间为[10,也).

故答案为：[10，w)(或(10,招>))

题型五：由对数函数的单调性求参数

13.(2025•山东泰安・模拟预测)已知函数/。)=也(丁-办-5)在(5,+。)上单调递增，贝1"的取值范围是

()

A.(-8,4)B.(7,4]

C.(4,+8)D.[4,y)

【答案】B

【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可

得。的取值范围.

【详解】由函数/(x)=Ig(x2-«x-5)在(5,+00)上单调递增，

可得"(x)=/_"_5在(5,+8)上单调递增,

£<5

且心)>0在(5,18)上恒.成立，故需满足｛2,解得&W4.

«(5)=25-5«-5>0

故选：B.

14.(25・26高一上•全国•周测)已知函数/(x)=log21+l),若/(>+2)>/(而)，则实数〃?的取值范围

是.

【答案】或-

【分析】由对数型复合函数的单调性构造不等式求解即可.

【详解】因为函数/(")=log式X+D的定义域且单调递增，

若/(加+2)>/(3,叽

人。2+2>3〃/

解得"】>2或-:<〃?<1.

7

故答案为：]"山〃>2或

15.（25・26高二下•江西•期末）已知函数八）=1«”-21.

（1）证明：〃可是奇函数;

⑵若/（工）在区间（4。+2）上单调递减，求。的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

（2）（^c,-3]|Jl,+oo）

【分析】（1）首先判断了（X）的定义域关于原点对称，然后再证明〃T）=-/（X）；

（2）由），=1+2、），=lnx的单调性判断复合函数的单调性，（a,〃+2）为函数单调减区间的子集,

X-I

列不等式求解即可.

【详解】（1）证明：由题得〃％）=ln["-2]=lnW，

故二〉。，则/⑺的定义域为（…,-1）=（1,母），关于原点对称，

X—1

又因为/（-x）=ln±?=ln七|=-ln=•=_/"）,

—x—1X+1x—1

所以/（X）是奇函数.

（2）因为/（x）=lnW=ln（l+2）,

x-1\X-I）

9

当时，y=\+—；•单调递减，且y=lnx在定义域上为增函数，

X—1

故/（X）在区间（l,y）上单调递减，

同理大得/（X）在区间（­，-1）上单调递减.

因为/（X）在区间（4M+2）上单调递减，

所以a+2<—1或解得3或421,

所以”的取值范围是

题型六：由对数函数的单调性解不等式

16.（25-26高二下•海南海口•期末）已知k）g“q<g,则实数。的取值范围为（）

A.卜,加（1,+8）B.卜8「加6，+二

8

【答案】A

【分析】根据对数函数单调件进行判断.

【详解】

0＜«＜1

5②卜当一0“总

.2

所以实数a的取值范围为（。］卜（1，+8）.

故选：A

17.（25-26高二下.安徽马鞍山.期末）已知/＜］,且1。心夫1，则实数。的取值范围足

【答案】［o,£

【分析】分别分析两个不等式/＜］和log.；＜l,再取它们的交集.

【详解】分析/＜1，

即G＜1,根号下的数需非负：心0,

两边平方：。＜1,

结合对数函数的底数要求得：OvavL

分析SgJ＜1，

当。＞1时，对数函数单调递增，比时log”；＜1可转化为log」＜log",

因为函数递增，真数的大小关系与对数的大小关系一致，即：

结合前提此情况的解为：〃＞1;

当Ovavl时，函数单调递减，此时，可转化为log“；＜log"，

因为函数单调递减，真数关系与对数关系相反，即：

结合前提（）＜〃＜1，此情况的解为：0＜«＜i;

综合以上信息可知当（）＜〃＜；时，同时满足两个不等式.

故答案为：

18.（25-26高一上•全国•课前预习）已知嘀）?2工＜10go7（刀-1），则x的取值范围为

【答案】（1，+8）

【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可.

9

【详解】函数y=log。#在（。,+8）上为减函数,

lx>0,

・•・由log072x<log（）7（x-l）得解得X>1,

2x>x-\,

即X的取值范围是（I，+8）.

