人教版八年级数学上册 综合与实践 最短路径问题-造桥选址问题（分层练习）

综合与实践最短路径问题■造桥选址问题分层练习（学生版）

基础过关练

1.如图，4和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是立行直线，桥

要与河岸垂直），使从点A到B的路径A-M-N-B最短的是（）

2.为贯彻国家城乡建设一休化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄力

和李庄8的群众出行到河岸/张庄/和李庄8位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线,

经测量，张庄力和李庄3到河岸6的距离分别为4C=1000m,&>2000m,且33000m,如图所

示.现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应

建造在C,。之间距离Cm处.（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）

B

A

cjb

二二二二二二二二二河

3.已知，是儿8两个城镇和一条河流.

（1）如图1,48两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点尸建造一个抽水站，抽水到4,B

两镇.在河边找出点。的位置，使21+P8的值最小（保留作图痕迹）.

（2）如图2,4〃两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠〃镇的一边找一点尸建造一个抽水站，

抽水到43两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点。的位置,

使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）.

ffll图2

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综合与实践最短路径问题■造桥选址问题分层练习（学生版）

能力提升练

4.将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为小沿河。8排开（从点。到点。）；将

军从马棚M出发到达队头尸，从尸至。检阅队伍后再赶到校场N.问：在什么位置列队（即选择

点尸和。），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？

拓展培优练

5.如图所示，某条护城河在CU处角转弯，河宽相同，从/处到达3处，须经过两座桥（桥宽不

计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使4到8的路程

最短，请确定两座桥的位置.

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综合与实践最短路径问题-造桥选址问题分层练习（解析版）

基础过关练

1.如图，力和〃两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸是立行直线，桥

要与河岸垂直），使从点4到8的路径介M-N-8最短的是（）

（4M平行BN）

【答案】D

【详解】解：从点A到B的路径为AM+MN+NB的值，

•••MV是定值，

・•・当AM+NB的值最小时，从点A到B的路径最短，

如图所示，将线段沿着A/N方向，平移得到/AA点〃与点N重合,

当4M〃阴V时，点三点共线，AM+NB=A'〃+NB=A'B,

・・・由两点之间线段最短得，乂历的值最小,

故选：D.

2.为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄力

和李庄B的群众出行到河岸张庄4和李庄4位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线,

经测量，张庄4和李庄3到河岸〃的距离分别为/OlOOOm,5£>=2000m,且C£>=3000m,如图所

示.现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应

建造在C,。之间距离Cm处.（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）

B

A

cl_____D__b

二二二二二二二二二河

a

【答案】1000

【详解】解：作B点关于直线人的对称点连接48,交直线人于点尸,

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综合与实践最短路径问题-造桥选址问题分层练习（解析版）

:.BP=B'P,

：.AP+BP=AP+B'P>AB\此时P点到A与B的距离和最小,

过*作*/〃CQ,延长4c与*财交于点

:・RM=CD,

VJC=1000m,8D=2000m,且8=3000m,

.*.AM=\000m+2000m=3000m=iVfZ?/,

・・・NC4P=45。，

：.AC=CP,

：.P点与。点的距离是1000m,

故答案为：1000.

3.已知，是48两个城镇和一条河流.

ffll

（1）如图1,48两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点尸建造一个抽水站，抽水到4B

两镇，在河边找出点。的位置，使4+P8的值最小（保留作图痕迹）.

（2）如图2,A,5两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠8镇的一边找一点尸建造一个抽水站，

抽水到48两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点。的位置,

使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）.

【详解】（1）解：如图1,作［关于河边（直线〃?）的对称点了,连接力力交直线机于点P,连接

4P,

由轴对称的性质得力‘尸二力。，

:.PA+PB=A'P+PB*'B,

・•・当A：P,B三点共线时，PA+PB的值最小,

・•・如图所示，点。的位置即为所求；

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综合与实践最短路径问题-造桥选址问题分层练习（解析版）

（2）解：设河流宽度（直线〃7与直线〃之间的距离）为d,

将点3向下平移d至连接46'交直线〃于点0，作尸。_L直线〃交直线，〃于点尸，连接6尸，如

图2：

则产。=乩

由平移的性质得，PB=QB',

:.AQ+PQ+PB=AQ+QB'34B'+d,

・♦.当三点共线时，4。十尸。十6。的值最小，即铺设管道的总长最小，

・,•如图所示，点。的位置即为所求.

能力提升练

4.将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为。，沿河08排开（从点。到点。）；将

军从马棚〃出发到达队头P,从0至0检阅队伍后再赶到校场M问：在什么位置列队（即选择

点尸和0）,可以使得将军走的总路程MP+P0+QN最短？

【详解】解：如图，作ME"OB、使得作点£关于08的对称点R连接QV交08于点0,

在。。上截取0P=〃，连接〃P,线路"TPT0-N时，MP+P2+QN的值最小，

拓展培优练

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综合与实践最短路径问题-造桥选址问题分层练习（解析版）

5.如图所示，某条护城河在cd处处转弯，河宽相同，从/处到达8处，须经过两座桥（桥宽不

计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使/到8的路程

最短，请确定两座桥的位置.

【详解】解：如