中考数学：解直角三角形的应用（附答案）

1.（2026•山东淄博•一模）综合与实践.在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学

校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面L4米）确定以下两

①图上所有点均在同一平面内；

①图上所有点均在同一平面内；

②A8,。力均与地面垂直；

备注②参考数据：sin42°«0.67,cos42°«0.74,

③旅杆底部基座与运动场的高度差

tan420®0.90.

MN=\Am.

（1）任务一:说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________,

“测角仪方案”运用的知识是_________.（请在下列选项中选择一个填入横线中）

①全等二角形；②相似二角形；③锐角二角函数；④勾股定埋.

⑵任务二:根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆A8的高度（结果精确到0.1m）,

并说明你选择该种方案的理由.

【详解】（1）解：测量出①OF,②G”，③C。，@EF,

可得：CG=CD—EF,GE=DF,

:.HE=GH+GE,

根据AH\\CG可证△KCGSAEA”，

.CGEG

根据对应边成比例求出AH的高度，

再根据旗杆的高度为+E厂求出结果，

•••”标杆方案”运用的知识是②相似三角形;

测出NAE6的度数，

AB

可知BE

tan42°

测出NAC8=45。，

可知BC=AB,

,/DF=3.2m,

根据CE=8七-8C=3b=3.2,

可以求出48的高度，

根据旗杆的高度为A5+MV求出结果，

•••“测角仪方案”运用的知识是③锐角三角函数；

（2）解：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便,

如图：

.H..........C：

E

IMB

1.4m：_______________

fNkDF

由题意得：EF=GD=HK=\.6m,GE=DF=\Am,CG\\AH,

,/CD=2.6m,EF=1.6m,

:.CG=CD-GD=\m,

,/GH=38.6m,

:.EH=GH+GE=4()m,

-CG\\AH,

.△ECGSAEAH,

EGCG1.4I

/.——=——,即M—=——，

EHAH40AH

解得：A”=28.57(m),

/.AB=AH+KH-\A=28.57+1.6-1.4=28.77«28.8(m),

答：旗杆AB的高度约为28.8m；

选择方案二，理由为测量较准确，

由题意得：ABLBC,CE=OF=3.2m,

设=

vZACB=45°,ZABC=90°,

/.BC=AB=x,

,在RSABE中，ZAEB=42。,BE=BC+CE=x+3.2

ADx

tanNAEB=——，UPtan42°=-----®0.90,

BEx+3.2

解得x=28.8（米），

答：旗杆48的高度约为28.8米.