故答案为：（1，+“）

题型七、比较大小

19.（2025・北京•三模）己知。=1唱==则下面结论正确的是（）

212,

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得即可得解.

【详解】根据题意，«=log21.5>log2V2=1=/?,

所以cy/?<〃.

故选：C

20.（25-26高一下•云南・期末）已知函数”X）=阿，若。=/（；）,2=/（；｝c=〃3）,则“，力，c的

大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【分析】先利用对数的运算法则，把。也。分别转化为In4,ln2/n3,再利用函数f（x）=皿.•的单调性比较

大小.

【详解】因为a=f（；）=1n4,b=f；=]n为c=/（3）=ln3,

且/（x）=hu在（l,+oo）单调递增，

所以ln2vln3vln4,即b<c<a.

故选：D

io

7

21.（25-26高二下•江西•期末）已知a=}/=logu5,c=log63,则（）

A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】结合对数函数单调性得到3a=2,3b>2,3c<2,从而比较出大小.

【详解】因为%=2,3b=31ogu5=log,,125>2,3c=31og63=log627<2,所以cva<8.

故选：A

题型八、对数函数的最值问题

22.（25-26高一上•全国.课后作业）函数/W=-log-（2”在区间［2,4］内的最大值为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】先求的定义域，再判断/（力在区间［2,4］上的单调性即可求最大值.

【详解】由已知可得log”（2x）41,解得““.25,/（可定义域为［0.25,+8）,

又尸log05（2x）在［0.25,+8）上单调递减，则y=l-log05（2x）在［0.25,钙）上单调递增，

所以函数在［。25,笆）上单调递增，即函数“力在区间口4］内单调递增，

所以/（"在区间［2,4］内的最大值为〃4）=2.

故选；B.

23.（2025高三・全国•专题练习）函数）'=喔］（8+2尸巧的最小值为.

3

【答案】-2.

【分析】设“=8+2x4,利用）log/在（0,+8）上的单调性来求解.

【详解】设〃=8+2%一/=_"_］）2+9《9,当x=l时取等号.

0<w<9.

又...>'=嗔〃在（0”）上为减函数，y=嗔〃之嘴9=-2,

"=1叫（8+2—）的最小值为-2.

3

故答案为：-2.

24.（2024.全国.模拟预测）已知函数/（力=1呜卜2-火+1）在区间（；,2）上有最大值或最小值，则实数。

的取值范围为（）

11

A.加B.（；,1）U（L2）C.（L，4）D.（｝1）U（1,2）

【答案】B

【分析】根据丁=f一如+i开口向上，故需），=f_戊+］在区间&,2）上有最小值，且），>0,从而得到不

等式，求出答案.

【详解】要使函数“X）在区间（：2）上有最大值或最小值，

由于y=f-av+l开口向上，

故需函数"-"+1在区间（；,2）上有最小值，且），>0.

«>0

a工1

该函数图像的对称轴为直线工=会所以《<卜2,

z\2

a,八

-a-a•—+1>0

lU；2

a>0

<7*1

解得七<〃<4,

-2<a<2

所以;<"2,且〃工1,即实数。的取值范围为61）U（I，2）.

故选：B.

题型九、对数函数的应用

25.（2025高三•全国•专题练习）若log〃S+l）<log.2a<0,则。的不可能取值是（）

234

A.2B.-C.-D.-

345

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性得出不等式组，解之可得.

【详解】依题意。>0且awl,/+1-2a=（〃-1）2>0,所以"+1>2〃，

0<a<\

由于Sg“（a"）<log02a<。，所以〃+解得

所以A选项符合，BCD选项不符合.

故选：A

12

26.(25-26高二下•河南新乡・期末)若lnx+尸>i”+婷,则()

A.e'2>ev>1B.铲>/>1C.e?>l>e^1D.|>e?>ev

【答案】A

【分析】令函数f(x)=lnx-/,则/(">/()，)，根据函数"%)的单调性,结合不等式的性质以及指

数函数的单调性即可得到结论.

