苏科版九年级数学上册第二章《一元二次方程》每节课（基础达标）汇编（含四套题）

2.1一元二次方程

基础达标题

题型——元二次方程的定义

i.下列各式中，属于一元二次方程的是（）

A.2+x<4B.=l-2xC.3x2+l=D.5x-2y=1

【答案】C

【详解】解：A.2+工44是不笔式，不是方程，故A不符合要求.

B.三=1-2%分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求.

X

C.3/+1=4%整理后为3/-轨+1=0,未知数最高次数为2,是一元二次方程，故C符合要求.

D.5x-2y=l含有两个未知数，是二元一次方程，故D不符合要求.

2.有以下两个方程：甲：7=1,乙：x2-y=0,其中（）

A.甲是一元二次方程B.乙是一元二次方程

C.甲和乙均是一元二次方程D.甲和乙均不是一元二次方程

【答案】A

【详解】解：•.•方程甲无2=1只含1个未知数%,未知数最高次数为2,且是整式方程，

二甲是一元二次方程：

•.,方程乙%2-y=0含有％,y两个未知数，

・••乙不是一元二次方程：

3.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A./_：=2B.ax2+bx+c=0

C.x（x4-2）=1D.x2（x-l）=0

【答案】C

【详解】解：A、选项中二是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故不符合题意；

X

B、选项中未说明QW0,当Q=0时方程变为一元一次方程，故不符合题意；

C、选项整理得/+2%-1=0,满足只含一个未知数，未知数最高次数为2,且是整式方程，一定是一元

二次方程，符合题意；

D、选项整理得炉―X2=o,未知数最高次数为3,是一元三次方程，不是一元二次方程，故不符合题意.

4.下列方程中，一元二次方程的个数有()

(1)2x2—3=0；(2)x2+y2=5；(3)x2-5x=0：(4)x2+^=2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】解：(1)对于2/一3=0,

•••只含有1个未知数x，木知数最高次数为2,且是整式方程，

二是一元二次方程；

(2)对于t2+y2=5,

•••含有x和y两个未知数，

•••不是一元二次方程；

(3)对于％2—5%=0,

•••只含有1个未知数%,未知数最高次数为2,且是整式方程，

是一元二次方程；

⑷对f=2,

•••分母含有未知数X，不是整式方程，

•••不是一元二次方程.

综上，一元二次方程共有2个.

题型二由一元二次方程的定义求参数的值

1.若方程(。-1)/+2%+1=0是关于我的-—元二次方程，则〃的取值范围是—

【答案】

【详解】解：根据题意得：Q—1H0,

解得：QH1,

故答案为：QH1.

2.已知关于%的方程化+1次伙1+】一3%+1=0是一元二次方程，则k的值为

【答案】1

【详解】解：•.・方程(k+1)%冈+1-3%+1=0是一元二次方程，

•••阳+1=2,且k+100,

解得k=1.

3.关于x的方程(加-2)X力一2十。-7n)尤一2=。足一元二次方程，则，〃的值为

【答案】-2

【详解】解：由一元二次方程的定义得血2-2=2,血一2W0

解比2-2=2得m2=4,

即加=±2,

解仇一200得mH2,

因此租的值为一2.

4.已知(77；—1)%/+1+2加工一1二。是关于x的一元二次方程，则机的值为

【答案】-1

(详解】解：•••方程(m-1次/+1+-1=0是关于％的一元二次方程；

.m2+1=2

“f根-1H0

解机2+1=2得m2=1,即巾=±1；

由n—1H0得mH1.

•••ni=—1.

题型三一元二次方程的一般形式

1.将一元二次方程/-3(%+5)=2(3%-2)化为一般形式是()

A.x2—3%+5=6%—4B.X2—9x-11=0

C.x2-9x+11=0D.x2-9x4-9=0

【答案】B

【详解】解：•.•原方程为xz-3(x+5)=2(3x-2),

先去括号，可得x2—3%—15=6x—4,

将所有项移到等号左侧，移项变号得X2-3X-15-6X+4=0,

合并同类项得x2-9x-ll=0.

2.把一元一次力程2%(%-1)=5化成一•般式，则a,b,c的值分别是()

A.-2,2,5B.2,-2,-5C.1,4,-5D.-2,-2,-5

【答案】B

【详解】解：原方程为2%(x-l)=5,

展开左边得2/-2x=5,

移项整理为一般式得2/一2%-5=0,

•••a=2>b=-2,c=-5.