2.（2026•重庆•一模）小佳和小馨两姐妹约定一起去〃城天街吃晚餐.如图小B,C,D

在同一平面内.已知家力位于学校8的北偏东75。方向，位于高新天街〃的北偏西30。方向，

位于〃城天街。的北偏东30。方向：学校夕位于〃城天街。的北偏东15。方向且距离6千米

处：高新天街〃位于〃城天街。的正东方.（参考数据：及之1.41,百b1.73,而才2.45）

北

⑴求家力与〃城天街C的直线距离（结果保留根号）；

（2）小佳需要从家力出发，骑自行车匀速先到学校4拿数学作业，然后再到〃城天街。吃晚

餐；同时，小馨也从家力出发，先乘坐公交匀速前往高新天街〃取维修的手机，再从高新天

街〃乘坐地铁1号线到〃城天街。吃晚餐.已知骑自行主的速度为15千米/小时，公交车的

速度为20千米/小时，地铁的速度为60千米/小时.小佳进校拿作业的时间与小馨取手机及

转乘等待的时间相同，且珞途畅通（红绿灯时间忽略不计）.请通过计算说明谁先到达〃城

天街。吃晚餐？（结果保留0.01）

【详解】（1）解：由题意，知NA8=NA£>C=6O。，

/.AC=AD,△AC£>是等边三角形，ZC4/?=60°,

过点力作AGJ_C力于G,

：.ZCAG=-ZCAD=30°.ZBAG=75°

2

•••家A位于学校8的北偏东75。方向，学校8位于〃城天街C的北偏东15。方向，

.•.ZABC=180°-75o+15o=120°,

如图，过点。作B1A5交A8的延长线于R

在尸中，N歹=90°,AFBC=180°-Z4=60°,

Z5CF=30°,ra=1fiC=1x6=3,CF=JBC?-8产=3百，

在RtAAFC中，ZFAC=^BAG-ZCAG=75°-30°=45。，

ZFCA=ZFAC=45°,AF=FC=30

（2）解：小佳从AfC所用的时间为：（3相一3+6b15。0.55（小时），

小馨从Af。—。所用的时间为：36+2（）+36+6（）=0.49（小时）

0.49<0.55,

,小馨先到达U城天街。吃晚餐.

3.（2026•山东滨州•一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学.小刚所在的数学社团开

展了一项关于学校门锁的调查研究.他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗

门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）.

I

数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图.

（1）图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由心，片和矩形ABCD组成，

且AB=DCf圆心是倒锁设钮点/，若木的弓形高EG=2c机，CD=Scm,请求出此时图③

中圆心看到AB的距离.

⑵图④是图②门锁的工作简化图，锁芯0固定在门边即右侧，在自然状态下，把手竖直

向下，底端到达K处，把手绕锁芯0旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边N点处，

此时/NOS=20。.将。N绕点0顺时针旋转90。得到。。，过点。作QW_LPR于点加.若

dv所在圆的半径ON=10a〃，请求出此时A/N的长度（结果保留小数点后••位）.（参考

数据：sin20°«0.342,cos20。70.940,tan20。=0.364）

【详解】（1）解：如图，连接人尸，延长FH交品于灰T，设O尸的半径为pm，

由题意可知，FTJ_A6,

.-.ZAHF=90%AH=BH=-AB,

2

-：AB=DC'

二弓形高777=EG=2cm,AB=CD=Scm.

/.AH=^AB=4cm,FH=FT-TH=(r-2)cm,

在心“77/中，AF2=FH2+AH2^

r2=(r-2)2+42,

解得r=5,

:.FH=r-2=3cm,

即圆心F到AB的距离为3cm.

(2)解：如图，延长QM,KO交于点W,

由题意可知，OK]]PR,ZOSN=90°.

在RtQSN中，cosANOS=--,

ON

:.OS=ON-cosZ/VOS=1Oxcos20°a9.40cm.

・••将ON绕点0顺时针旋转90°得到OQ,

OQ=ON=Wcm,NQON=90。，

ZQOW=1800-NQON-NNOS=70°,

QMJ.PR,OK||PR,

.•.NW=NNM2=90。，

,NOQW=90°-ZQOW=20°,

OW

在mAOQW中，sin/OQW

~OQ

OW=OQsinNOQW=10xsin20°«3.42cm,

NOSN=ZWW=NW=90。，

二四边形NSWM是矩形，

/.MN=WS=OW+OS=3.42+9.40=12.82«12.8cm.

即MN的长度约为12.8cm.

4.（2026-湖南邵阳•二模）近年来，国产人形机器人技术飞速发展，多款机器人登上2026

年春晚舞台，引来无数观众的赞叹.某数学实践小组根据某个机器人N的动作示意图，开

展数学探究活动.

图1图2图3图4

⑴图1为机器人N的某一姿势示意图，其卜.肢伸展结构可近似抽象为等腰三角形ABC,如

图2.已知机器人N的大腿上端点A到地面水平线/的距离约为42厘米，机器人N的两脚

着地点/C之间的距离约为112厘米，请估计机器人N的腿长AB.

（2）图3为机器人N的另一姿势示意图，具右侧伸展结构可近似抽象为山2'，如图4.已

知点E为机器人N的右脚着地点，点。为机器人N的头顶最高点，点/为机器人N的机

身连接点，直线石G为地面水平线.若EF=AB,NDEF=30°,NEDF=45。,"EG=50。,

请估计此时机器人N的头顶。点到地面水平线EG的距离（结果保留整数，参考数据：

sin8