【详解】因为lnx+yT>］ny+x-2,所以Ex>Iny-y”,

令函数/")=1g-£2=］1_』，则〃力>〃),).

X

因为y=Inx,>，=-」在(0,也)上都是增函数

X

所以/(“是定义在(0,+8)上的增函数，

所以X>)，>。，即X2>xy>0,

从而e,2>exv>1.

故选:A.

27.(25-26高二下•北京平谷•期末)己知函数/(”=1门，若%二«。，内)且若<巧，则以下箱送的是

()

A./(5)</&)B.f(xix2)=f(xi)+f(x2)

C.("⑷D./(玉+看)>/(玉)+/(*2)］

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性判断A；根据对数的运算法则可判断B；直接代入函数解析式判断是

否相等即可判断C；由玉+毛>C及对数函数的单调性可判断D.

【详解】对A,因为/(x)=lnx在［0,田)上单调递增，所以对片,占6(。，*°)且司<占，均有/(%)</(%)

成立，A正确；

B,/(^)=lnx,x2=lnx1H-Inx,=/(x,)+/(x2),B正确；

对C,/［空)=ln詈/C错误；

对D,因为对VXi，X2e(0,y)且不<%2,司+9>2喜不>历工，

所以/(X+x2)=ln(x1+x2)>ln=；［/(5)+/日)］，D正确.

故选：C

13

题型十、对数函数综合问题

28.（23-24高二下.浙江绍兴.阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年,

该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为加，经检测现在的存量蓝,

据此推测该生物距今约为（）（参考数据：喳2。0.3,而）

A.2700年B.3100年

C.3500年D.3900年

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质即可求解.

【详解】由题意得］=〃破）品，

丽加阳.cr/।,15（X）lg5!5（X）（l-lg2）15（X）

两边取对数得-怆5=忘（-电2）=＞t=72=--近一=声-1500。3300.

故选：C

29.（23-24高三上.四川.阶段练习）函数/a）「n（V+'V的图象大致为（）

2x2+1

【答案】A

【分析】研究函数的奇偶性及当》＞0时，函数值的符号即可判断.

【详解】由题意知/“）的定义域为（f，”），

又f（T）=」____________-=------------L=-f（x）f所以/（x）为奇函数，故排除C项，D项.

2（-x）2+l2x2+l

又当x＞0时，ln（x+V?TT）＞0,i?+i＞o,所以/（X）＞。.故排除B项.

故选：A.

30.（25-26高一下•上海•阶段练习）已知函数y=/（x）=loga（l+x）-1呜（1-6（。＞0且为1）.

14

⑴讨论的奇偶性与单调性；

⑵若不等式|/(刈<2的解集为卜一；<X<外，求4的值.

>乙乙>

【答案】(1)/("是奇函数；单调性见解析

⑵a=力或4=g

【分析】(1)先求得复合型对数函数的定义域，再运用奇偶性的定义判断的奇偶性；利用复合

函数的单调性判断“X)的单调性，从而得解：

(2)利用(1)中结论，分类讨论并转化1/(幻1<2的等价条件，从而得解.

【详解】(1)对于y=f(x)=log,(l+x)-log”。-%),

有解得-1VXV1，故/⑴的定义域为(TJ)，

l-x>0

又/(-x)=log”(1-X)-log”(I+x)

=-[loga(l+")-loga(lT)]=-/(x)，故/(X)是奇函数；

因为fM=log,(l+x)-log,(1-A-)=logw=10gJ-l--J],

I-x\x—1y

2

易得y=T-，7在(TI)上单调递增，

x-l

所以当a>l时,所©在(Tl)上单调递增,

当0<”1时，f(x)在(-U)上单调递减；

(2)由(1)知，当。>1时，在卜器)上单调递增，且为奇函数，

1+1

则|/(刈<2等价于/(g)=2,即1%—1=2,

1-2

则1。乩3=2,得a=G；

当0<”1时，/8)在卜器)上单调递减，且为奇函数，

1」

贝山⑸<2等价于/(一?=2,即log,避=2,

2

在

则log“§=2,得4-3

比

综上，a=G或a-3

15

【专项训I练】

一、单选题

1.(25-26高二下•湖南长沙.期中)在区间(。.+”)为增函数的是()

A./'(x)=-xB.f(x)=-C./(x)=lgxD.=

X12,

【答案】c

【分析】根据常见函数的单调性，直接得出答案.