3.将一元二次方程%(%+2)=1化为一般式为.

［答案】x24-2x-1=0

【详解】解：x(x+2)=1,

x24-2x=1,

移顶，得

X24-2x-1=0.

4.将一元二次方程/=4(%-1)+2化成一般形式后，一次项系数为一.

【答案】-4

【详解】解：%2=4(%-1)+2,

%2=4X-4+2,

x2-4x+2=0；

故一次项系数为-4.

题型四一元二次方程的解

1.关于x的一元二次方程(a-1)-1=0的一个根是0,则a的值为()

A.1B.-1C.1或-1D.-

2

【答案】B

【解答】解：根据题意得:一・1=0且1和，

解得：a=-\.

故选：B.

2.若关于x的一元二次方程(k-I)/+3K+F-1=0的一个根为0,则k的值为()

A.0B.1C.-1D.1或-1

【答案】C

【解答】解：•.♦方程(.k-I)Y+3x+F・l=0为一元二次方程，

4-1翔，

,•上1.

将x=0代入a-1)/+3x+后-1=0,得：1c-1=0,

解得m=-1,七=1(不合题意，舍去).

故选：C.

3.计算：加=2〃+7,贝I」-4加〃+4/P的值是.

【答案】49.

【解答】解:nr-4mn+4n~

—（〃？-2〃）2.

•••加=2〃+7,

••W-2〃=7.

当〃？-2〃=7时，

原式=72=49.

故答案为：49.

4.若a是方程x2+x-1=0的根，则代数式小+2a-i-2026值是

【答案】・2026.

【解答】解:由题意可得：a~^a-1=0.则1,

当a=0时，-1=0不成立，

•■•«#）＞

,•d+l--=0,EPd--=-1.

aa

--.a2+2a-i-2026

a

=1+a—、—2026

=-2025+a-：

a

=-2025-1

=-2026.

故答案为：-2026.

2.2一元二次方程的解法

基础达标题

题型一直接开平方法解一元二次方程

1.方程（工一2）2=0的根为（）

A.x=0B.x=±2C.Xj=%2=-2D.X1—%2=2

【答案】D

【详解】解：•••(》-2)2=0,

••.X-2=0,

•••Xj=x2=2.

2.方程(％-3)2=16的根是.

【答案】

Xi=7,x2=-1

【详解】解：•••(》-3尸=16,

-3=4或%—3=—4,

解得.=

7,x2=-1-

3.方程/-4=0的根是.

【答案】/=2,g=-2

【详解】解:移项得/=4,

对等式两边开平方得x=±2,

即々=

2,x2=-2.

4.一元二次方程％2-9=0的两根分别是.

【答案】XI=3,X2=-3.

【解答】解：f-9=0,

移项得，f=9,

解得，xi=3,,V2=-3.

故答案为：XI=31X2=-3.

题型二配方法解一元二次方程

I.用配方法解一元二次方程27一8%-3=0,下列配方正确的是()

A.(x+4)2=llB.(%-4/=11C.2(x+2)2=llD.2(%-2)2=11

【答案】D

【详解】解：•••2%2-8%一3=0：

2(x2-4x)=3,

・•・2(x2-4X+4)=3+8,即2(%—2尸=11.

2.用配方法解方程37-6%+2=0,将方程变为0-根)2=九的形式，则m,n的值分别为()

A.9)-B.9,--C.-1,-D.1»-

3333

【答案】D

【详解】解：•••3/一6%+2=0,

移项得3/—6%=—2,

二次项系数化为1得/-2%=*，

配方，两边同时加1得/一2刀+1=-[+1,

即a-1）2=%

对比（无—m）2="可得m=1,九=1•

故选:D.

3.将方程％2-2%一1=0化成（X+Q）2=b（a,b为常数）的形式，则3+切2。26=

【答案】1

【详解】解：•.•原方程为/一2%-1=0,

移项得/-2x=1,

配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方1,得/-2/+1=1+1,

即（"1）2=2,整理为（》+a）2=b的形式得设+（-1）]2=2,

/.a=—1»b=2,

则a+b=-1+2=1,

因此（a+6）2026=12026=1

4.解方程：3%2—12%—6=0.

【答案】

x1=-V6+2,x2=近4-2.

【详解】解：移项，得3/一12%=6,即/一4%=2,

配方，得/-4x+4=2+4,即（％—2/=6,

开方，得x-2=±\/6,

.,•%i=~+2,%2=V64-2.