【详解】f(X)--X在区间(0，+8)为减函数；

/(A-)=1在区间(0,4-00)为减函数；

X

/(x)=lgx在区间(0,+8)为增函数；

/(X)=|iY在区间(0,+8)为减函数.

12，

故选：C.

【分析】根据题意，由函数+展)的奇偶性排除两个选项，再利用x=2时函数值为正即可

判断.

【详解】因/(%)=lng,由二>0可得-1)51，”)，显然关于原点对称，

X-1X-1

Y41

且/(r)=T卓=-/(力,所以〃力是奇函数，故C,D错误;

X—1

又因为/(2)=ln3>0.故可排除B项，A项符合要求.

16

故选：A.

3.(25-26高一下•广东深圳•期末)若函数/(用=1嗝62-5)在区间(1,2)上单调递增，则〃的取值范围

是()

A.(y/lB.(F,2]C.(。，1]D.(0,21

【答案】A

【分析】首先根据对数函数的单调性确定函数g(x)=W-ar的单调区间，结合对数函数的定义域可求

出答案.

【详解】因为函数〃力=log2(f-⑪)在区间(1,2)上单调递增，

所以g(x)=Y-依在区间(1,2)上单调递增，且g(x)>0在区间(1,2)上恒成立.

所以2一，解得

卜。)二13。

故选：A.

4.(25-26高三上•福建福州•阶段冻习)已知a=lnO.9,A=0,c=为，则()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<hD.c<b<a

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用对数函数、事函数性质比较大小.

【详解】依题意，«=ln0.9<lnl=0,b=V=(25)*®=32*®>25*®=(52)1®=55=c>0»

所以a<c<h.

故选：A

5.(25-26高二下•江西•期末)若。=1**3,则/()

A.(0,0.5)B.(0.5,1)C.(1,2)D.(2收)

【答案】D

【分析】利用中间值比较法，结合对数函数单调性即可得出.

【详解】因函数y=logoE在(。.田)上是减函数，故。=1*6。3>1。80,6。・36=2.

故选：D.

6.(25-26高一上•安徽铜陵•期末)已知啕2M<log。/<0,则()

A.\<N<MB.1<M<NC.0vN<M<lD.()<M<N<1

【答案】A

【分析】根据对数函数单调性比较出大小，求出答案.

17

【详解】丁=bgo.2X在(。，+8)上单调递增，又bgo2M<1呜),2N<0=log(>21,

故

故选：A

7.(2024•甘肃张掖•一模)已知命题p：Dxw(0,9),log3Kv2；命题q：are(0,4),d〈五.则()

A.P和“都是真命题B.P和F都是真命题

C.r7和夕都是真命题D.f和F都是真命题

【答案】A

【分析】根据对数函数的单调性判断命题P，再根据xw(0，D时，△判断乡即可选择.

【详解】因为对数函数y=iog/在(0,+8)上单调递增，

所以当xe(0.9)时，log5x<Iog39=2,故命题〃是真命题；

由指数函数的性质可知/<一,所以当xe(0』)时，/<£=«，

所以玉€(0,4),f.故命题47是真命题.

故选:A.

8.(2026高三・全国・专题练习)已知函数/("=⑸""则/(x)K?的解集为()

log4(x+l),-l<x<1,

A.(~oo,0]B.(-1,0]C.(-l,0]u[l,+^)D.[1,+^)

【答案】C

【分析】作出函数y=/(力与)的图象，利用数形结合即可求解.

【详解】作出函数y=/(6与的图象，如图，

由图象可知，当xNi时，(gjwgx恒成立，则/(x)sgx的解集为工«1,+8)；

当-1vxvl时、log4(x+i)<^x,

图象的交点坐标为(0,0)、(K),结合图象知，的解集为x«-L0].

18

所以不等式小)去的解集为(-1,()]31,笆).

故选：C.

+4—2ax<1

9.(25・26高一上•河北石家庄•阶段练习)已知函数"x)=1i+Hog；xNi，若/("的值域为(―位)，

则实数。的范围是()

A.2B.(3,2]C.(f,2)D.(0,2]

【答案】D

【分析】分析可知，函数/(x)=l+alog2X在[L”)上的值域包含[5-2々,+8),可知函数/⑴=l+alog2”在

[1,y)上单调递增，结合题意可得出关于实数〃的不等式组，解之即可.

【详解】当XV1时，f(x)=x+4-2a<5-2a9即函数/(x)在(田,1)上的值域为(f5-2可，

由题意可知，函数/(力=1+。1幅X在[1，+°°)上的值域包含[5-%,+8),

即函数/(力=1+。1。&1在口，内)上单调递增，所以，。>0,

且〃4加=〃1)=K5-2%解得三2,

因此，实数〃的取值范围是(。，2].

故选：D.

10.(23-24高三上.福建莆田.阶段练习)若函数〃%)=(1-4刖主?为偶函数，则”()

XI1

A.-iB.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根据函数是偶函数，则〃-3)=/(3),解出后验证即可.

【详解】因为.f(x)=(x-a)lnU为偶函数，

/(-3)=(-3-a)In2,/⑶=(3-a)In1,

则有(-3-〃)ln2=(3-a)ln；,

解得〃=0,

经验证4=0时，符合条件，

故选：B.

11.(2025高二下・浙江•学业考试)对于函数)，=1。&(17)+1叫(1+6，下列说法正确的是()

19

A.是偶函数，且在x«TO）上单调递增

B.是偶函数，且在上单调递减

C.是奇函数，且在上单调递增

D.是奇函数，且在xw（l,3）上单调递减

【答案】A

【分析】由奇偶函数定义结合复合函数单调性可得答案.

【详解】因），=1。8（1-耳+1。&（1+工），则『'>：=]«-1，1），即定义域关于原点对称,

i•人XZ

又令/（A）=10gs（1-X）+lOgs（1+X）,则f（-1）=logs（1+X）+10g5（1-X）为偶函数.

又/(x)=1%(1-X)+1%(1+x)=(I-丁),

当X«TO),1-r€(0,1),

）=lugs人在（0,1）上单调递增，又J=17’在（T，。）上单调递增，则/（X）在（-1，。）上单调递增.

故选：A

12.（23-24高二下.广东广州•阶段练习）己知函数十）=足”，则/⑶同+/0+…+/（1）=（

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】根据题意，求得〃》）+/（2-力-2,即可求得目标式的结果.

2-1）=11|1]]=12,

【详解】小）=仙号，则/（小〃染—必⑹花=/⑴=1:

乙XZXX

=2x4+1=9.

故选：D.

二、多选题

13.（25-26高二下•山东烟台•期末）下列不等关系成立的有（）

73

A.3°->0.7B.1g3<In0.9C.log34>log56D.0.4"3Vo.3g

【答案】AC

【分析】根据累函数、指数函数和对数函数性质逐一分析判断即可

20

【详解】对于A,因为307>3。=1,OT<0.7。=1,所以3。7>0.7、故A正确;

对于B,因为收3>lgl=0,ln0.9vlnl=0,所以下3>天0.9,故B错误：

46,、46

对于C,因为log34Togs6=log3§Togsg，又1唱工>】唱了(%>1卜§>不

所以Iog34>logs6,故C正确;

对于D,因为0.4。J>O.40-4>O.304,所以O.403>0.3。*,故D错误.