题型三因式分解法解一元二次方程

1.一元二次方程x（x-2）=0的解是（）

A.A|=X2=0B.x\=xi=2

C.xi=0,xi=2D.xi=0,X2=-2

【答案】C

【解答】解：•.•原方程为x（X-2）=0,

根据因式分解法求解可得：

<=0或％-2=0,

解得川=0,X2=2.

故选：C.

2.若(x+D(x+4)=0,则计算(x+2)(x+3)的结果是()

A.-IB.0C.1D.2

【答案】D

【解答】解：•••(x+l)(x+4)=0

•••/+5x+4=0,

■•.A2+5A=-4,

则(x+2)(x+3)

=x1+3x+2x+6

=X2+5A+6

=-4+6

=2.

故选：£).

3.一元二次方程』=3x的解是(

A.x—3B.x=0

C.xi=3,4=0D.x1=V3,x2=-V3

【答案】C

【解答】解：/=3x,

.r-3x=0,

x(x-3)=0,

则x-3=0或x=0,

所以片=3,x2=0.

故选：C.

4.解方程：3(k-1)2=x(x-1)

3

1

2一

X2

【解答】解：3a-1)2-x(X-1)=0

(x-1)［3(X-1)-xl=0

(x-1)(2x-3)=0

x-1=0或2x-3=0

%1=1«，%2=53

题型四根的判别式

1.若关于X的一元二次方程/+2r+m=0有实数根，则实数，〃的取值范围为()

A.m<1B.///<1C.m>1D.m>\

【答案】B

【解答】解：根据题意得僚=22-4吟0,

解得，咫1，

故选：B.

2.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是()

A./+1=0B.yr+\=2xC.x2-2x=0D.x2・2丫=3

【答案】B

【解答】解：A、『+1=0,A=02-4xl<0,所以方程没有实数解；

B、?-2v+l=0,A=(-2)?-4x1=0,所以方程有两个相等的实数解；

C、』-2丫=0,△=(-2)2-4X0=4>0,所以方程有两个不相等的实数解；

D、f-2.3=0,A=(-2)2-4x1(-3)=16>0,所以方程有两个相等的实数解.

故选：B.

3.关于x的方程/+(a+1)x+l=0有两个相等的实数根，则。2+2〃的值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】。

【解答】解：由题意得，△=［。+1)2-4x1x1=0,

.,.cP+2a=3.

故选：。.

4.若关于人•的方程心2+2什］=。有实数根，则实数左的取值范围是()

A.k<\B.k>\C.k>\且上0D.k<\且上0

【答案】A

【解答】解：•••关于x的方程入2+2计]=0有实数根，

当后0时，A=4-4^>0,

.3,

.Ml且上0,

当2=0时，

此时方程为3/+1=0,满足题意，

故选：A.

题型五公式法解一元二次方程

1.方程/+4-1=0的根是()

(―1-y/Sf—-i±Vs

A.I-VSB.---------C.-1+V5D.----------

22

【答案】。

【解答】解：Ax-i=o,

•••«=1,b=l,c=-1,

-,.A=Z?2-4ac=12-4x1x(-1)=5>0,

生一b±"2-4Qc-1+75

故人=-----涕----二F-，

故选：D.

2.己知关于x的一元二次方程ox2-2(〃-2)x+a-4=0((设方程的两个实数根分别为X2(其

中xi>4),若y是关于a的函数，且y=xi-av2,若y>0,则()

A.0<a<3B.0<«<5C.a>3D.a>5

【答案】B

【解答】解：-2Q・2)x+a-4=0(a>0)是关于工的一元二次方程，

A=[-2(a・2)]2-4a(a・4)=16>0,

由求根公式，得工=%甯叵=纥羿，

•,.%=1或x=1-'，

••7Z>0,Al>A2,

,V4

■,•XI=1.=1—

Ja

4

•••y=Xj—ax2=1—a(l—-)=1—a+4>0,

解得aV5,

•••0VaV5；

故选:B.

3.有一个正数〃7,，〃与1的和乘以〃7与1的差仍得，〃，则小的值为.

■小自-1+\/5

【答案】二一.

【解答】解：由题意知(〃?+1)(〃?-I)=m,

整理得病-/tl-1=0,

解得m=与.或m=与匹(舍)，

故答案为：三画.

4.当x取何值时，代数式的值与3x+l的值相等？

【答案】2+遍或2-遍.

【解答】解：根据题意得』7=3X+1,

方程化为一般式为f・4x・1=0,

•a=I,b=-4,c=-I,

•••△=(-4)2-4x1x(-1)=20,

3祟^=2±V5,

■-x\=2+\[5,A2=2-A/5,

即x为2+而或2-后时，代数式/-x的值与3x+l的值相等.

2.3一元二次方程的根与系数的关系

基础达标题

题型一已知方程的一个根求另一个根

1.已知x=0是方程/+2r+a=0的一个根，则方程的另一个根为()

A.JT=-1B.x=\C.x=-2D.x=2

【答案】C

【解答】解：,./=()是方程』+2x+a=0的一个根,

"=0,

.,.X2+2V=0,

-t.x=0或・2,

方程的另一个根为-2,

故选：C.

2.若工=1是一元二次方程』3〃/+〃2=0的一个根，则方程的另一根为.

【答案】（）.

【解答】解：设方程另一个根为根据题意得什1=1,

,4=0,

则方程的另一个根是0.

故答案为：0.

3.己知-1是方程/+〃人-3=0的•个根，贝ij〃=，另个根是.

【答案】-2,3.

【解答】解：由题知，

因为-1是方程/+必-3=0的一个根，

所以（・1）2-/,-3=0,

解得b=-2.

因为方程/+法-3=0的两根之积为-3,且一个根为-1,

所以方程的另一个根为3.

故答案为：・2,3.

4.如果x=-2是关于x的一元二次方程（x-4）2一〃=。的一个根，求〃的值及方程的另一个根.

【答案】"=36,方程的另一个根为10.

【解答】解：将x=-2代入得：（-2-4）2-n=0,

解得：”=36,

.••方程为：（x・4）2・36=0,

（x-4）2=36,

解得：xi=-2,12=10,

另一根为：A—10.

题型二根于系数间的关系

1.一元二次方程,-2计1=0的两根为XI、X2,则X1+.V2的值是（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【解答】解：•.・一元二次方程9-2r+l=0的两根为加、X2,

"|+X2=2,

故选：4.

2.若小、〃是关于x的方程2?-4.计1=（）的两个根，则工+工的值为（）

mn

1i

A.4B.-4C.-D.-7

44

【答案】A

【解答】解：根据根与系数的关系得〃计〃=2,机〃=劣，

“，11m+n2

所以—+-=----=—=4.

mnmn-

2

故选：A.

3.设小〃是方程f+x-2017=0的两个实数根，则/+2々+〃的值为（）

A.2019B.2018C.2015D.2016

【答案】D

【解答】解：k是方程W+x-2017=0的实数根，

■-c^+a-2017=0,

“2+4=2017,

b是方程/+x-2017=0的两个实数根，

■-a+b=-1，

■.cr+lci+b=c^+a+a+b=2017+（-1）=2016.

故选：D.

4.已知xi,4是一元二次方程f・5x+3=O的两个实数根，则代数式*+诏-/打的值为（）

A.8B.16C.24D.28

【答案】B

【解答】解：根据根与系数的关系得川+m=5,川m=3,

所以原式=（X1+.V2）2-3x1X2=52-3x3=16.

故选:B.

2.4用一元二次方程解决问题

基础达标题

题型一传播问题

1.春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长.这株植物的主干先长出若干支干，每根支干乂分出与主干分

出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21,若设主干长出x支支干，则根据题意可以

列方程为()

A.14-%4-x(l+%)=21B.1+x+(1+x)2=21

C.\+x+x2=21D.14-(14-x)4-(14-%)2=21

【答案】C

【详解】解：设主干长出x支支丁，则小分支一共有公支，

由题意得1+%+/=21.

2.冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体.某班级

最初有2人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有32人患流感，若设每轮传染中平

均一人传染了工人，则根据题意，可列方程为()

A.2(1+x)2=32B.2+2X+4/=32

C.2+2x+x(l+%)=32D.x+x(2+2x)=32

【答案】A

【详解】解：•••最初有2人患流感，

••・第一轮传染后，患病人数为2+2%,

第二轮传染后，患病人数为2+2x+x(2+2x)=2(1+x)2

•••两轮传染后该班级共有32人患流感，

二可列方程为2(1+X)2=32.

3.某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做

的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题.设一人每次教会了x名同学，则

下列方程正确的是()

A.1+x2=36B.1+x(x4-1)=36

C.x+x2=36D.1+x+x(x4-1)=36

【答案】D

【详解】解：初始会做这道题的人数为1人，

•.•第一节课，原来会的1人教会

工名同学，第一节课后会做的人数为a+1)人，

•.■第二节课，所有会做的

(x+1)人每人教会X名同学，第二节课新增会做的人数为x(x+1),

•••全班会做的总人数为初始人数加上两节课新增的人数，列方程得：

1+x+x(x+1)=36.