故选：AC

14.(25-26高一下•海南海口・期末)已知函数〃x)=ln惠，则下列说法正确的是()

A.函数“X)的定义域为(-3,3)

B.函数/(%)是奇函数

C.函数/(x)是增函数

D.若%)+/伽一1)<0,则*<2

【答案】ABD

【分析】对于A求浮>0即可判断，对于B根据函数的奇偶性即可判断，对于C利用复合函数的单

调性即可判断，对于D利用奇偶性和单调性即可求解.

【详解】对于A：由受>On(3-x)(3+x)>On-3<x<3,所以“力的定义域为(-3,3),故A正确；

对于B：由A得"力的定义域为(T3),又/(T)=ln誓=-加甘=-/(%),所以〃力是奇函数，故

3—x3+x

B正确；

对于C令所以'=M=7+由"W在㈠⑶上单调递减，kMi在(0,+8)单调递增'

根据复合函数单调性得/(x)在(T3)是减函数，故C错误；

对于D：由于力是奇函数且/⑺在(T3)是减函数，由/(a)+〃2a-l)<0得/⑷〈-/伽-1)=/(1-初,

r1

a>一

a>\-2a31

所以一3<a<3=-3<a<3=>-<a<2故D正确.

3t

-3<[-2a<3-\<a<2

故选：ABD.

15.(25-26高一下广西桂林・开学考试)如图，这是函数)，=|1%可和)，=|1砥不的大致图象，其中。<〃<)<1，

图象中在点(LO)处形成了4条曲线，从左至右分别记为4,则()

21

A.4,4是函数），=配"乂的图象B.A，4是函数1y=|log,M的图象

c.一，A是函数y=|10gz，乂的图象D.4,4是函数/=|晦1的图象

【答案】BC

【分析】），二腕,4|中，令y=i,解得x或x=T，同理y=|iog/，X中，令y=i,解得i或if故

再图象中，画出），=1,确定AM是函数y=|log〃乂的图象，4,4是函数丁=配61的

图象.

【详解】y=|iog“x|中，令y=i,则腕润=1,

0<a<\,若0<%<1,则log/〉。，bg“x=l,解得x=〃，

若X>1,则1呜工<。，10g“X=-l,解得A},

同理），=|10gbM中，令y=i，则|嗨乂=1,

0<b<l,若0<x<l,则log〃x>0,log〃x=l,解得x=b,

若x>l,则log^xv。，logAx=-l,解得x=；,

b

因为所以0<L<,，

ba

作出直线），=1,如下：

显然，A4是函数y=|log“X的图象，A?,4是函数y=|log/,乂的图象

故选；BC

16.（2025•河北保定•二模）若函数/（x）=lg%lg（2/）,则（）

A./（x）为减函数B.f（x）=1ox=5

C./*）的值域为RD.4r）<2ox<50

22

【答案】BC

【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式,即可判断选项A.C：根据对数函数的性质解

方程与对数不等式，即可判断选项B,D.

【详解】因为/3=怆9怆（2/）=怆（：2/）=怆（2工）=怆2+怆卬x>0,

所以为增函数，“幻的值域为R,故选项A错误，选项C正确；

“v）=lolg（2x）=lo2x=IOox=5,故选项B正确;

/Cv）<2olg（2x）<2o0<2K<100u>0<x<50,故选项D错误.

故选：BC.

三、填空题

17.（2023高一上•全国•专题练习）如图是对数函数y=logj,的图象，己知。的值取石，!，

J3O

则相应于G，C2（3，G的a的值依次是.

【答案】75,I，I

3Jo

【分析】

当底数大于1，当时底数大的图低（第一象限内），底数大于0小于1,当X>1时底数大的图低（第

四象限内）；或者由y=1og〃x=i,得x=〃（即交点的横坐标等于底数），比较即可.

【详解】

方法一：CC的底数都大于1,当、>1时底数大的图低（第一象限内），所以C，g对应的。值分别为万，

5

鼠

G，G的底数都大于0小于1,当x>i时底数大的图低（第四象限内），所以G，a对应的。值分别为:

1

8,

综合以上分析，可得CCCC对应的。值依次为石，I，

3Jo

方法二：如图，作直线>=1与四条曲线交于四点，