4.数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏.AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学

拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，

都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播.经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通

关密码.求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学.

【答案】4名

【详解】解：设每一轮传播中，I名同学传给x名新同学，

根据题意，得(6+6%-6)(1+幻一6=114.

解得与=4,x2--5(不合题意，舍去).

答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学.

题型二增长率问题

1.某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率

为()

A.9%B.10%C.11%D.12%

【答案】B

【详解】解：设每次降价的百分率为工,根据题意得：

100(1-%)2=81,

解得：x1=0.1=10%,%2=L9(舍去)，

即每次降价的百分率为10%.

2.某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资

金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是()

A.300(1-I%)2=363B.300(14x2)=363

C.300+300(1+x)2=363D.300(1+2x)=363

【答案】A

【详解】解：•••设年平均增长率为，2024年投入研发资金为300万元，

.•.2025年投入研发资金为300(1+%)万元，

.•.2026年投入研发资金为300(1+x)(l+x)=300(1+工产万元，

X-.2026年投入研发资金为363万元，

•••列方程得300(1+幻2=363

3.2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价.某品牌足金从140()元/克连续两次下调，现降至1260

元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率.设两次降价的降低率为％,可列方程为.

【答案】1400(1-x)2=1260

【详解】解：设两次降价的降低率为x.

第一次降价后的价格为1400(1-%)元/克，

第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行降价，因此第二次降价后的价格为1400(1-x)•(1-幻=

1400(1-%)2元/克，

已知两次降价后价格为1260元/克，

因此可歹IJ方程1400(1-无＞=1260.

4.某旅游景区2025年第一季度游客人数达10()万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降10%,随

着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次.

(1)求第三、四季度游客人数的平均增长率；

(2)求该旅游景区一年(四个季度)接待游客的总人数.

【答案】(1)20%；(2)427.6万人次

【详解】(1)解：设第三、四季度的平均增长率为「

由题意得，100(1—10%)(1+幻2=129.6,

解得%=0.2=20%,亚=一2.2(不合题意，舍去)，

答：第三、四季度游客人数的平均增长率为20%；

(2)解：•・•第一季度游客人数为：00万人次，

•••第二季度游客人数为100(1-10%)=90(万人次)，

第三季度游客人数为90(1+20%)=108(万人次).

•••第四季度游客人数为129.6万人次，

•••该旅游景区一年接待游客的总人数为100+90+108+129.6=427.6（万人次）.

题型三数字问题

I.如表是小明与DeepSe"的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（）

新对话

有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1,其运算结果和这个数相同.

深度思考中……

开启新对话

A.-1B.1C.1D.-1或1

【答案】C

【详解】解：设这个数为》,

根据题意得/一X+1=X,

移项整理得工2-2无+1=0,

因式分解得（X—1）2=0,

解得％=1.

2.在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，橘橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝.欣

党下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位

三，个位平方与寿符.”则这位风流人物去世时的年龄为（）

A.36岁B.38岁C.40岁D.42岁

【答案】A

【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为X,则个位数字为％+3,年龄可表示为"％+（%+3）.

•.•个位平方与寿符，

••・可得方程10%+（x+3）=（x+3）2

整理得为2-5%+6=0,

解得%1=2,&=3.

又•••而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，%=2时年龄为25岁，不符合题意舍去，

••,x=3,个位数字为3+3=6,年龄为3x10+6=36岁.

3.第十四届国际数学教育大会（ICMET4）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的

文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的

数字系统，有0-7共8个基本数字.八进制数3745换算成卜进制数是3x8,+7x8?+4x81+5x8n=

2021,表示ICMET4的举办年份.

(I)八进制数123换算成十进制数是；

(2)小华设计了一个n进制数143,换算成十进制数是120,求n的值.

【答案】(1)83；(2)9

【详解】(I)解：根据八进制换算成十进制的方法可得：

1x82+2x81+3x80=83；

(2)解.：根据〃进制换算成十进制的方法可列出关于〃的一元二次方程可得：

1xn3T+4xn3-24-3xn3-3=120,

•••n2+4n+3=120»

整理得：n2+4n-117=0,

解得%=9,%=-13(不符合题意，舍去)，

故〃的值为9.

4.如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数.

日一二三四五六

2348

9：］0:1112B1415

16U7：1819202122

23：24：2526272829

3031

(1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为二

(2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为

112.”小亮反驳道：“这种情况是不存在的.”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由.

【答案】(1)123；(2)小亮说法正确,理由见解析

【详解】(1)解:当小明框出3个数为24,25,26,小亮框出3个数为17,24,31,此时他俩框出数的总和最大,

•••最大值为24+25+26+17+31=123；

(2)解：小亮的说法是正确的.

理由：设两人框的中间相同的数为4,

则可得方程（X-1）0-7）=112,

即,一8%-105=0,

解得%1=-7（负数舍去），x2=15,

但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去,

因此小亮说法正确.

题型四工程问题

1.问题：“某工程队准备修建一条长300（）米的下水管道，由于采用新的施工方式，，提

前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”

条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%；

（2）原计划每天修建的长度比实际少75米.

在上述的2个条件中选择1个（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答.

【答案】选（1）或（2）：选（1）原计划每天修建下水管道的长度为300米；选（2）原计划每天修建下水

管道的长度为300米

【详解】选（I）或（2）

（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为工米

30003000

-------------------2

x（1+25%）x

x=300

经检验：％=300是所列方程的解

答：原计划每天修建下水管道的长度为300米.

（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x米

30003000

-x+75-

%=300/2=-375（舍）

经检验：x=300是所列方程的解.

答：原计划每天修建下水管道的长度为300米.

2.列方程解卜.列问题：

甲、乙两人加工生产同种零件.甲每小时比乙多生产1（）个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产10（）个

该种零件的时间相同.

（1）求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？

(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备.更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了

5m%,乙每小时比原来多生产m人零件，甲、乙两人同时工作m小时共可以生产1500个零件，求m的值.

【答案】(1)甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件；(2)10

【详解】(1)解：设甲每小时生产％个零件，则乙每小时生产(％-10)个零件，根据题意得：

120100

-9

xx-10

解得：X=60,

经检验，％=60是原方程的解，且符合题意，此时10=50,

答：甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件；

(2)解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60+60x5m%=(60+3m),乙每小时生产(50+m)个

零件，根据题意得：

(60+3m+50+m)m=1500,

整理得：27n2+55zn-750=0,

解得：=10,m2=-—(舍去)，

即加的值为10.

3.学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作.己知甲计划

每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理100()本图书的时间相等

(1)求甲计划每天整理多少本图书？

(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作.为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4a本，最终

完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04a天，求。的值

【答案】(1)600；(2)50

【详解】(1)解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理(％+100)本图书，

依题意，~^=—

x+100x

解得x=500,

经检验：当％=500时，x(x+100)H0,

.•.%=500是原分式方程的解,

•••甲计划每天整理500+100=600(本)

(2)解:由(1)得甲计划每天整理600本,

••♦总图书4800本，

则计划时间嘿=8天，

600

依题意，甲实际每天整理（600+4a）本，实际完成时间（8-0.04a）天

根据工作量关系,得方程（600+4a）（8-0.04a）=4800,

展开得4800-24a4-32a-0.16a2=4800,

化简得8。一。16a2=o,

即a（8-0.16Q）=U

解得Q=0或Q=50,

由于Q=0不符合实际意义，故Q=50.

4.甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米.已知甲乙每天施工所需成本共108

万元.因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元.

（1）分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本：

（2）实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加;a万元，且每天多挖5a.乙每合格完成1米隧道

624

施工成本增加3a万元，且每天多挖3a米.若最终每天实际总成本比计划多卜4+^a）万元，求a的值.

【答案】（1）甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施_L成本为8万元；（2）a的值

为12

【详解】（1）解：设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为工万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为（无+2）

万元，

•••6%+6（X+2）=108,解得，x=8,

・••甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元.

（2）解：由（1）可知，甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万

元，

•••实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加，。万元，则甲每合格完成1米实际成本为（10+万

元，且每天多挖或a，则甲每天实际完成量为6x（l+））=（6+；a）米，乙每合格完成1米隧道施工成本

增加［a万元，则乙每合格完成1米实际成本为（8+：。万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为

（6+支）米，终每天实际总成本比计划多（24+蓝a）万元，则最中每天的实际总成本为108+（24+£a）=

（132+£Q）万元，

.•.(10+))x(6+：a)+(8+河x(6+V)=132+ya,整理得，a2+12a-288=0,解得，Q1=12,